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1、专题35 正方形在二次函数中的综合问题1、如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+4与抛物线yx2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上设抛物线与x轴的另一个交点为点C（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标【答案】（1） ；（2）；P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ）【思路引导】（1）利用直线解析式求
2、出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）作PFBO交AB于点F，证PFDOBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PHx轴于H，根据正方形的性质可证明CPHFCO，根据全等三角形对应边相等可得PH=CO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PKx轴于K，作PSy轴于S，同理可证得EPSCPK，可得PS=PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PMx轴于M，作PNy轴于N，同理可证得PENPCM，可得PN=PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标【解析】解：（1）直线y
3、x+4与坐标轴交于A、B两点，当x0时，y4，x4时，y0，A（4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，解得，抛物线的解析式为 ；（2）如图1，作PFBO交AB于点F，PFDOBD，OB为定值，当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中4x0，则F（x，x+4），PF，且对称轴是直线x2，当x2时，PF有最大值，此时PF2，；点C（2，0），CO2，（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PHx轴于H，在正方形CPEF中，CPCF，PCF90，PCH+OCF90，PCH+HPC90，HPCOCF，在CPH和FCO中，CPHFCO（AAS），PHCO2，点P的纵坐标为2，解得，
4、（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PKx轴于K，作PSy轴于S，同理可证得EPSCPK，PSPK，P点的横纵坐标互为相反数，解得x2（舍去），x2，如图4，点E在y轴上时，过点PMx轴于M，作PNy轴于N，同理可证得PENPCMPNPM，P点的横纵坐标相等，解得，（舍去），综合以上可得P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ）【方法总结】本题主要考查二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论2、如图1在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，顶点为，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线求抛
5、物线的函数表达式:若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由【答案】；四边形可以为正方形，【解析】解： 将三点代入得解得；如图关于对称的抛物线为当过点时有解得: 当过点时有解得:；四边形可以为正方形由题意设，是抛物线第一象限上的点解得:(舍去)即如图作，于，于四边形为正方形易证为将代入得解得:(舍去)当时四边形为正方形.3、如图1在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，顶点为，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕
6、点旋转，得到新的抛物线求抛物线的函数表达式:若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由【答案】；四边形可以为正方形，【解析】解： 将三点代入得解得；如图关于对称的抛物线为当过点时有解得: 当过点时有解得:；四边形可以为正方形由题意设，是抛物线第一象限上的点解得:(舍去)即如图作，于，于四边形为正方形易证为将代入得解得:(舍去)当时四边形为正方形.4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴
7、交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，如果四边形POPC为菱形,求点P的坐标（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，请求出此时点P的坐标【答案】（1）y=x22x3（2）（2）（2+102，-32）（3）P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，此时点P的坐标（1，4）【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：9+3b+c=0c=3，解得：b=2c=3，这个二次函数yx2+bx+c的解析式为
8、yx22x3；（2）四边形POPC为菱形，OC与PP互相垂直平分，yP=OC2=32，即x22x3=32，解得：x1=2+102，x2=2102（舍），P（2+102，32）；（3）PBC90，分两种情况讨论：如图1，当PCB90时，过P作PHy轴于点H，BC的解析式为yx3，CP的解析式为yx3，设点P的坐标为（m，3m），将点P代入代入yx22x3中，解得：m10（舍），m21，即P（1，4）；AO1，OC3，CB=32+32=32，CP=12+（4+3）2=2，此时BCCP=COAO=3，AOCPCB；如图2，当BPC90时，作PHy轴于H，作BDPH于DPCPB，PHCBDP，PHHC
