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1、 1 ()2017 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨 2017 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017 年 5 月 21 日上午 9：0011：30，满分 160 分）一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上）1.已知集合 A x log2(x 1)1 ，B x x a 2 ，若 A B ，则实数 a 的 取值范围为 。【答案】(1，5)【解答】由log2(x 1)1，得0 x 1 2，1 x 3，A (1，3)。由 x a 2，得2 x a 2，a 2 x a 2，B (a 2，a 2)。若 A B ，则a 2 1或a 2
2、 3，a 1 或a 5。A B 时，a 的取值范围为(1，5)。2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且函数 y f(x)x3，则 f(9)。2【答案】1 8 f(x 1)为偶函数，当1 x 0 时，【解答】由函数 y 又 f(x)为奇函数，f(x 1)为偶函数，知 f(x 1)f(x 1)。f(x 2)f(x)f(x)，f(x 4)f(x 2)f(x)。f(9)f(1)f(1)(1)3 1。2 2 2 2 8 3 已 知 an为 等 比 数 列，且 a1a2017 1，若 f(x)2，则 1 x2 f(a1)f(a2)f(a3)【答案】2017 f(a2017)。2 1 2 2 2 2
3、x2【解答】由 f(x)1 x2 知，f(x)f(x)1 x2 an 为等比数列，且a1a2017 1，1 1 2 x 2。1 x2 x2 1 a1a2017 a2a2016 a3a2015 a2017 a1 1。f(a1)f(a2017)f(a2)f(a2016)f(a3)f(a2015)f(a2017)f(a1)2。2 f(a1)f(a2)f(a3)f(a2017)f(a1)f(a2017)f(a2)f(a2016)f(a3)f(a2015)f(a2017)f(a1)2 5 2 7 O 1 D B O 5 1 2 2017。f(a1)f(a2)f(a3)f(a2017)2017。4.将 8
4、 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级，每班至少 1 个名额，则甲班恰好 分到 2 个名额的概率为 。【答案】2 7【解答】将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级，每班至少 1 个名额的不同 分配方案有C3 35 种。（用隔板法：将 8 个名额排成一排，在它们形成的 7 个空挡中插入 3 块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）其中，甲班恰好分到 2 个名额的分配方案有C 2 10 种。（相当于将 6 个名额分配个 3 个 班级，每班至少 1 个名额。）所以，所求的概率为10 2。35 7 5.三棱锥 P ABC 中，ABC 是边长为2 的等边三角形
5、，PB PC ，且二面角 P BC A 的大小为45，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 。【答案】25【解答】如图，取 BC 中点 D，连 AD，PD。由ABC 是边长为2 的等边三角形，PB PC 5 知，AD BC，PD BC，PD 。P PDA 为 二 面 角 P BC A 的 平 面 角，PDA 45，BC 面 PAD，面 PAD 面 ABC。作 PO1 AD 于O1，则 PO1 面 ABC。PO1 O1D 1，O1 A 2，O1 为ABC 的外心，三 A C 棱锥 P ABC 为正三棱锥。设三棱锥 P ABC 外接球的球心为O，半径为 R。则O 在直线 PO1 上，且 PO1
