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1、 自回归（AR）模型 理论模型 自回归（AutoRegressive,AR）模型又称为时间序列模型，数学表达式为 1:()(1).()()naAR y ta y tay tna e t 其中，e(t)为均值为 0，方差为某值的白噪声信号。Matlab Toolbox 研究表明，采用 Yule-Walker 方法可得到优化的 AR 模型1，故采用 aryule 程序估计模型参数。m,refl=ar(y,n,approach,window)模型阶数的确定 有几种方法来确定。如 Shin 提出基于 SVD 的方法，而 AIC 和 FPE 方法是目前应用最广泛的方法。若计算出的 AIC 较小，例如小于
2、-20，则该误差可能对应于损失函数的 10-10级别，则这时阶次可以看成是系统合适的阶次。am=aic(model1,model2,.)fp=fpe(Model1,Model2,Model3,.)AR 预测 yp=predict(m,y,k)m表示预测模型；y为实际输出；k预测区间；yp 为预测输出。(1),(2),.,(1),(,.,()2),(1),()y tyyyy ty ttky tk 当 kInf 时，yp(t)为模型 m 与 y(1,2,t-k)的预测值；当 k=Inf 时，yp(t)为模型 m的纯仿真值；默认情况下，k=1。在计算 AR 模型预测时，k 应取 1，原因参照 AR
3、模型理论公式。compare(y,m,k)yh,fit,x0=compare(y,m,k)Compare 的预测原理与 predict 相同，但其对预测进行了比较。|1001|yyhfity AR 误差 e=pe(m,data)pe 误差计算。采用 yh=predict(m,data,1)进行预测，然后计算误差 e=data-yh;e,r=resid(m,data,mode,lags);resid(r)resid 计算并检验误差。采用 pe 计算误差；在无输出的情况下，绘出误差图，误差曲线应足够小，黄色区域为 99%的置信区间，误差曲线在该区域内表明通过检验。Matlab 练习 确定模型阶数
4、采用 ASCE benchmark 模型 120DOF，选取 y 方向的响应，共 8 个。首先，对响应数据进行标准化处理；其次，将标准化处理后的数据建立 AR 模型；最后，确定合适的模型阶次，通过选取一系列阶数，分别计算对应的 AIC 值，从图中可以看出，阶次 80 以后的 AIC 值变化不大，因此，合适的阶次选择为 80。020406080100120140-3.6-3.55-3.5-3.45-3.4-3.35-3.3-3.25-3.2-3.15-3.1AR orderAIC sensor 2sensor 4sensor 6sensor 8sensor 10sensor 12sensor 1
5、4sensor 16 AR 模型预测 11.051.11.151.21.25-6-4-202468sensor 2.(1-step pred)sensor 2(m/s2)Measuredm;fit:81.01%AR 误差计算 11.051.11.151.21.251.31.351.4-2-1012Time m/s2esensor 2 0510152025-0.200.20.40.60.811.2Correlation function of residuals.Output sensor 2lag 附录 MATLAB 代码（1）%AR model order clc;clear;addpath
6、(genpath(pwd),1);data=load();dofy=2,4,6,8,10,12,14,16;x=zscore(:,dofy);order=10:10:130;for i=1:length(order)for j=1:size(x,2)m=ar(x(:,j),order(i),yw);am(i,j)=aic(m);end end plot(order,am,LineWidth,2,Marker,*)xlabel(AR order),ylabel(AIC)legend(sensor 2,sensor 4,sensor 6,sensor 8,.sensor 10,sensor 12,
7、sensor 14,sensor 16)（2）clc;clear;addpath(genpath(pwd),1);data=load();dofy=2;4;6;8;10;12;14;16;order=80;ts=zscore(:,dofy);k=1;name=sensor 2,sensor 4,sensor 6,sensor 8,.sensor 10,sensor 12,sensor 14,sensor 16;Ounit=repmat(m/s2,length(dofy),1);ts=iddata(zscore(:,dofy),.OutputName,name,OutputUnit,Ounit,
8、.Name,ASCE-benchmark 120DOF);m=ar(ts(:,k),order,yw);compare(ts(:,k),m,r-.,1,1000:1300);（3）resid(m,ts(:,k),corr,25)e,r=resid(m,ts(:,k),corr,40);resid(r)plot(e(1000:1300)参考文献 Matlab help 1 DA SILVA S,DIAS J NIOR M,LOPES JUNIOR V.Damage detection in a benchmark structure using AR-ARX models and statistical pattern recognition J.J Braz Soc Mech Sci Eng,2007,29(2):174-84.