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1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 2011年全国中考数学压轴题精选精析（）2.（11年福建龙岩）26（14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将BCH绕点B按顺时针旋转90后 再沿x轴对折得到BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为13两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.（11年福建龙岩26题解析）解：（1）四边形
2、OBHC为矩形，CDAB， 又D（5，2）， C（0，2），OC=2 . 2分 解得 抛物线的解析式为： 4分 （2）点E落在抛物线上. 理由如下： 5分 由y = 0，得. 解得x1=1，x2=4. A（4，0），B（1，0）. 6分 OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，BHC=90， 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，EFB=90， 点E的坐标为（3，1）. 7分 把x=3代入，得， 点E在抛物线上. 8分 （3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a1. S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形
3、BCQP = S1，S梯形ADQP = S2， 下面分两种情形： 当S1S2 =13时，此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3a，由EPFEQG，得，则QG=93a，CQ=3(93a) =3a 6由S1=2，得，解得； 11分 当S1S2=31时，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a3，由EPFEQG，得QG = 3a9，CQ = 3 +（3 a9）= 3 a6，由S1= 6，得，解得.综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0） 14分 法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.当PQ经过点F（3，0）时，
4、易求S1=5，S2 = 3，此时S1S2不符合条件，故a3.设直线PQ的解析式为y = kx+b(k0)，则，解得，. 由y = 2得x = 3a6，Q（3a6，2） 10分CQ = 3a6，BP = a1，.下面分两种情形：当S1S2 = 13时，= 2； 4a7 = 2，解得； 12分当S1S2 = 31时，； 4a7 = 6，解得；来源:学#科#网综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0） 14分说明：对于第（3）小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分. 3.（11年福建宁德）26（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横
5、坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标（5分）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）（11年福建宁德26题解析）解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） 2分点B（
6、1，0）在抛物线C1上 解得，a 4分（2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称PM过点B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3顶点M的坐标为（4，5） 6分 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为 8分（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK设点N坐标为（m，5） 9分 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），
7、K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 10分 当PNF90时，PN2+ NF2PF2，解得m，Q点坐标为（，0） 当PFN90时，PF2+ NF2PN2，解得m，Q点坐标为（，0）PNNK10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 13分4.（11年福建莆田）25（14分）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接（1）求点的坐标；（2）求证：；（
8、3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点EDCAFBxOylEDCOFxy（图1）备用图（第25题图）使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（11年福建莆田25题解析）25（1）解:方法一，如图1，当时,当时, EDCAFBxOyl（图1）1分2分设直线的解析式为3分则解得直线的解析式为4分当时,EDCAFBxOyl（图2）GHM5分方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设3分4分解得5分(2)证明：方法一：在中，6分在中，由（1）得7分8分方法二：由 （1）知6分同理：来源:Z|xx
9、|k.Com7分同理：即8分（3）存在.解：如图3，作轴，垂足为点9分EDCOFxy图3MPlQ又来源:学科网10分设，则当时，11分解得12分当时，13分解得综上，存在点、使得与相似.14分5.（11年福建泉州）28（13分）在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C.(1)请直接写出点C的坐标；（2）若点B在第一象限内，OAB=OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D.试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；现有一动点P从B点出发，沿路线BAAD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点
10、时，另一个动点也随之停止运动.已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值.（11年福建泉州28题解析）28.（本小题13分）解:（1）C（-5，0）（3分）（2）四边形ABCD为矩形，理由如下：如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且 OA=OC；B、O、D在同一直线上，且OB=OD，四边形ABCD是平行四边形.（5分）OAB=OBAOA=OB,即AC=2OA=2OB=BD四边形ABCD是矩形.（7分）如图，由得四边形ABCD是矩形CBA=ADC=90（8分）又AB=CD=6，AC=10由勾股定理，得BC=AD=8（9分），0t14.