6、 PO 2 O A2 OA2。(R 1)2 22 R2，R 5，三棱锥 P ABC 的外接 2 球的表面积为4 R2 25。x2 y2 6.已知 P 为双曲线C：4 12 1上一点，F1、F2 为双曲线C 的左、右焦点，M、I 分 别为PF1F2 的重心、内心，若M I x 轴，则PF1F2 内切圆的半径为 。【答案】3 3 6 3 6 6 6 6 1 2 1 2 【解答】如图，不妨设点 P 在第一象限，D、E、F 分别为I 与PF1F2 三边相切的切 点。则由切线长定理以及双曲线定义，得 2a PF1 PF2 (PF FF1)(PE EF2)FF1 EF2 F1D F2 D (xD c)(c
7、 xD)2xD xD a 2，xM xI xD 2。设 P(x0 ，y0)，由 M 为 PF1F2 重 心，知 x0 3xM 6，y0 4。PF2 PF1 14，10。设PF1F2 内切圆半径为r，则 SPF F 1(2 PF1 PF2 F1F2 )r 16r。另一方面，SPF F 1 2 F1F2 y0 1 8 4 2 16。16r 16，r 。7.在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，且sin C cos A (2 cos C)sin A，2 2 cos A 3，a 4，则ABC 的面积为。5【答案】6【解答】由sin C cos A (2 cos C)sin A，知
8、2sin C cos2 A 2(2 A A cos C)sin cos 2 2 2 2 2 sin C(1 cos A)(2 cos C)sin A，sin C sin C cos A 2 sin A cos C sin A。sin C sin C cos A cos C sin A 2 sin A，sin C sin(C A)2 sin A。sin C sin B 2 sin A，即c b 2a。又cos A 3，a 4。5 42 b2 c2 2bc cos A，即42 b2 (8 b)2 2b(8 b)3，解得b 3 或b 5。5(6 4)2 (4 6 0)2(6 4)2 (4 6 0)2
9、 6。4 12 x 2x 7 12 x 2x 7 3 12 x 2 3 2x 7 3 2 12 x 2 b 3 b 5 c 5，或 c 3。ABC 的面积 S 1 bc sin A 1 3 5 4 6。2 2 5 8.若关于 x 的方程 x2 ax b 3 0（a，b R）在区间1，2 上有实根，则a2 (b 4)2 的最小值为 。【答案】2【解答】由 x2 ax b 3 0 知，b x2 ax 3。a2 (b 4)2 a2 (x2 ax 1)2 a2 (x2 1)2 2ax(x2 1)a2x2 (x2 1)(x2 1 2ax a2)(x2 1)(x a)2 x2 1。x 1，2，a2 (b
10、4)2 x2 1 2，当 x 1，a 1，b 3 时，等号成立。a2 (b 4)2 的最小值为 2。9.函数 f(x)【答案】11 44 x 的最大值为 。【解答】由柯西不等式知，(44 x)2 (3 2 6 44 x)2 6 (3 2 6)(2x 7 12 x 44 x)112。3 2 6 当且仅当 ，即 9 4 36，x 8 时等号成立。2x 7 12 x 44 x f(x)的最大值为 11。10.A、B、C 为圆O 上不同的三点，且AOB 120，点C 在劣弧 AB 内（点C 与 A、B不重合），若OC OA OB（，R），则 的取值范围为 。【答案】1，2【解答】如图，连结OC 交 A
11、B 于点 D。C 设OD mOC，则由OC OA OB，得 A B OD m OA m OB。E D A、D、B 三点共线，O m m 1，1。m 不妨设圆的半径为 1，作OE AB 于 E，由AOB 120，知 2x 7 6 44 x 6 5 OE 1。2 OD OE 1，且点C 在劣弧 AB 内（点C 与 A、B 不重合），2 1 m 1。于是，1 2。2 的取值范围为1，2。另解：如图，以O 为原点，线段 AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴建立直角坐标系。不妨设圆O 半径为 2，则由AOB 120，知 A(设C(2 cos，2 sin )。则由OC OA OB，得 3，1)，B(3，1
