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1、 2016 年天津市红桥区高三二模数学（理）试卷 一、单选题（共 8 小题）1已知集合，则（）A B C D 2若实数满足，则目标函数的最大值为（）A0 B C12 D20 3某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为 A B C D 4下列结论中，正确的是（）A“”是“”成立的必要条件 B已知向量，则“”是“”的充要条件 C命题“”的否定形式为“”D命题“若，则”的逆否命题为假命题 5已知双曲线，以 C 的右焦点为圆心，以为半径的圆与 C 的一条渐近线交于 A、B 两点，若，则双曲线 C 的离心率为（）A B C D 6钝角中，内角所对的边分别为，已知，则的面积等于（）A B C D 7若函
2、数有且只有两个零点，则实数的取值范围是 A B C D 8已知函数是定义域为 R 的偶函数，且，若在上是减函数，记，则（）A B C D 二、填空题（共 6 小题）9.已知，是虚数单位，若，则 10.设变力作用下在质点上，使沿轴正向从运动到，已知且方向和轴正向相同，则变力对质点 M 所做的功为 的单位：；力的单位 N）（）11.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数），直线与抛物线相交于两点，则线段的长为（）12.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为 13.如图，已知圆内接四边形，边延长线交延长线于点，连
3、接，若，则 14.矩形中，点 E 在 BC 上，满足，点 F 在 CD上，若，则 三、解答题（共 6 小题）15.已知（1）求函数的最小正周期及在区间的最大值；（2）若，求的值。16.甲乙两队参加听歌猜歌名的游戏，每队 3 人，随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一份，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中 3 人答对的概率分别为，且各人回答正确与否 互相之前没有影响。（1）若比赛前随机从两队的 6 个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（2）用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望；（3）求两
4、队得分之和大于 4 的概率。17.已知数列是等差数列，其前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项及前 n 项和；（2）若数列满足，计算的前 n 项和为，并用数学归纳法证明：当时，。18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是边长为2的 等 边 三 角 形，点的 中 点，且 平 面平 面。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若点边上运动，是否存在点使平面与 平面所成的角为？若存在，则求出点的坐标，并说明理由。19.设椭圆，过点，右焦点.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线分别交轴，轴于两点，且与椭圆 交于 两点，若，求的值，并求出弦长；（3）自椭圆 C 上异于其顶点的任意一点 P，作圆的两
5、条切线切点分别为，若直线在轴，上的截距分别为，证明；。20.已知函数。（1）若函数在处取得极值，求的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；（2）若函数在处的切线的斜率为 1，存在，使得成立，求实数的取值范围。（3）若，求在上的最小值及相应的的值。答案部分 1.考点：集合的运算 试题解析：所以。故答案为：C 答案：C 2.考点：线性规划 试题解析：作可行域：当目标函数过 A（）时，目标函数值最大，为：故答案为：B 答案：B 3.考点：算法和程序框图 试题解析：否；否；是。所以判断框内为。故答案为：A 答案：A 4.考点：充分条件与必要条件 试题解析：对 A：若 x2,则成立；反过来不成立，还可
6、能 x0.所以“”是“”成立的充分不必要条件，故 A 错；对 B：，不一定，如反过来成立，所以“”是“”的必要条件，故 B 错；对 C：命题“”的否定形式为“”故 C 错；对 D：命题“若，则”为假命题，所以其逆否命题为假命题，故正确。故答案为：D 答案：D 5.考点：双曲线 试题解析：因为到渐近线的距离为 b，圆的半径为 a，所以又即。故答案为：A 答案：A 6.考点：正弦定理 试题解析：由正弦定理得：因为钝角，所以 所以 所以 故答案为：C 答案：C 7.考点：零点与方程 试题解析：，令 令所以 要使函数有且只有两个零点，则 又故答案为：B 答案：B 8.考点：函数的单调性与最值周期性和对
