2017届湖南省益阳市高三9月调研考试数学(理)试题25212.pdf

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1、 理科数学 第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若2(1)(1)zaai为纯虚数，其中aR，则211aai等于（）Ai Bi C1 D1 或i 2.设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 3.设0.31.7a，3log 0.2b，50.2c，则a，b，c的大小关系是（）Aabc Bbac Ccba Dbca 4.从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点，则这两点间

2、的距离小于 1 的概率是（）A17 B37 C47 D67 5.在等差数列na中，已知51012aa，则793aa（）A12 B18 C24 D30 6.已知6(1)ax的二项展开式中含3x项的系数为52，则a的值是（）A18 B14 C12 D2 7.三角函数()sin(2)cos26f xxx的振幅和最小正周期分别是（）A2，2 B2，C3，2 D3，8.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A43 B2 C4 D6 9.给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A5 B4 C3 D2 10.已知1F，2F分别是椭圆的左，右焦点，现

3、以2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过1F的直线1MF是圆2F的切线，则椭圆的离心率为（）A31 B23 C22 D32 11.设22(2,cos)a，(,sin)2mbm，其中、m、为实数，若2ab，则m的取值范围是（）A(,1 B.-6,1 C-1,6 D4,8 12.定义在(0,)2上的函数()f x，()fx是它的导函数，且恒有()()tanfxf xx成立.则有（）A3()()63ff B3()2cos1(1)6ff C2()6()46ff D2()()43ff 第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.若过点（0,2）的直线l

4、与圆22(2)(2)1xy有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_.14.已知变量x，y满足约束条件5021010 xyxyx ，则2zxy的最大值是_.15.已知数列na的前n项和为nS，且523nnSna，*nN，则数列na的通项公式是na _.16.已知三棱锥SABC的顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 2 的正三角形，SC为球O的直径，且4SC，则此三棱锥的体积为_.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）已知ABC是半径为 2 的圆的内接三角形，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2 coscoscosaAcBbC.（）求A；（）若2

5、218bc，求ABC的面积.18.（本小题满分 12 分）某班 50 位学生在 2016 年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.（）求图中x的值；（）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，这 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求的数学期望.19.（本小题满分 12 分）如图，在直二面角EABC中，四边形ABEF是矩形，2AB，2 3AF，ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，3PF.（）证明：BF 面PAC；（）求二面角ABCP

6、的余弦值.20.（本小题满分 12 分）已知抛物线2:4C yx，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点1P、2P和点3P、4P，线段12PP、34PP的中点分别为1M、2M.（）求线段12PP的中点1M的轨迹方程；（）求12FM M面积的最小值；（）过1M、2M的直线l是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.21.（本小题满分 12 分）设函数21()ln(0)2f xxxmx m.（）求()f x的单调区间；（）求()f x的零点个数；（）证明：曲线()yf x没有经过原点的切线.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答.注意：只能做所选定

7、的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，BC是半圆O的直径，ADBC，垂足为D，ABAF，BF与AD、AO分别交于点E、G.（）证明：DAOFBC；（）证明：AEBE.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin，0,2).（）求曲线C的直角坐标方程；（）若点D是曲线C上一动点，求点D到直线33:32xtlyt（t为参数，tR）的最短距离.24.（本小

8、题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数()|5f xxax.（）当1a 时，求不等式()53f xx的解集；（）若1x 时恒有()0f x，求a的取值范围.益阳市 2017 届高三 9 月调研考试 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.C 7.D 8 B 9.B 10.A 11.B 12.A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.50,)66 14.9 15.153()16n 16.4 23 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.17.解（）由正弦定理得：4

9、sinaA，4sinbB，4sincC，2 coscoscosaAcBbC，2sincossincossincosAACBBC，2sincossin()AABC，ABC，sin()sinBCA，2sincossinAAA，0A，sin0A，由（）得4sin2 3aA.2222osabcbcA，22218 126bcbca，1133 3sin62222ABCSbcA.12 分 18.解：（）由30 0.0610 0.01 10 0.054101x，得0.018x.4分（）由题意知道：不低于 80 分的学生有 12 人，90 分（含 90 分）以上的学生有 3 人，随机变量的可能取值有 0,1,2

10、；922126(0)11CPC；91132129(1)22C CPC；232121(2)22CPC，69110121122222E .12 分 19.解：（）证明：由题意知：4FB，3coscos2PFABFA，222cos3PAPFFAPF FAPFA.2223912PAPFAF,PABF.平面ABEF 平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，ABAC，AC 平面ABC，AC 平面ABEF.BF 平面ABEF，ACBF.PAACA，BF 平面PAC.5 分（）由（）知AB、AC、AF两两互相垂直，以A为原点，AB方向为x轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,0,0)

