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1、天津市和平区2020 届新高考适应性训练试题（二）数学一、单选题（每题5 分，满分45 分，每题有且仅有一个正确答案）1.已知全集U=R，集合1|1,|0,()2UxMx xNxCMNx则A.(,2)B.(,2C.(1,2D.1,2)【答案】B【解析】解：因为集合1|1,|021,2,=2()|2UxMx xNxx xxxMNx xCMNx x或则选 B 2.设,a b均为单位向量，则“33abab”是“ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将33abab等价转化为a b0，再根据向量垂直时数量积为零得充
2、要关系.详解：2222223333699+6ababababaa bbaa bb，因为,a b均为单位向量，所以2222699+6=0aa bbaa bba b ab，即“33abab”是“ab”的充分必要条件.选 C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件2等价法：利用p?q与非q?非p，q?p与非p?非q，p?q与非q?非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件3.“十二平均律”是通用的
3、音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.32 fB.322 fC.1252 fD.1272 f【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)nnaannN，又1af，则127771281(2)2aa qff故选 D 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本
4、题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1nnaqa（*0,qnN）或1nnaqa（*0,2,qnnN），数列na是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列na中，0na且212nnnaaa（*3,nnN），则数列na是等比数列.4.已知函数()sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，将yfx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g x.若g x的最小正周期为2，且24g，则38f（）A.2B.2C.2D.2【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出,A值即可【详解】因为()f x 为奇函数，(0)s
5、in0=,0,fAkk，0；又12()sin,2,122g xAxT2，2A，又()24g()2sin 2f xx，3()2.8f故选 C【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g x5.已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l.若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且|4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为A.2B.3C.2 D.5【答案】D【解析】【分析】只需把4ABOF用,a b c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率【详解】抛物线24yx的准线l的方程为1x，双曲线的渐近线方程为byxa，则有(1,),(1,)b
6、bABaa2bABa，24ba，2ba，225cabeaa故选 D【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度6.甲、乙俩人各进行3 次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.则甲恰好比乙多击中目标2 次的概率为（）A.124B.524C.172D.136【答案】A【解析】【分析】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，分析可得A包括两个事件，甲击中2 次而乙击中0 次，甲击中 3 次而乙击中1 次，由独立事件的概率乘法公式计算可得两个事件的概率，进而由互斥事件概率的加法公式，将其相加即可得答案【详解】记甲恰好比乙多击中目标2 次为事件A，分
7、析可得A包括两个事件:甲击中2次而乙击中0 次，记为事件1B，甲击中3次而乙击中1 次，记为事件2B，则12()()P AP BP B23033312333312122()(1)()(1)23233CCCC311282789124.故选：A.【点睛】本题考查互斥事件、相互独立重复事件的概率计算，运用到二项分布求概率，属于基础题.7.已知 m，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有()1 m，n，m/，n/2 n/m，nm3 /，m，nm/n4 m，mnn/A.0 个B.1个C.2 个D.3【答案】B【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真
8、假；根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假详解：由 m?，n?，m，n，若a，b 相交，则可得，若ab，则 与 可能平行也可能相交，故（1）错误；若 m n，n根据线面垂直的第二判定定理可得m，故（2）正确；若，m?，n?，则 m n或 m，n 异面，故（3）错误；若 m，m n，则n 或 n?，故（4）错误；故选 B点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键对于这种题目的判断一般是利用课
9、本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.8.已知奇函数()f x 在 R上是增函数，()()g xxf x.若0.82(log 5.1),(2),(3)agbgcg，则,a b c的大小关系为（）A.abcB.cbaC.bacD.bca【答案】C【解析】【分析】根据奇函数fx在R上是增函数可得()g x为偶函数且在0,上为增函数，从而可判断,a b c的大小.【详解】g x的定义域为R.()()gxxfxxfxxfxg x，故g x为偶函数.因为fx为R上的奇函数，故00f，当0 x时，因为fx为R上的增函数，故00fxf
10、.设任意120 xx，则120fxfx，故1122x fxx fx，故12g xg x，故g x为0,上的增函数，所以22log 5.1log 5.1agg，而0.82223log 8log 5.1log 422，故0.823log 5.12ggg，所以cab.故选 C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.9.已知函数23,1,()2,1.xxxf xxxx设aR，若关于x的不等式()|2xfxa在 R上恒成立，则a的取值范围是A.47,216B.47 39,
