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1、湖南省衡阳市第八中学2020 届高三上学期第四次月考（11月）试题数学（文）一、单选题1已知命题:0px,总有1 e1xx,则p为A00 x,使得001 e1xx B00 x,使得001 e1xxC0 x,总有1 e1xx D0 x,总有1 e1xx2在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27 个棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（）A49B827C29D1273函数()sin()f xAx（其中0,0,|2A）的图象如图所示，为了得到()sing xAx的图象，只需把()yf x的图象上所有的点（
2、）A向右平移6个单位长度B向左平移6个单位长度C向右平移12个单位长度D向左平移12个单位长度4执行如图所示的程序框图，若输出的值为2，则判断框中可以填入的条件是（）An999Bn9999 Cn9999 Dn999 5.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55 名学生，得到数据如下表：临界值参考:（参考公式：22()()()()()n adbcKabcdac bd，其中nabcd）参照附表，得到的正确结论是A在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”B在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”C
3、有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”6在 ABC中，已知向量AB与AC满足()0ABACBCABAC，且0ABACABAC，则 ABC为（）A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等腰直角三角形7已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左、右焦点分别为12,FF，过2F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若直线2F H的斜率为33，则双曲线C的离心率为()A2 B3C2D3 8.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1 斤=10 两,令甲、乙、丙从上作
4、折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5 个人,则得银最少的 3 个人一共得银A.两 B.889127两 C.111131两 D.84031两9设01aa且，设函数()logxaf xax，则当a变化时，函数()f x的零点个数可能是（）A.1 个或 2 个B.1 个或 3 个 C.2个或 3 个D.1 个或 2 个或 3 个10小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、
5、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A69B64C61D6311已知定义在R上的函数()g x，其导函数为()gx，若3()()g xgxx，且当0 x时，23()2gxx，则不等式22(1)2()331g xg xxx的解集为()A1(2，0)B1(,)2C1(2，)D1(,)212定义在R上的函数fx若满足：对任意1x、212xxx，都有12120 xxfxfx；对任意x，都有2faxfaxb，则称函数fx为“中心撇函数”，点,a b
6、称为函数fx的中心.已知函数32yfx是以3,2为中心的“中心撇函数”，且满足不等式2233fmnfnm，当3,02n时，2mn的取值范围为（）A6,0B2,0C2,4D1,12二、填空题13已知复数11izi(i为虚数单位），则_z14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线22123xy的两条渐近线分别交于A,B 两点,3AB,则p的值为 _15.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2222abcab,且sin3sinacBC,则的面积为 _16如图，在边长为3 正方体1111ABCDA B C D中，E为BC的中点，点P在正方体的表面上移动，且满足11B
7、 PD E，当 P在 CC1上时，AP=_,点1B和满足条件的所有点P构成的平面图形的面积是_.三、解答题17 已知向量(2 cos,6sin),(3cos,3cos)axxbxx，函数()2fxa bm，且当0,2x，时，()f x 的最大值为1.（1）求m的值，并求()f x 的单调递减区间；（2）先将函数()yf x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的23倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移6个单位，得到函数()yg x的图象，求方程11()2g x在区间20,3上所有根之和.18已知函数tanfxx，函数()3yfx在0,上的零点按从小到大的顺序构成数列Nnan（1）求数列na的通项公
8、式；（2）设232(3)(321)nnabnnn，求数列nb的前n项和nS.19在四棱锥PABCD中，090ABCACD,060BACCAD，PAABCD平面，E为PD中点，M为AD中点，F为PC中点,23PAAB（1）求证：/EF平面ABCD；（2）证明：AF平面PCD；（3）求三棱锥EACF的体积.20已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线242xy的焦点，离心率等于22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于,A B两点(异于左右顶点)，椭圆 C的左顶点为D，试判断直线 AD的斜率与直线BD的斜率之积与12的大小，并说明理由.21已知
9、函数ln1,fxmxxemR e为自然数 2.71828.（1）若函数fx存在不小于3e的极小值，求实数m的取值范围；（2）当1m时，若对,xe，不等式0 xexe eafx恒成立，求实数a的取值范围.22已知曲线1C：sin24和2C：3 cos(sinxy为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出1C，2C的普通方程.（）若曲线2C上的点M到曲线1C的距离等于为d，求d的最大值并求出此时点M的坐标；23已知函数1fxx xxa.（I）当2a时，求不等式1fx的解集；（II）若1,x时，2fxx恒成立，求实数a的取值范围.答案一、单选
