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1、打印版 打印版 函数的单调性和奇偶性 例1、已知函数y=f(x)对任意x,yR均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)=32.(1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性；(2)求 f(x)在3，3上的最大、小值。思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。解：(1)令 x=y=0，f(0)=0，令 x=y 可得：f(x)=f(x)，在 R 上任取 x10，所以 f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2x1).因为 x10。又因为 x0 时 f(x)0，所以 f(x2x1)0，即 f(x2)f(x1).由定义可知 f(x)在 R 上是
2、减函数.(2)因为 f(x)在 R 上是减函数，所以 f(x)在3,3上也是减函数.所以 f(3)最大，f(3)最小。所以 f(3)=f(3)=2 即 f(x)在3，3上最大值为 2，最小值为2。例 2、求函数 y=322 xx的单调区间，并对其中一种情况证明。思维分析：要求出 y=322 xx的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设 u=x22x3，则 y=u.因为 u0，所以 x22x30.所以 x3 或 x1.因为 y=u在 u0 时是增函数，又当 x3 时，u 是增函数，所以当 x3 时，y 是 x 的增函数。又当 x1 时，u 是减函数，所以当 x1 时，y
3、 是 x 的减函数。所以 y=322 xx的单调递增区间是3,+)，单调递减区间是(，1。证明略 例 3、已知 y=f(x)是偶函数，且图象与 x 轴四个交点，则方程 f(x)=0 的所有实根之和是()A.4 B.2 C.0 D.不知解析式不能确定 思维分析：因为 f(x)是偶函数且图象与 x 轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故 x1+x2+x3+x4=0.答案：C 例 4、设 f(x)是定义在2，2上的偶函数，当 x0 时，f(x)单调递减，若 f(1打印版 打印版 m)f(m)成立，求 m 的取值范围。思维分析：要求 m 的取值范围，就要列关于 m 的不等式，由 f(1
4、m)0 时的情况，从而使问题简单化。解：因为函数 f(x)在2,2上是偶函数，则由 f(1m)f(m)可得 f(|1m|)f(|m|).又 x0 时，f(x)是单调减函数，所以|1|,2|,2|1|mmmm。解之得：1m21.1、函数 f(x)=xx12的值域是()A.21，+)B.(，21 C.(0,+)D.1,+)答案：A 2、下列函数中，在区间(，0)上为增函数的是()A.y=1+x1 B.y=(x+1)2 C.y=x D.y=x3 答案：D 3、设 f(x)在 R 上是偶函数，在区间(，0)上递增，且有 f(2a2+a+1)f(3a22a+1)，求 a 的取值范围。答案：0a3 4、已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为x|xR 且 x1，若 f(x)+g(x)=11x，则 f(x)=_,g(x)=_ 答案：f(x)=112x，g(x)=12xx.5、函数 f(x)=21xbax是定义在(1，1)上的奇函数，且 f(21)=52.(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)用定义证明 f(x)在(1，1)上是增函数；(3)解不等式 f(t1)+f(t)0；答案：(1)f(x)=21xx (2)证明略 打印版 打印版(3)0t21