11、16 16C.2 3,2D.39 2 3,16【答案】A【解析】不等式()2xf xa为()()2xf xaf x(*)，当1x时，(*)式即为22332xxxaxx，2233322xxaxx，又22147473()241616xxx（14x时取等号），223339393()241616xxx（34x时取等号），所以47391616a，当1x时，(*)式为222xxaxxx，32222xxaxx，又3232()2 322xxxx（当2 33x时取等号），222222xxxx（当2x时取等号），所以2 32a，综上47216a故选 A【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2xfxa转
12、化为()()22xxf xaf x去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的a的范围.第II卷（非选择题，满分105 分)二、填空题（每题5 分，共计30 分）10.已知 z=（ai）（1+i）（aR，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a=【答案】1【解析】z(a i)(1 i)a1(a1)i，z在复平面内对应的点在实轴上，a10，从而 a1.11.42(1)xx的展开式中2x的系数为 _.(用数字作答)【答案】-8【解析】【分析】利用二项式定理展开即可得出【详解】解：42242(1
13、)(2)(14)xxxxx，2x项的系数为：24842C故答案为：-8【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力12.数列na满足11a，22a，2122nnnaaa.则数列na的通项公式为_【答案】222nann【解析】【分析】通过对2122nnnaaa变形可知2112nnnnaaaa，进而可知数列1nnaa是以1为首项、2为公差的等差数列，可知+1-21nnaan，利用累加法计算解即得结论.【详解】证明：因2122nnnaaa，所以2112nnnnaaaa，又因为21211aa，所以1nnaa是以1为首项、2为公差的等差数列，得112121nnaann，因而有：1211n
14、naan，12221nnaan，32221aa，212 1 1aa，累加后得：12 1211naann1212n nn221nn所以2212122naannnn，所以数列na的通项公式222nann.【点睛】本题考查由递推关系证明等差数列，还考查等差数列的通项公式及利用累加法求数列的通项公式，属于中等题.13.设抛物线22yx的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于,A B两点，与抛物线的准线相交于点C，|2BF，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS_【答案】45【解析】设 F 到直线 AB的距离为d，则1212BCFACFBC dBCBBSSACAAAC d设 AB：(3)yk
15、 x代入22yx中易得123x x，从而可得32,2ABxx54,225BCFACFSAABBS.14.已知,Ra b，且360ab，则128ab的最小值为 _.【答案】14【解析】【分析】由题意首先求得3ab的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由360ab可知36ab，且：312228aabb，因为对于任意x，20 x恒成立，结合均值不等式的结论可得：336122222224abab.当且仅当32236abab，即31ab时等号成立.综上可得128ab的最小值为14.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均
16、为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误15.在ABC中，60A，3AB，2AC.若2BDDC，()AEACABR，且4ADAE，则的值为 _.【答案】311【解析】01232cos603,33AB ACADABAC,则122123()()3493433333311AD AEABACACAB.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.三、解答题（解答过程需要有必要的文职说明和推理
17、步骤，共计75 分）16.设2sincoscos4fxxxx.（）求fx的单调区间；（）在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c,若0,12Afa,求ABC面积的最大值.【答案】（）单调递增区间是,44kkkZ；单调递减区间是3,44kkkZ（）ABC面积的最大值为234【解析】试题分析：（）首先利用二倍角公式化简函数fx的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（）首先由02Af结合（）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC面积的最大值.试题解析：解：（）由题意知1cos 2sin2222xxfxsin 21sin 21sin 2222xxx由222,22k
18、xkkZ可得,44kxkkZ由3222,22kxkkZ可得3,44kxkkZ所以函数fx的单调递增区间是,44kkkZ；单调递减区间是3,44kkkZ（）由1sin0,22AfA得1sin2A由题意知A为锐角，所以3cos2A由余弦定理：2222cosabcbcA可得：22132bcbcbc即：23,bc当且仅当bc时等号成立.因此123sin24bcA所以ABC面积的最大值为234考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.17.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，6PAPD，4AB（1）
19、求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）2 69【解析】【分析】（1）设AC，BD的交点为E，由线面平行性质定理得PDME，再根据三角形中位线性质得M为PB的中点（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设AC，BD的交点为E，连接ME因为P
20、D平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点（2）取AD的中点O，连接OP，OE因为PAPD，所以OPAD又平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD因为OE平面ABCD，所以OPOE因为ABCD是正方形，所以OEAD 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则0,0,2P，2,0,0D，2,4,0B，所以4,4,0BD，2,0,2PD设平面BDP的法向量为,nx y z，则00n BDn PD，即440220 xyxz令1x，则1y，2z，于是1,1,2n平面PAD的法向量为0,1,0p，所以1cos,2n p
21、n pn p由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3（3）由题意知21,2,2M，2,4,0C，23,2,2MC设直线MC与平面BDP所成角为，则2 6sincos,9n MCn MCn MC所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2 6918.已知公差不为零的等差数列na中，11a，且1a，2a，4a成等比数列，（1）求数列na的通项公式；（2）数列nb满足12nnnba，数列nb的前n项和为flT，若不等式(1)2nnnnT对一切*nN恒成立，求的取值范围.（3）设数列212na的前n项和为nS，求证：对任意正整数n，都有61144nS成立.【答案】（1）nan；（2）312；（3）看
