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1、12018 年大梦杯福建省初中数学竞赛试题与答案考试时间 2018 年 3 月 18 日 9001100满分 150 分一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1若关于x的方程244310 xmx m 有两个相等的实数根，则32442mmm的值为（）A3B2C1D1【答案】A【解答】依题意，21616(31)0mm。因此，2310mm。231mm，231mm。3222442(31)442321 23mmmmmmmmm 。2如图，A
2、BCD、DEFG都是正方形，边长分别为m、n（m n）。坐标原点O为AD的中点，A、D、E在y轴上。若二次函数2y ax的图像过C、F两点，则nm（）A31B21C2 31D2 21【答案】B【解答】依题意，点C坐标为()2mm，点F的坐标为()2mnn，。由二次函数2y ax的图像过C、F两点，得222()2mammna n，消去a，得2220nmnm。2()210nnmm ，解得21nm（舍负根）。21nm。（第 2 题图）23如图，G为ABC的重心，点D在CB延长线上，且12BDBC，过D、G的直线交AC于点E，则AEAC（）A25B35C37D47【答案】D【解答】如图，连AG，并延长
3、交BC于点F。G为ABC的重心，且12BDBC，F为BC中点，且21AGGF，DBBF FC。过点F作FM DE，交AC于点M。则13CMCFCECD，21AEAGEM GF。设CMk，则3CEk，2EMk，4AEk。7ACk，4477AEkACk。另解：如图，连AG，并延长交BC于点F。G为ABC的重心，且12BDBC，F为BC中点，且21AGGF，DBBF FC。23FDDC，21AGGF。在AFC中，利用梅涅劳斯定理，得1FD CE AGDC EAGF。22131CEEA，34CEEA。47AEAC。（第 3 题图）（第 3 题答题图）（第 3 题答题图）34如图，H、O分别为ABC的垂
4、心、外心，45BAC，若ABC外接圆的半径为2，则AH（）A2 3B2 2C4D31【答案】B【解答】如图，连结BO并延长交O于点D，连HC、CD、DA。O为ABC的外心，BD为O直径，DCBC，DAAB。又H为ABC的垂心，AHBC，CHAB。AH DC，CH DA。四边形AHCD为平行四边形，AH DC。45BAC，ABC外接圆的半径为2，45BDCBAC ，4BD。2 2AH DC。5满足方程22419151xxyy的整数对()x y，有（）A0 对B2 对C4 对D6 对【答案】C【解答】方程22419151xxyy化为22(2)151 15xyy。依题意，2151 15Ay为完全平方
5、数。由2151 150Ay，得215115y。结合y为整数，得210y。故，20y，1，4，9。当20y时，2151 15151Ay，不是完全平方数。当21y时，2151 15136Ay，不是完全平方数。当24y时，2151 1591Ay，不是完全平方数。当29y时，22151 15164Ay。方程化为229(2)16yxy，即23(6)16yx，或23(6)16yx 364yx，或364yx ，或364yx ，或364yx 。103xy，或23xy，或23xy ，或103xy 。满足方程的整数对有(10 3)，、(2 3)，、(23)，、(103)，共 4 对。（第 4 题答题图）（第 4
6、题图）4二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6已知a，b，c为正整数，且a b c。若b c，a c，a b是三个连续正整数的平方，则222abc 的最小值为。【答案】1297【解答】依题意，设2(1)b cn ，则2a c n，2(1)a bn ，n为正整数，且1n。22222()(1)(1)32a b cnnnn ，可见n为偶数，且2322na b c 。242nna，222nb，242nnc。可见，6n，且当n增大时，222abc 的值也随之增大。又6n 时，30a，19b，6c 符合要求。222abc 的最小值为222301961297。7如图，ABCD为矩形，E为
7、对角线AC的中点，A、B在x轴上。若函数4yx（0 x）的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为。【答案】8【解答】设()DDDx y，()EEEx y，则4DDE Exyxy。作EF AB于F，由E为AC中点，得F为AB中点，且1122EFBCAD。2DEyy。结合2E EDDDExyxyxy，得2EDxx。OA AF，222DABAFOAx。矩形ABCD的面积28DDS ABADxy。（第 7 题图）（第 7 题答题图）58如图，ABC是边长为 8 的正三角形，D为AB边上一点，1O为ACD的内切圆，2O为CDB的边DB上的旁切圆。若1O、2O的半径都是r，则r。【答案】3【解答】如图，
8、设1O切ACD的三边AC、CD、DA依次于点G、H、E，边DB切2O于点F，CD、CB的延长线切2O于点M、N。则由1O、2O的半径都是r，ABC为正三角形，以及切线长性质定理，得3AG AEr，83CH CGr，33BF BNr，383CM CNr。34 3(8)(83)33EF HM CM CHrrr 4 338 33333AB AE EF FBrrrr。8 383r，3r。9若实数x满足 232018xxx，则4x。其中 x表示不超过x的最大整数。【答案】1346【解答】设x a m，其中a为整数，01m。则 232()3()623xxxa ma ma mamm。当103m 时，2300
9、0mm ；当1132m 时，230 11mm ；当1223m 时，231 12mm ；当213m 时，23123mm 。对任意实数x，23xxx的值具有形式：6k，61k，62k，63k，k为整数。20186 3362，232018xxx。336xm，其中1223m。44(336)4 3364134421346xmm 。（第 8 题答题图）（第 8 题图）610网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n个凸多边形