9、=BDPD设点P的坐标为（m，m22m3），则PH=m，HC=（m22m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3），PD=3m，mm2+2m=(m22m3)3m，1m2=(m+1)，解得：m=1+52或152（舍去）当m=1+52时，m22m3=5+52PHCBDP，PCPB=HCPD=m2+2m3m=5155=15=55COAO =3，以P、C、B为顶点的三角形与AOC不相似综上所述：P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，此时点P的坐标（1，4）5、如图，在平面直角些标系中，二次函数yax2+bx的图象经过点A（1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数
10、的表达式及其顶点的坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个【答案】（1），抛物线的顶点坐标为（）；（2）最小值为；（3）5个【解析】(1)二次函数的图象经过点A(1，0)C(2，0)，解得：，二次函数的表达式为，y=，抛物线的顶点坐标为()；(2)如图，连接AB，作DHAB于H，交OB于P，此时PB+PD最小理由：OA=1，OB=，ABO=30，PH=PB，PB+PD=PH+PD=DH，此时PB+PD最短(垂线段最短);抛物线的顶点坐标为()，
11、ABO=30，HAD=60，在RtADH中，AHD=90，AD=，HAD=60，sin60=，DH=，PB+PD的最小值为；(3)以A为圆心AB为半径画弧，因为ABAD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM=AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；以B为圆心AB为半径画弧，因为，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；则满足条件的N点共有5个，故答案为：56、已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y
12、=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的E的最大面积，并判断此时E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.【答案】(1)y=x2+2x+3；（2）不相切， C的横坐标分别为2和5172；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）. 【解析】解：（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、
13、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得0=9+3b+c3=c，可得b=2，c=3抛物线的函数表达式y=x2+2x+3；（2）可得抛物线对称轴为：x=b2a=1， C在第一象限,以CD为直径的E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，设直线CD的横坐标为t，0t3，D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t2+2t+3）， |CD|=-t2+2t+3-(-t+3)= -t2+3t（0t3），当t=b2a=32时，CD最长，此时CD最长为94，此时圆E的半径为98，此时CD与对称轴的距离为32-1=1298，故不相切.当CD在对称轴
14、右边时，即1t3时|CD|= -t2+3t（1t3）；圆E的半径为t-1，可得|CD|=2r；-t2+3t=2（t-1），解得：t1=-1（舍去）；t2=2；当CD在对称轴左边时，即即0t1时，有-t2+3t=2（1-t），解得：t1=5+172（舍去），t2=5172；综上所述：t=2或t=5172，E与该抛物线对称轴相切. (3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.7、如图，二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M
15、，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；【答案】(1)m=4, C(0,4)(2) 存在, M(2,6)(3)P点坐标为(1+5,1+5)或(15,15)【解析】解：(1) 将点B(4,0)的坐标代入二次函数y=x2+3x+m，即42+34+m=0，解得m=4，故二次函数解析式为y=x2+3x+4，令x=0，解得y=4，故C点坐标为(0,4);(2)存在，理由：B(4,0)，C(0,4)直线BC的解析式为y=x+4，当直线BC向上平移b
16、单位后和抛物线只有一个公共点时，MBC面积最大，y=x+4+by=x2+3x+4整理得：x24x+b=0=164b=0，b=4x=2y=6M(2,6)(3)如图2、图3所示，连接PQ交BC于点G。因为四边形PBQC是菱形，所以G为BC的中点，因为点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,4)，所以由中点坐标公式得G点坐标为(2,2)，由(2)可知直线BC的解析式为y=x+4，由于PGBC，所以设直线PG的解析式为y=x+b，将G(2,2)代入，求得直线PG的解析式为y=x，将直线PG的解析式与抛物线解析式联立得：y=x2+3x+4y=x，消去y得：x=x2+3x+4，解得：x=15，将x=1+5代