12、)。(2 cos，2 sin )(3，1)(3，1)。2 sin 。点C 在劣弧 AB 内（点C 与 A、B 不重合），30 150。1 sin 1，2sin 1，2。2 的取值范围为1，2。6 n n n 1 n 2k 1 2k 二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程）11.若数列a 中的相邻两项a、a 是关于 x 的方程 x2 nx c 0（n 1，2，3，）的两个实根，且a1 1。（1）求数列an 的通项公式；（2）设bn c 2 n 1，求数列bn 的通项公式及bn 的前n 项的和Tn。（必要时，可以利用：12 22 32 n2 n(n 1)(2
13、n 1)）6【解答】（1）依题意，由韦达定理，得an an 1 n，cn anan 1。(an 1 an 2)(an an 1)(n 1)n 1，即an 2 an 1。.5 分 a1，a3，a5，；和a2，a4，a6，都是公差为 1 的等差数列。又a1 1，a2 1 a1 0。对k N*，a k，a k 1。n 1，n为奇数 即a 2。.10 分 n n 2，n为偶数 2 （2）由（1）知，b c a a 2n 11 2n 2 n(n 1)n2 n。n Tn (1 2 3 2 2 2 2 n 1 2 n 1 2 n n2)(1 2 3 2 2 15 分 n)n(n 1)(2n 1)n(n 1)
14、6 2 n(n 1)(n 1)。3 20 分 7 a2 b2 2 y 2m 6 4mk 1 12.已知椭圆C：x a2 2 1（a b 0）过点 P(2，1)，且离心率为 b2 2。过点 P 作两 条互相垂直的直线分别交椭圆于 A、B 两点（A、B 与点 P 不重合）。求证：直线 AB 过定点，并求该定点的坐标。【解答】依题意，有 4 1 1，且 c 。a2 b2 解得a2 6，b2 3。x2 y2 a a 2 椭圆C 的方程为 1。.5 分 6 3 易知直线 AB 斜率存在，设 AB 方程为 y kx m。y kx m 由 x2 y2 ，得 6 3(2k 2 1)x2 4mkx 2m2 6
15、0.设 A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，则 x x 4mk，x x 1 2 2k 2 1 1 2 2m2 6。2k 2 1 10 分 由 PA PB 知，PA PB 0。(x1 2)(x2 2)(y1 1)(y2 1)(x1 2)(x2 2)(kx1 m 1)(kx2 m 1)0，即(k 2 1)x x (km k 2)(x x)m2 2m 5 0。(k 2 1 2 1 2 2 1)(km k 2)()m2 2m 5 0。2k 2 1 2k 2 1 3m2 8mk 4k 2 2m 1 0。.15 分 (3m 2k 1)(m 2k 1)0。由直线 AB 不过点 P(2，1)，知m 2k 1
16、 0。3m 2k 1 0，m 2 k 1，直线 AB 方程化为 y kx 2 k 1。3 3 3 3 直线 AB 过定点 D(2，1)。.20 分 3 3 2 2 8 M F B F 1 E M M B E F M B E F 1 13.如图，PA、PBC 分别是圆O 的切线和割线，其中 A 为切点，M 为切线 PA 的中点，弦 AD、BC 相交于点 E，弦 AB 延长线上的点 F，满足FBD FED。求证：P、F、D 三点共线的充分必要条件是M、B、D 三点共线。【解 答 一】由 PA 为 圆 O 的 切 线 知，A PAD ABD 180。又FBD ABD 180，P PAD FBD FE
17、D。C EFAP。.5 分（1）若M、B、D 三点共线。设直线 AB，DP 交于点 F1。D（第13 题）AM PF DE A 则由塞瓦定理知，1 1。MP F1D EA 10 分 P AM MP，C PF1 AE，EF AP。F D ED 1 D 又点 F、F1 均在直线 AB 上，因此 F、F1 重合。P、F、D 三点共线。.15 分（2）若 P、F、D 三点共线。设直线 DB、AP 相交于点M1。则由塞瓦定理知，AM1 PF DE 1。A M1P FD EA PF AE P EFAP，FD ED C AM1 1，AM M P，M 为 PA 的中点 M1P M、M1 重合。1 1 1 D
18、M、B、D 三点共线。由（1）、（2）可得，P、F、D 三点共线的充分必要条件是M、B、D 三点共线。20 分 9 M B E F M 1 M B E F 1 1 1 【解答二】由FBD FED 知，B、F、D、A E 四点共圆。AFE BDE。P 由 PA 为圆O 的切线知，BDE PAF。C AFE BDE PAF。EFAP。5 分 D（1）若M、B、D 三点共线。连结 BM、DP、DF。A 由M 为切线 PA 的中点知，M MP2 MA2 MB MD，即 MP MB。MD MP P E B 10 分 C MPB MDP。F MDP MPB APB。D 又由 B、F、D、E 四点共圆以及