11、（10分）当0t6时，P点在AB上，连结PQ.AP是直径，PQA=90（11分）来源:Z,xx,k.Com又PAQ=CAB，PAQCAB，即,解得t=3.6（12分）当6t14时，P点在AD上，连结PQ，同理得PQA=90，PAQCAD，即t-6,解得t=12.综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为3.6或12.（13分）6.（11年福建厦门）26(11分)已知二次函数yx2xc(1)若点A(1，a)、B(2，2n1)在二次函数yx2xc的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(mn)在二次函数yx2xc的图象上，且D、E两点关于坐
12、标原点成中心对称，连接OP当2OP2时，试判断直线DE与抛物线yx2xc的交点个数，并说明理由（11年福建厦门26题解析） (1)解：法1：由题意得 1分 解得 2分 法2： 抛物线yx2xc的对称轴是x， 且 (1) 2， A、B两点关于对称轴对称. n2n1 1分 n1，c1. 2分 有 yx2x1 3分 (x)2. 二次函数yx2x1的最小值是. 4分 (2)解： 点P(m，m)(m0)， POm. 2m 2. 2m1. 5分 法1： 点P(m，m)(m0)在二次函数yx2xc的图象上， mm2mc，即cm22m. 开口向下，且对称轴m1， 当2m1 时， 有 1c0. 6分 法2： 2
13、m1， 1m1. 1(m1)22. 点P(m，m)(m0)在二次函数yx2xc的图象上， mm2mc，即1c(m1)2. 11c2. 1c0. 6分 点D、E关于原点成中心对称， 法1： x2x1，y2y1. 2y12x1， y1x1. 设直线DE：ykx. 有 x1kx1. 由题意，存在x1x2. 存在x1，使x10. 7分 k1. 直线DE： yx. 8分 法2：设直线DE：ykx. 则根据题意有 kxx2xc，即x2(k1) xc0. 1c0， (k1)24c0. 方程x2(k1) xc0有实数根. 7分 x1x20， k10. k1. 直线DE： yx. 8分 若 则有 x2c0.即
14、x2c. 当 c0时，即c时，方程x2c有相同的实数根， 即直线yx与抛物线yx2xc有唯一交点. 9分 当 c0时，即c时，即1c时， 方程x2c有两个不同实数根， 即直线yx与抛物线yx2xc有两个不同的交点. 10分 当 c0时，即c时，即c0时，图10 方程x2c没有实数根， 即直线yx与抛物线yx2xc没有交点. 11分7.（11年福建福州）22（满分14分）已知直线l：y=x+m（m0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将ACM绕点M旋转180，得到FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿
15、MN所在直线翻折，得到PMG，其中P与A为对称点.记：过点F的双曲线为，过点M且以B为顶点的抛物线为，过点P且以M为顶点的抛物线为.(1) 如图10，当m=6时，直接写出点M、F的坐标，求、的函数解析式；（2）当m发生变化时， 在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。 若、中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。（11年福建福州22题解析）解：（）点的坐标为（，），点的坐标为（，）2分 设的函数解析式为（过点（，）的函数解析式为的顶点的坐标是（，）设的函数解析式为过点M（2，4）的函数解析式为6分（2）依题意得，A（m，），B（，m），点坐标为（），点坐标为（，）设的函数解析式为
16、（来源:Z。xx。k.Com过点（，）在的每一支上，y随着x的增大而增大答：当时，满足题意的x的取值范围为 0x；当时，满足题意的x的取值范围为x14分2011年全国中考数学压轴题精选精析（一）1.（11年安徽）23已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示金额w（元）O批发量m（kg）300200100204060（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义【解】O60204批发单价（元）5批发量（kg）第23题图（1）来源:Zxxk.ComO6240日最高销量（kg）80零售价（元）第23题图（2）48（6，80）（7，40）（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg
17、）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大【解】（11年安徽23题解析）（1）解：图表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；3分图表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发-3分 （2）解：由题意得：，函图像如图所示7分由图可知资金金额满足240w300时，以同样的资金可批发到
18、较多数量的该种水果8分（3）解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量当m60时，x6.5由题意，销售利润为12分当x6时，此时m80即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元14分解法二：设日最高销售量为xkg（x60）则由图日零售价p满足：，于是销售利润12分当x80时，此时p6即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元14分2011年全国中考数学压轴题精选精析（三）8.（11年甘肃定西）28如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）图14（2）、图14（3）为解答备用图（1），点A
19、的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；图14（1）图14（2）图14（3）（4）在抛物线上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形（11年甘肃定西28题解析）解：（1），1分A（-1，0），2分B（3，0）3分（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM 4分则 AOC的面积=，MOC的面积=，MOB的面积=6，5分 四边形 ABMC的面积=AOC的面积+MOC的面积+MOB的面积=96分说明：也可过点M作抛物线的对称轴，
20、将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和（3）如图14（2），设D（m，），连结OD 图14（2）则 0m3， 0 且 AOC的面积=，DOC的面积=， DOB的面积=-（），8分 四边形 ABDC的面积=AOC的面积+DOC的面积+DOB的面积=来源:Z+xx+k.Com= 9分 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为10分（4）有两种情况：图14（3） 图14（4）如图14（3），过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点E的坐标为（0，3） 直线BE的解析式为12分由 解得 点Q1的坐标为（-2，5
21、）13分来源:学。科。网Z。X。X。K如图14（4），过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点F的坐标为（-3，0） 直线CF的解析式为14分由 解得 点Q2的坐标为（1，-4）15分综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC为直角边的直角三角形16分说明：如图14（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明BCM为直角三角形同样得2分 9.（11年甘肃兰州）29.（本题满分9分）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限动点P在正方形 ABC
22、D的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由（11年甘肃兰州29题解析）解：（1）（1，0）1