17、入直线PG的解析式得y=1+5，将x=15代入直线PG的解析式得y=15，故当四边形PBQC为菱形时，P点坐标为(1+5,1+5)或(15,15).8、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4，t)(t0)二次函数yx2bx(b0)的图象经过点B，顶点为点D.(1)当t12时，顶点D到x轴的距离等于_；(2)点E是二次函数yx2bx(b0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)求OEEA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数yx2bx(b0)的图象于点M，N，连结
18、DM，DN.当DMNFOC时，求t的值【解析】 (1)将B点坐标(4，12)代入yx2bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；(2)分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出OEEA的最大值；(3)由DMNFOC可得MNCOt，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入yx2bx就可以求出t的值解：(2)二次函数yx2bx与x轴交于点E，E(b，0)OEb，AE4b.OEEAb(b4)b24b(b2) 24.当b2时，OEEA有最大值，其最大值为4.此时b2，二次函数表达式为yx22x；第1题答图(3)
19、如答图，过D作DGMN，垂足为G，过点F作FHCO，垂足为H.DMNFOC，MNCOt，DGFH2.D，N，即N.把x，y代入yx2bx，得b，解得t2，t0，t2.9、如图所示，直线ykxm分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线yx2bxc过A，B两点(1)求直线和抛物线的表达式；(2)设N(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标【解析】
20、(1)由直线ykxm分别交y轴、x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线yx2bxc过A，B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式；(2)假设xt时，线段MN的长度是最大值，可得M，N，则可得MNt24t(t2)24，然后由二次函数的最值问题，求得答案；(3)根据平行四边形的性质即可求得答案解：(1)直线ykxm分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，解得直线的表达式为yx2，将A(0，2)，B(4，0)分别代入抛物线，得解得抛物线的表达式为yx2x2；(2)存在假设xt时，线段MN的长度是最大值，由题意，得M，N，MNt24t(t2)24，当t2时，MN有最大值4
21、；第2题答图(3)由题意可知，D的可能位置有如答图三种情形当D在y轴上时，设D的坐标为(0，a)，由ADMN，得|a2|4，解得a16，a22，D(0，6)或D(0，2)；当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，直线D1N的表达式为yx6，直线D2M的表达式为yx2，由两方程联立解得D(4，4)综上可得，D的坐标为(0，6)，(0，2)或(4，4)10、如图所示，抛物线yx26x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OECD交MB于点E，EFx轴交CD的延长线于点F，作直线MF.(1)求点A，M的坐标；(2)当
22、BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD1时，求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1S2S3_348_.解：(1)令y0，则x26x0，解得x10，x26，A(6，0)，对称轴是直线x3，M(3，9)；(2)OECF，OCEF，C(2，0)，EFOC2，BC1，点F的横坐标为5，点F落在抛物线yx26x上，F(5，5)，BE5.，DE2BD，BE3BD，BD；(3)当BD1时，BE3，F(5，3)第3题答图设MF的表达式为ykxb，将M(3，9)，F(5
23、，3)代入，得解得y3x18.当x6时，y36180，点A落在直线MF上；BD1，BC1，BDC为等腰直角三角形，OBE为等腰直角三角形，CD，CFOE3，DP，PF，根据MF及OE的表达式求得点G的坐标为，如答图，过点G作GNEF交EF于点N，则ENGN，EG，SFPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，故SFPGS梯形DEGPS梯形OCDEPF(DPEG)(DCOE)2424348.11、如图所示，抛物线yax2bx3经过点A(2，3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC3OB.(1)求抛物线的表达式；(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐
24、标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1)本题需先根据已知条件，求出C点坐标，即OC，进而根据OC3OB求出点B的坐标，再根据过A，B两点，即可得出结果；(2)过点B作BEx轴交AC的延长线于点E，由BDOBAC，BODBEA90得到RtBDO和RtBAE相似，得到OD，进而得到点D的坐标；(3)根据题意可知N点在对称轴x1上，而A，B，M，N四点构成平行四边形符合题意的有三种情况：BMAN，AMBN；BNAM，ABMN；BMAN，ABMN，然后根据平行直线k