10、区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有 6 个顶点在矩形内，12 个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有 18 条线段在矩形区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为。【答案】9【解答】设这n个凸多边形中，有3k个三角形，4k个四边形，5k个五边形，mk个m边形。则这n个凸多边形的内角和为345(32)180(42)180(52)180(2)180mkkkkm L。另一方面，矩形内部有 6 个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360。矩形边界线段
11、内（不含矩形顶点）有 8 个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90。因此，这n个凸多边形的内角和为6 3608 1804 90 。345(32)180(42)180(52)180(2)180mkkkkm L6 3608 1804 90 。34523(2)22mkkkmk L。再考虑这n个凸多边形的边数。由于每个凸m边形有m条边，因此，这n个凸多边形的边数和为345345mkkkmk L。另一方面，由条件知，在矩形内部的 18 条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算 2 次。而在矩形边界上的 12 个点，得到
12、 12 条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，这n个凸多边形的边数和为18 2 1248。34534548mkkkmk L。由、，消去3k，得452(3)9mkkmk L。49k。又如图所示的划分符合要求，此时，34k，49k。4k的最大值为9，即这n个凸多边形中，最多有 9 个四边形。（第10题答题图）7三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分）11已知二次函数224yxbxc的图像交x轴于1(0)Ax，、2(0)Bx，两点，且2112265xxxx。若函数224yxbxc在13bx b 上的最小值为6，求b，c的值。【解答】函数224yxbxc的图像交x轴于1(0)Ax，
13、、2(0)Bx，两点，1x，2x是方程2240 xbxc 的两个实根。122x xb，122cx x。5 分又2222211212121212121212()2()2625xxxxx xx xx xxxx xx xx x，2426252bc，2109bc。10 分222242()2yxbxcx bcb ，在13bx b 上的最小值为6。1x b 时，6y 。2226cb 15 分由、，解得10c，3b 。3b ，10c。20 分812如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD，M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足BANCAM。求证：MNAC。【解答】ABAD，ADBABD。ACMADBA
14、BDABN 。又CAMBAN，ABNACM。ABBNACCM。5 分设AC、BD相交于点E，BAECAB，ABEACB。ABEACB。ABBEACCB。10 分又M为BC边中点，CMBM，结合，得ABBNBNACCMBM。结合，得BEABBNCBACBM，BMBNBCBE。15 分MNEC，即MNAC。20 分（第12 题图）（第12题答题图）913已知关于x的方程299990 x kx k 的两根都是素数，求k的值。【解答】设方程299990 x kx k 的两根分别为p、q，则由韦达定理，知9999p q kpq k ，9999pqp q 。44(1)(1)1000025pq 5 分显然p
15、，q都不等于 2，因此，p，q都是奇数。24112522pq。10 分若12p，12q 中有一个数为奇数，不妨设12p 为奇数，则152mp，其中1m，2，3，4。当1m时，9p，不是素数，舍去；当2m时，49p，不是素数，舍去；当3m时，249p，不是素数，舍去。当4m时，1249p 是素数。此时，2122q，7q，也是素数。1249p，7q，1256k p q ，符合要求。15 分若12p，12q 都是偶数，则411544pq，不妨设p q，则当0154p，4154q 时，3p，2499q，q不是素数，舍去；当1154p，3154q 时，19p，499q，p，q都是素数；当2154p，21
16、54q 时，99p，99q，p，q都不是素数，舍去；19p，499q，518k p q ，符合要求。综上所述，518k，或1256k。20 分1014一个由36个单位小方格组成的6 6的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值。【解答】n的最大值为8。先考虑一个3 3的方格表，其中有k个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，k的最大值为2。10 分并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。将一个6 6的方格表分成4 个3 3的方格表，由于每个3 3的方格表中至多有2 个红色小方格，于是2 48n。15 分另一方面，如下图所示的染色恰有8 个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。综上所述，n的最大值为8。20 分