23、分 点P运动速度每秒钟1个单位长度2分（2） 过点作BFy轴于点，轴于点，则8， 在RtAFB中， 3分 过点作轴于点，与的延长线交于点 ABFBCH 所求C点的坐标为（14，12） 4分（3） 过点P作PMy轴于点M，PN轴于点N，则APMABF 设OPQ的面积为（平方单位）（010） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分 0 当时， OPQ的面积最大6分 此时P的坐标为（，） 7分（4） 当 或时， OP与PQ相等9分 对一个加1分，不需写求解过程10.（11年甘肃庆阳）29（12分）如图18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角
24、顶点C的坐标为（，0），点B在抛物线上（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）抛物线的关系式为 ；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求DBC的面积；图18（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90，到达的位置请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由（11年甘肃庆阳29题解析）解： （1）A（0，2）， B（，1）2分（2）3分（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（）4分设直线BD的关系式为， 将点B、D的坐标代入，求得， BD的关系式为5分设直线BD和x 轴交点为E，则点E（，0），CE= DBC的面积为7分图1EDC xA B B C O y来源:Z。xx。k.Com（4）如图2
25、，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作轴于点P8分P图2MNB C xA B C Oy来源:学|科|网在RtABM与RtBAN中， AB=AB， ABM=BAN=90-BAM， RtABMRtBAN9分 BM=AN=1，AM=BN=3， B（1，）10分同理ACPCAO，CP=OA=2，AP=OC=1，可得点C（2，1）；11分将点B、C的坐标代入，可知点B、C在抛物线上12分（事实上，点P与点N重合）2011年全国中考数学压轴题精选精析（四）11.（11年广东佛山）25一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义定义概念便于归类、交
26、流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题比如有下面的问题，请你研究已知：四边形中，且（1）借助网格画出四边形所有可能的形状；（2）简要说明在什么情况下四边形具有所画的形状（11年广东佛山25题解析）（1）四边形可能的形状有三类：图“矩形”、图“等腰梯形”、图的“四边形”注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形（后两种可以看作一类），给2分；等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分注2：如果在类
27、似图或图的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）(2) （i）若是直角（图），则四边形为等腰梯形； 6分（ii）若是锐角（图），存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形；8分其中，若是直角（图），则四边形为矩形 9分（iii）若是钝角（图），存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形； 11分注：可用与或者与是否相等分类；只画矩形和等腰梯形并进行说明可给4分 12.（11年广东广州）25（本小题满分14分）如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求
28、的取值范围；图13yxBACO（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（11年广东广州25题解析）解：（1）设点，其中抛物线过点，抛物线与轴交于两点，是方程的两个实根求的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：的面积为，即，解得，所求二次函数的关系式为方法2：由求根公式得，的面积为，即解得，所求二次函数的关系式为（2）令，解得，在中，在中，25题（2）图yxBACO，是直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的外接圆的半径垂线与的外接圆有公共点，（3）假设在二次函数的图象上存在点，使得四边形是直角梯形若，设点的坐标为，25题（3）图1y
29、xBACOED过作轴，垂足为，如图1所示求点的坐标给出以下两种方法：方法1：在中，在中，解得或，此时点的坐标为25题（3）图2yxBACODF而，因此当时在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形方法2：在与中，以下同方法1若，设点的坐标为，过作轴，垂足为，如图2所示在中，在中，解得或，此时点的坐标为此时，因此当时，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形综上所述，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形，并且点的坐标为或13.（11年广东茂名）25（本题满分10分）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设 （1）求的值；
30、（2分） （2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）（4分） （3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值（4分）（第25题图）yOMxnl123（11年广东茂名25题解析）解：（1）在上，2分 （2）由（1）得：， 在上， 当时，3 分 解法一：设抛物线表达式为：，4分 又， ，5 分 经过点的抛物线的解析式为：6 分 解法二：，设，4 分 把代入：，得，5 分 抛物线的解析式为6 分 （3）存在美丽抛物线7 分 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三
31、角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，等腰直角三角形斜边的长小于2，等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1当时，当时，当时，yOMxnl123美丽抛物线的顶点只有8分若为顶点，由，则；9分若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线10分14.（11年广东梅州）23本题满分 11 分 （提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形） 如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点 （1）直接写出直线的解析式； （2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求
32、出当时，的最大值； （3）直线过点且与轴平行，问在上是否存在点， 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由LAOMPBxyL1图12Q（11年广东梅州23题解析）（1）2分（2），点的横坐标为，当，即时，3分当时，4分当，即时，当时，有最大值6分（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得7 分LAOPBxyL123题图-1QC下证连，则四边形是正方形 法一：（i）当点在线段上，在线段上（与不重合）时，如图1 由对称性，得， ， 8分（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图2，如图3 ， 9分 （iii）当点与点重合时，显然 综合（i）（ii）（iii）， yLAOPBxL123题图-3QC21在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形11 分 LAOPBxL123题图-2QC21y法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，两点关于直线对称，所以，得 7 分 延长与交于点 （i）如图4，当点在线段上（与不重合）时，四边形是正方形， 四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形 LAOPBxyL123题图-1QC又， ， ， ， 又， 8分（ii）当点与点重合时，显然