25、相同可以得到点M的坐标解：(1)令x0，由yax2bx3，得y3，C(0，3)，OC3，又OC3OB，OB1，B(1，0)，把点B(1，0)和A(2，3)分别代入yax2bx3，得 解得该二次函数的表达式为yx22x3.(2)如答图，过点B作BEx轴交AC的延长线于点E.BDOBAC，BODBEA90，RtBDORtBAE，ODOBAE：BE，OD133，OD1，D点坐标为(0，1)或(0，1) 第4题答图 第4题答图(3)如答图，M1(0，3)，M2(2，5)，M3(4，5)12、如图所示，顶点为的抛物线yax2bxc过点M(2，0) 原图 备用图(1)求抛物线的表达式；(2)点A是抛物线与
26、x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线yx1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y(k0)图象上一点若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 ya，再把点M(2，0)代入，可求a1，所以抛物线的表达式可求；(2)先分别求出A，B两点的坐标，及AB的长，再根据反比例函数y(k0)，考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限确定菱形有两种情形：菱形以AB为边，如答图，过点D作y轴的垂线，交y轴于点N，因此，BDNGAO45，BDAB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而k可求 菱形以AB为对角线，如答图
27、，过点D作x轴的垂线，与x轴交于点F，与过点B作y轴的垂线交于点E，可证DBE是等腰直角三角形，所以设BEDEx，则DFx2，DBx，在RtADF中，ADBDx，AFx1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标(x，x2)可求，k可求解：(1)依题意可设抛物线为ya，将点M(2，0)代入可得a1，抛物线的表达式为yx2x2；(2)当y0时，x2x20，解得x11，x22，A(1，0)，当x0时，y2，B(0，2)在 RtOAB 中，OA1，OB2，AB.设直线 y x1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，RtAOG为等腰直角三角形，AGO45.点 C 在 yx1 上且在
28、 x 轴下方，而 k0，y的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：第5题答图菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图所示，过点 D 作 DNy 轴于点 N，在 RtBDN 中，DBNAGO 45，DNBN，D，点D在y(k0)的图象上，k.菱形以 AB 为对角线，如答图所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y x1 于点 C，交 y的图象于点D再分别过点 D，B 作 DEx 轴于点 F，BEy 轴，DE 与 BE 相交于点 E.在 RtBDE 中，同可证AGODBO BDE 45，BEDE.设点 D 的坐标为(x，x2)第5题答图BE
29、2DE2BD2，BDBE x.四边形ACBD是菱形，ADBDx.在RtADF中，AD2AF2DF2，(x)2(x1)2(x2)2，解得x，点D的坐标为，点D在y(k0)的图象上，k.综上所述，k的值为或.13、如图所示，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OBOC6.(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；(2)连结BD，F为抛物线上一动点，当FABEDB时，求点F的坐标；(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQMN时，求菱形对角线MN的长【解析】 (1)利用OBOC6得到点B
30、(6，0)，C(0，6)，将其代入抛物线的表达可求出b，c的值，进而得到抛物线的表达式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F为抛物线上一动点，FABEDB，可以分两种情况求解：一是点F在x轴上方；二是点F在x轴下方每一种情况都可以作FGx轴于点G，构造RtAFG与RtDBE相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F的坐标(3)首先根据MN与x轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN在x轴上方；二是MN在x轴下方设菱形对角线的交点T到x轴的距离为n，利用PQMN，得到MT2n，进而得到点M的坐标为(22n，n)，再由点M在抛物线上，得n(22n)22(22n)6，求出n的值，最后可以求得
31、MN2MT4n的两个值解：(1)OBOC6，B(6，0)，C(0，6) 解得抛物线的表达式为yx22x6.yx22x6(x2)28，点D的坐标为(2，8)；(2)如答图，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为.过点F作FGx轴于点G，易求得OA2，则AGx2，FGx22x6. 第7题答图FABEDB，tanFAGtanEDB，即 ，解得x17，x22(舍去)当x7时，y，点F的坐标为.当点F在x轴下方时，同理求得点F的坐标为.综上所述，点F的坐标为或.(3)点P在x轴上，根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0)如答图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点第7题答图PQMN，MT2PT.设TPn，则MT2n.M(22n，n)点M在抛物线上，n(22n)22(22n)6，即2n2n80.解得n1，n2(舍去)MN2MT4n1.当MN在x轴下方时，设TPn，得M(22n，n)点M在抛物线上，n(22n)22(22n)6，即2n2n80.解得n1，n2(舍去)MN2MT4n1.综上所述，菱形对角线MN的长为1或1.