22、解析.【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，由已知2214aa a，求出d，即可得数列na的通项公式；（2）由（1）可得，22nnb，利用错位相减法即可得出222nnnT，代入不等式(1)2nnnnT对一切*nN恒成立，对n分类讨论即可得出的取值范围；（3）当1,2n时，结论显然成立；当3n时，3411916nnSaaa，化简证明即可.【详解】（1）已知等差数列na中，11a，设公差为d，由已知2214aa a，则21113dd，所以1d，得na的通项公式为：11nannn即：nan.（2）由（1）可得，2nnnb，则23111111123122222nnnTnn2341111111
23、1231222222nnnTnn两式相减得：211111122222nnnnTTn解得：222nnnT.所以不等式12nnnnT化为2122nn对一切*nN恒成立，若n为偶数，则2222，即32；若n为奇数，则222，即1；综上可得：312.（3）证明：当1,2n时，结论显然成立；当3n时，由（2）知，3411916nnSaaa22211111916562n11111111916455612nn111619164144.所以，对任意正整数n，都有61144nS成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和利用错位相减法求数列的前n项和，同时考查数列和不等式的恒成立问题求参数的范围，还考查学生的转化
24、思想和运算能力.19.已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为32，直线1y与椭圆C的两交点间距离为8.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设00(,)R xy是椭圆C上的一动点，由原点O向圆2200()()4xxyy引两条切线，分别交椭圆C于点,PQ，若直线,OPOQ的斜率均存在，并分别记为12,kk，求证：12kk为定值.（3）在（2）的条件下，试问22OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）221205xy；（2）12k k为定值14；（3）22|OPOQ为定值，定值为25【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得224ab，由椭圆过点(4,1)，
25、代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用点到直线距离公式222010010(4)2(4)0 xkx y ky，同理求得：222020020(4)2(4)0 xkx y ky，则1k，2k是方程2220000(4)2(4)0 xkx y ky的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得12kk为定值；（3）将直线OP和 OQ 的方程，代入椭圆方程，即可求得P和Q点坐标，根据两点之间的距离公式2222221122|OPOQxyxy，由1214k k，即可求得22|OPOQ为定值【详解】解：（1）由椭圆的离心率22312cbeaa，则224ab，由直线过点(4,1)，代入222214x
26、ybb，解得：25b，则220a，椭圆的标准方程：221205xy；（2）证明：由直线1:OPyxk，直线2:OQyk x，由直线OP为圆R的切线，10021|21k xyk，2220100 10(4)2(4)0 xkx y ky，同理可得：222020020(4)2(4)0 xkx y ky，1k，2k是方程2220000(4)2(4)0 xkx y ky的两个不相等的实根，由2040 x，0，则20122044yk kx，由0(R x，0)y在椭圆上，即2200154yx，220012220011414444xykkxx，12kk为定值14；（3）经判断22|OPOQ为定值，设1(P x，
27、1)y，2(Q x，2)y，联立1221205yk xxy，解得212122112120142014xkkyk，2221112120(1)14kxyk，同理，得2222222220(1)14kxyk，由1214kk，得22222222121122221220(1)20(1)|1414kkOPOQxyxykk，22112121120(1)20(1)1611414kkkk，22112211120(4)20(1)41441kkkk，2121251002514kk，22|OPOQ为定值，定值为25【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法
28、、推理能力与计算能力，属于难题20.设函数()ln,mf xxmRx.（1）当me（e为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数()()3xg xfx零点的个数；（3）若对任意()()0,1f bf ababa恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）2；（2）当23m时，函数()g x无零点；当23m或0m时，函数()g x有且仅有一个零点；当203m时，函数()g x有两个零点；（3）1,)4.【解析】试题分析：（1）当m=e 时，2xefxx0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；（2）由2033xxmxg xfxx，得33xmx，令33xh xx，x0，m R，则 h
29、（1）=23，h（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f（x）-3x零点的个数；（3）（理）当 ba 0时，f（x）1 在（0，+）上恒成立，由此能求出m的取值范围试题解析：（1）由题设，当me时，()lnefxxx易得函数()f x 的定义域为(0,)221()exefxxxx当(0,)xe时，()0fx，此时()f x 在(0,)e上单调递减；当(,)xe时，()0fx，此时()f x 在(,)e上单调递增；当xe时，()f x 取得极小值()ln2ef eee()f x 的极小值为2（2）函数21()()(0)33xmxg xfxxxx令()0g x
30、，得31(0)3mxx x设31()(0)3xxx x2()1(1)(1)xxxx当(0,1)x时，()0 x，此时()x在(0,1)上单调递增；当(1,)x时，()0 x，此时()x在(1,)上单调递减；所以1x是()x的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1 也是()x的最大值点，()x的最大值为12(1)133又(0)0，结合 y=()x的图像（如图），可知当23m时，函数()g x无零点；当23m时，函数()g x有且仅有一个零点；当203m时，函数()g x有两个零点；0m时，函数()g x有且只有一个零点；综上所述，当23m时，函数()g x无零点；当23m或0m时，函数()g x有且仅有一个零点；当203m时，函数()g x有两个零点.（3）对任意()()0,1f bf ababa恒成立，等价于()()f bbf aa恒成立设()()ln(0)mh xf xxxx xx，()h x等价于在(0,)上单调递减21()10mh xxx在(0,)恒成立2211()(0)24mxxxx恒成立14m（对14m，x=0h（）仅在12x时成立），m的取值范围是1,)4考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值