19、EFAP 知，MDF BDF BEF APB。MDF MDP。P、F、D 三点共线。.15 分（2）若 P、F、D 三点共线。设直线 DB、AP 相交于点M1，则PDM1 FDB FEB M1PB。又PM1B DM1P，A M1PB M1DP。2 M1P M1B M1D。又M A2 M B M D，P M P2 M A2，M P M A。C 1 1 1 1 因此，M 为 PA 的中点，M、M 重合。1 1 M、B、D 三点共线。D 由（1）、（2）可得，P、F、D 三点共线的充分必要条件是M、B、D 三点共线。20 分 10 14已知a 0，f(x)ln(2x 1)2ax 4aex 4。（1）
20、当a 1 时，求 f(x)的最大值；（2）判断函数 f(x)零点的个数，并说明理由。【解答】（1）当a 1 时，f(x)ln(2x 1)2x 4ex 4，f(x)2 2x 1 2 4ex。x 1 时，f(x)2 4(2x 1)2 4ex 0，f(x)在(1，)上为减函数。2 又 f(0)2 2 4 0，1 x 0 时，f(x)0；x 0 时，f(x)0。2 f(x)在区间 1，0 上为增函数，在0，上为减函数。2 a 1 时，f(x)的最大值为 f(0)0。.5 分（2）f(x)2 2x 1 2a 4aex，f(x)4(2x 1)2 4aex 当a 0，且 x 1 时，f(x)0。2 f(x)
21、在(1，)上为减函数。2 x 1 时，f(x)；x 时，f(x)。2 f(x)存在唯一实根，设此根为 x0。则 1 x x 时，f(x)0；x x 时，f(x)0。2 0 0 f(x)在区间 1，x 上为增函数，在x ，上为减函数。f(x)有最大值 f(x )。2 0 0 0 10 分 当a 1 时，由（1）知，f(x)有唯一零点。当0 a 1时，由 f(0)2 2a 4a 2 2a 0 知，x0 0。f(x0)f(0)4a 4 0。11 0 0 又 x 1 时，f(x)；x 时，f(x)。2 f(x)在区间(1，x )，(x，)内各有一个零点。2 0 0 当0 a 1时，f(x)有两个零点。
22、.15 分 当a 1 时，由 f(0)2 2a 0，知 1 x 0。2 0 由 f(x)2 2a 4aex 0，知 4aex 2 2a。2x0 1 2x0 1 f(x )ln(2x 1)2ax 4aex0 4 ln(2x 1)2ax (2 2a)4 0 0 0 0 0 2x0 1 ln(2x 1)2ax 2 2a 4，（1 x 0）。2x0 1 2 设 g(x)ln(2x 1)2ax 2 2x 1 2a 4。1 x 0 时，g(x)2 2a 4 0，2 2x 1(2x 1)2 g(x)在区间 1，0 上为增函数。2 1 x 0 时，g(x)g(0)2 2a 0。于是，f(x)0。2 0 a 1
23、 时，f(x)不存在零点。综合得，当0 a 1时，f(x)有两个零点；当a 1 时，f(x)只有 1 个零点；当a 1 时，f(x)不存在零点。.20 分 0 0 0 0 12 15设a1，a2，a3，a4，a5 是 5 个正实数（可以相等）。证明：一定存在 4 个互不相同的 下标i，j，k，l，使得 ai ak aj al 1。2【解答】不妨设a1 a2 a3 a4 a5，考虑以下 5 个分数：a1 ，a3 ，a1 ，a2 ，a4 ，.a2 a4 a5 a3 a5 它们都属于区间0，1。.5 分 把区间0，1 分成两个区间：0 1 和 1，1，由抽屉原理知，区间 0 1 或 1，1 中一 ，2 2 2 2 定有一个区间至少包含中的 3 个数（记这 3 个数依次为a，b，c）。10 分 将中的 5 个数依次围成一个圆圈，则中任意三个数中都有两个数是相邻的（a1 与 a4 是相邻的）。即a，b，c 中至少有两个数是相邻的。a2 a5 假设a 与b 相邻，则 a b 1。2 15 分 另一方面，由中 5 个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个 分数的分子、分母的 4 个下标互不相同。于是，a、b 对应的分数的分子、分母的 4 个下标符合要求。因此，结论成立。.20 分