11、B，(0,2,0)C，(0,0,2 3)F.4BF，3PF，33(,0,)22P(2,2,0)CB，33(,2,)22CP.设(,)nx y z是平面PBC的法向量，则00n CBn CP，220332022xyxyz，取1y 得平面PBC的一个法向量3(1,1,)3n，又平面ABC的一个法向量(0,0,1)m，设二面角ABCP的平面角为，由题中条件可知(0,)2，则30073cos|7|11 113n mnm，二面角ABCP的余弦值为77.12 分 20.解：（）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F，设直线12PP的方程为(1)yk x,0k.联立2(1)4yk xyx，得22222(2)0k

12、 xkxk.22222 2(2)416(1)0kk kk .设111(,)P x y，222(,)P xy，则112212()12Mxxxk，112(1)MMyk xk，112112MMxy.线段12PP的中点1M的轨迹方程为：22(1)(1)yxx.4 分（）由（）知：1112122222(1)MMMxxkxkyk xk.同理，设222(,)MMMxy，则222212MMxkyk.2222122222|(1)()1kFMkkkk,22222|(2)(2)2|1FMkkkk，因此121211|2(|)42|FM MSFMFMkk.当且仅当1|kk，即1k 时，12FM MS取到最小值 4.8

13、分（）当1k 时，由（）知直线l的斜率为：21kkk，所以直线l的方程为:222(21)1kykxkk,即2(3)0ykxky，（*）当3x，0y 时方程（*）对任意的(1)k k 均成立，即直线l过点(3,0).当1k 时，直线l的方程为：3x，也过点(3,0).所以直线l恒过定点(3,0).12 分 21.解：（）()f x的定义域为(0,)，211()xmxfxxmxx.令()0fx，得210 xmx.当240m，即02m时，()0fx，()f x在(0,)内单调递增.当240m，即2m 时，由210 xmx 解得，2142mmx，2242mmx，且120 xx，在区间1(0,)x及2(

14、,)x 内，()0fx，在12(,)x x内，()0fx，()f x在区间1(0,)x及2(,)x 内单调递增，在12(,)x x内单调递减.3 分（）由（）可知，当02m时，()f x在(0,)内单调递增，()f x最多只有一个零点.又1()(2)ln2f xx xmx，当02xm且1x 时，()0f x；当2xm且1x 时，()0f x，故()f x有且仅有一个零点.当2m 时，()f x在1(0,)x及2(,)x 内单调递增，在12(,)x x内单调递减，且22221144(4)()()ln2222mmmmm mmf x，222424ln42mm mmm，而2222422044mm mm

15、m，2244401242(4)mmmm（2m），1()0f x，由此知21()()0f xf x，又当2xm且1x 时，()0f x，故()f x在(0,)内有且仅有一个零点.综上所述，当0m 时，()f x有且仅有一个零点.7 分（）假设曲线()yf x在点(,()(0)x f xx 处的切线经过原点，则有()()f xfxx，即21ln12xxmxxmxx，化简得：21ln10(0)2xxx.（*）记21()ln1(0)2g xxxx，则211()xg xxxx，令()0g x，解得1x.当01x时，()0g x，当1x 时，()0g x，3(1)2g是()g x的最小值，即当0 x 时，

16、213ln122xx.由此说明方程（*）无解，曲线()yf x没有经过原点的切线.12 分 22.解：（1）连接FC，OF，ABAF，OBOF，点G是BF的中点，OGBF.BC是O的直径，CFBF，/OGCF，AOBFCB，90DAOAOB，90FBCFCB，DAOFBC.5 分 （2）在Rt OAD与Rt OBG中，由（1）知DAOGBO，又OAOB，OADOBG，于是ODOG.AGOAOGOBODBD.在Rt AGE与Rt BDE中，由于DAOFBC，AGBD，AGEBDE，AEBE.10 分 23.解：（）由2sin，0,2).得22sin，即2220 xyy；4 分（）由直线33:32xtlyt，得350 xy.由（）知曲线C为圆：2220 xyy，即22(1)1xy，所以圆心坐标为（0,1），圆心到直线:350lxy的距离为|1 5|23 1d.D到直线l的最短距离为 1.6 分 24.解：（）当1a 时，不等式()53f xx，|1|553xxx，|1|3x，42x.不等式()53f xx的解集为-4,2.5 分（）若1x 时，有()0f x，|50 xax，即|5xax，5xax 或5xax，6ax或4ax，1x ，66x ，44x，6a 或4a.a的取值范围是(,64,).10 分