7、称性函数的奇偶性 试题解析：由得：函数的周期为：2.因为在上是减函数，且是定义域为 R 的偶函数，所 以在上 是 增 函 数，且 图 像 关 于y轴 对 称。由题知：.故答案为：B 答案：B 9.考点：复数乘除和乘方 试 题 解 析：所 以2+0=2.故答案为：答案：10.考点：积分 试题解析：故答案为：78 答案：78 11.考点：参数和普通方程互化 试题解析：直线的直角坐标方程为：设 联立消x得：所以所以4.故答案为：4 答案：4 12.考点：柱，锥，台，球的结构特征空间几何体的三视图与直观图 试题解析：该几何体是三棱柱，底面为等腰直角三角形，球心在以底面斜边为边的矩形侧面的 中 心。所
8、以则 该 几 何 体 外 接 球 的 表 面 积 为故答案为：答案：13.考点：圆相似三角形 试题解析：因为 AB=AC,所以又 所以所以 所以 答案：3 14.考点：平面向量的几何应用 试题解析：因为，所以 E 为 BC 的中点。又点 F 在 CD 上，且，所以设|DF|=x，所以即 DF=1，CF=所以 答案：15.考点：三角函数的图像与性质恒等变换综合 试题解析：()，故 单调增，单调减 所以 在区间的最大值是 1.()，又 所以，故 所以 答案：见解析 16.考点：随机变量的期望与方差随机变量的分布列独立重复试验某事件发生的概率古典概型 试题解析：()6 个选手中抽取两名选手共有种结果
9、 抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：种结果，用表示事件：“从两队的 6 个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”故从两队的 6 个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为.()由题意知，的可能取值为 0，1，2，3，且 所以的分布列为 的数学期望 （）用表示事件:两队得分之和大于 4 包括：两队得分之和为 5，两队得分之和为 6，用表示事件：两队得分之和为 5，包括甲队 3 分乙队 2 分和乙队 3 分甲队 2 分。用表示事件：两队得分之和为 6，甲队 3 分乙队 3 分 所以两队得分之和大于的概率为 答案：见解析 17.考点：数学归纳法公式法，分
10、组求和等比数列等差数列 试题解析：（）设数列的公差为 d，由和成等比数列，解得或.当时，与成等比数列矛盾，舍去 所以 所以即数列的通项公式为（）要证，即证明：当时，假设当时，成立，则时，而 因为，所以，故 综上得当时，答案：见解析 18.考点：利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题平面法向量的求法空间的角 试题解析：()因为平面平面，底面是菱形，故 取中点，则，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，,，则，设异面直线与所成角为,所以异面直线与所成角的余弦值为()设存在点，使平面与平面所成的角为，设，因为三点共线，所以，设平面的一个法向量为，令，.设平面的一个法向量为，令，.,又 若平面
11、与平面所成的角为，则 故 即 此时，点在延长线上，所以，在边上不存在点使平面与平面所成的角为 答案：见解析 19.考点：圆锥曲线综合椭圆 试题解析：（）因为过点，故有，由已知 联立解得：，所以椭圆的方程为 （）直线与轴交点，轴交点 联立消元得：设，则，由得：，解得：（）因为为切点，所以,所以四点共圆，其圆心，方程为：整理得：是圆与圆的交点，联立得，得，因为在椭圆上，则 整理得：。答案：见解析 20.考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 试题解析：（）因为，。由解得：，.此时，所以，在取得极小值，在取得极大值 （）若函数在（）处的切线的斜率为，则，则 故 若成立，则成立，,且等号不能同时取，所以，即 因而()令（），又，当时，从而（仅当 x=1 时取等号），所以在上为增函数 故的最大值为，所以实数的取值范围是()，当，.若，在上非负（仅当，时，），故函数在上是增函数，此时 若，当时，；当时，此时是减函数；当时，此时是增函数 故 若，在上非正（仅当，时，），故函数在上是减函数，此时 综上可知，当时，的最小值为 1，相应的值为 1；当时,的最小值为,相应的值为；当时，的最小值为，相应的值为 答案：见解析