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1、吉林省榆树市2019-2020 学年高二上学期期末考试试题数学（理）一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1.设aR，则1a是11a的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知0 x,则函数1yxx的最小值是()A.2 2 B.2 C.2 D.33.下列方程对应的曲线中离心率为223的是()A.22198xyB.2219xyC.22198xyD.2219xy4.在ABC中,60,2AAB且ABC的面积为32,则 AC 的长为（）A.32B1 C3D2 5.若抛物线22(0)xp
2、y p的焦点坐标为（0，3）,则p()A.12 B.6 C.3 D.326.已知双曲线221259xy上有一点M到左焦点1F 的距离为 18,则点M到右焦点2F 的距离是()A.8 B.28 C.12 D.8或 28 7.在ABC 中，如果 sin:sin:sin2:3:4ABC，那么 cosC 等于（）A.23B.14C.13D.238.已知正实数,x y满足3xy，则41xy的最小值（）A2 B3 C4 D1039.短道速滑队组织6 名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔,记“甲得第一名”为p,“乙得第二名”为q,“丙得第三名”为r,若pq是真命题,pq是假命题,
3、()qr 是真命题,则选拔赛的结果为()A.甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D.甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名10.递增的等比数列na中，25128a a，34+24aa，则na（）A.2nB.1()2nC.2nD.2n11.若向量(1,1),(2,1,2)ab，且 a 与 b 的夹角余弦为26，则等于()A.2B.2C.2 或2D.2 12.如图，在 60 二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若4ABACBD，则线段CD的长为()A.4 3B.16 C
4、.8 D.4 2二、填空题(本大题共4 小题每小题5 分，共 20 分)13.在如图所示的长方体1111-ABCD ABC D 中，已知1(2,0,1)A，(0,3,0)C，则点1B 的坐标为 _.14.若,x y满足约束条件22030,2xyxyx则2zxy的最大值为 _.15.若命题“2R20ttta，”是假命题，则实数a的取值范围是_16.设21F，F为椭圆 C:1203622yx的两个焦点,M 为 C上一点且在第一象限.若21FMF为等腰三角形,则M的坐标为 _.三、解答题(共 70 分,解答题写文字说明、证明过程或演算步骤。)17（每小题 10 分）设锐角三角形ABC 的内角,A B
5、 C 的对边分别为,a b c 已知2 sinabA.(1)求B的大小;(1)若3 3a,5c,求b的值.18（每小题 12 分）已知等差数列na和等比数列nb满足111ba,54242,10abbaa1)求na的通项公式2)求和:12531.nbbbb19（每小题 12 分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A、B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:产品 A 产品 B 研制成本与搭载费用之和(万元/件)20 30 计划最大投资金额300 万元产品重量(千克/件)10 5 最大搭载重量110 千克
6、预计收益(万元/件)80 60 试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大?最大收益是多少?20（每小题 12 分）设数列na满足：11a，123nnaa.（1）证明：数列3na为等比数列，并求出数列na的通项公式.（2）求数列3nna的前n项和nT.21（每小题 12 分）如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面,90,4,2ABCDABCBADADAPABBC,M N为线段,PC AD上一点不在端点.(1)当 M为中点时,14ANAD,求证:/MN面PBA(2)当 N为AD中点时,是否存在M，使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 55,若存在求出M的坐标
7、,若不存在,说明理由.22（每小题 12 分）已知椭圆C:4222yx（1）求椭圆C的离心率（2）设 O为原点,若点 A在直线 y=2 上,点 B在椭圆 C上,且OBOA,求线段 AB长度的最小值.一、选择题1A 2B 3D 4B 5B 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D 二、填空题13、(2,3,1)14、9 15、1a 16、(3,15)三、解答题17.(1)根据正弦定理,得:sin2sinsinABA,2 分 sin0A,1sin2B.3分ABC为锐角三角形,6B.5 分(2)根据余弦定理,得:22232cos272523 3572bacacB,8 分7b.10分18.(1)
8、设等差数列an的公差为d由1042aa得10421da -3分因为2,11da所以 -4分所以122)1(1nnan -6分(2)设等比数列bn的公比为q因为9421542?qbabb所以-7分因为3,91241qqb即所以-9分所以3122112?nnnqbb从而213313113331121231.?nnnnbbb-12分19.答案：设搭载产品Ax件,产品 B y件,总预计收益为8060zxy万元.2 分则2030300,105110,N,N,xyxyxy 5 分作出可行域,如图 7 分作出直线0:430lxy并平移,由图得,当直线经过M点时,z取得最大值,由2330,222.xyxy解得
9、94xy即M为(9,4)9 分所以max80960 4960z.11 分答:搭载产品9A件,产品4B件,可使得总预计收益最大,为960万元 12 分20.（1）因为,所以13233233nnnnaaaa3 分所以数列是首项为134a,公比为 2 的等比数列;4 分所以,所以.6 分（2）由（1）得12)3(nnnan所以14322.232221nnnT ,所以25432.2322212nnnT 7 分两式相减得:9 分 11 分所以.12 分21.(1)方法一：证明：因为PA平面 ABCD,AB AD平面 ABCD,所以,PAAB PAAD,又90BAD,所以,AP AB AD两两垂直,分别以
10、 AB、AD、AP所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Axyz,2 分则(0,0,0),(0,4,0),(0,1,0)ADN,(0,0,4),(2,2,0),(1,1,2),(1,0,2)PCMMN,3 分显然平面PAB的法向量为(0,1,0)m,则0MNm,5 分又MN不在平面PAB内,所以/MN平面PAB；6 分方法二：取BP的中点 E,连接 ME,EA 1 分由 M为 PC的中点知121,MBCMEBCE 2 分在平面四边形ABCD 中,90BADABC即:ABDAABCB,所以 AD BC,既 ANBC 3 分由已知得141ADAN所以MEAN,四边形 AEMN 是平行四
11、边形,所以 MN AE 4 分因为PABMNPABAE平面平面,5 分所以 MN 平面 PAB 6 分(2)假设存在点M使得 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 55,则(0(2,2,4),(2,2,4)PMPCPCPM 1),所以(2,2,44)M(2,2,44),(0,2,0),(0,2,4)AMNPN,则(2,22,44)MN,7 分设平面 PBC 的法向量为(,),(0,2,0),(2,2,4)nx y z BCPC,202240yxyz,不妨设1z,则(2,0,1)n 9 分24cos,5244020MN n,11 分设线面角为,则242 5sincos,55244020MN
12、n,解得23或 1(舍去,4 4 4(,)3 3 3M时,直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 55 12 分22.1)由题意,椭圆 C的标准方程为:12422yx,1 分所以2,422ba,从而2222bac2 分因此2,2 ca3 分所以 C的离心率e=224 分2)方法一:设点 A,B 的坐标分别为yxt00,2,00 x5 分因为OBOA,所以0?BOAO即0200ytx解得xyt002又422020yx6 分40482244244442020202020202020202020202022224xxxxxxxyxxyyxtOBOAAB9 分因为48228220202020?xxxx当且仅当420 x时等号成立所以82AB,11 分所以线段AB长度的最小值为2212 分方法二:设直线 OA:myx,AyxAA,因为OBOA,所以直线OB:yxBBBmxy,5分由2ymyx解得2,2yxAAm 6 分由12422yxmxy解得mmymxBB242222221,14 7 分04212411442222222222222212214442424mmmmmmmmmmOBOAAB10 分因为421222122122122222?mmmm当且仅当m=0时,等号成立所以82AB,11 分所以线段 AB长度的最小值为22 12 分