10、题1已知命题:0px,总有1 e1xx,则p为A00 x,使得001 e1xx B00 x,使得001 e1xxC0 x,总有1 e1xx D0 x,总有1 e1xx【答案】A【解析】【详解】命题的否定是对命题结论的否定，全称命题的否定是特称命题，因此p为00 x,使得001 e1xx，故选 A.2在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27 个棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（）A49B827C29D127【答案】B【解析】【分析】由在 27 个小正方体中选一个正方体，共有27 种结果，满足条件的
11、事件是取出的小正方体表面有三个面涂有颜色，有8 种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】由题意，在 27 个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8 个，恰好有两个都涂有颜色的共12 个，恰好有一个面都涂有颜色的共6 个，表面没涂颜色的1 个，可得试验发生包含的事件是从27 个小正方体中选一个正方体，共有27 种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面都涂色，有8 种结果，所以所求概率为827故选：B3函数()sin()f xAx（其中0,0,|2A）的图象如图所示，为了得到()sing xAx的图象，只需把()yf x的图象上所有的点（）A向右平移6个单位长度B向
12、左平移6个单位长度C向右平移12个单位长度D向左平移12个单位长度【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知1A，又712344T，所以T，又因为2T，所以2，所以sin 2fxx，又因为771,sin211212f，又|2，所以,3所以sin23fxx，又因为()sin2g xx，故只需向右平移6个单位长度.故选 A.4执行如图所示的程序框图，若输出的值为2，则判断框中可以填入的条件是（）An999Bn9999 Cn9999 Dn999【答案】B【解析】【分析】分析循环结构中求和式子的特点，可到最终结果
13、：2lg(1)Sn，当2S时计算n的值，此时再确定判断框的内容.【详解】由图可得：2lg1lg 2lg 2lg3.lglg(1)Snn，则2lg(1)2Sn，所以9999n，因为此时需退出循环，所以填写：9999n.故选：B.6.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55 名学生，得到数据如下表：临界值参考:（参考公式：22()()()()()n adbcKabcdac bd，其中nabcd）参照附表，得到的正确结论是A在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”B在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性
14、别无关”C有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”【答案】A 由公式2255(2020105)11.97810.82830252530K，有 99.9%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；即在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”，故选 A.6在 ABC中，已知向量AB与AC满足()0ABACBCABAC，且0ABACABAC，则 ABC为（）A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等腰直角三角形【答案】D【详解】解:0|ABACBCABAC,A的角平分线与BC垂直,A
15、BAC,cos0|ABACAABAC2A三角形为等腰直角三角形,故选 D 7已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左、右焦点分别为12,FF，过2F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若直线2F H的斜率为33，则双曲线C的离心率为()A2 B3C2D3【答案】A【详解】由题意可知,渐近线方程为byxa，由223,303F HkHF O所以，260,tan603bHOFa所以即，224ca所以,故2ca答案选 A.8.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1 斤=10 两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两
16、,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5 个人,则得银最少的 3 个人一共得银A.两 B.889127两 C.111131两 D.84031两【答案】D【解答】解：一秤一斤十两共120两,将这 5 人所得银两数量由小到大记为数列,则是公比的等比数列,于是得55115(1)(12)120112aqaSq,解得112031a,故得银最少的3 个人一共得银数为2123120840(122)3131aaa(两 故选 D9设01aa且，设函数()logxaf xax，则当a变化时，函数()f x的零点个数可能是（）A.1 个或 2 个B.
17、1 个或 3 个 C.2个或 3 个D.1 个或 2 个或 3 个【答案】D【解析】将零点问题化归为函数图像交点问题，然后由数形结合可知，存在以下三种情况：10小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少次数为（）A69B64C61D63【答案】D【解析】假设A桩上有1n个圆环，将1n个圆环从A木桩全部套到B木桩
18、上，需要最少的次数为1na，可这样操作，先将n个圆环从A木桩全部套到C木桩上，至少需要的次数为na，然后将最大的圆环从A木桩套在B木桩上，需要1次，在将C木桩上n个圆环从C木桩套到B木桩上，至少需要的次数为na，所以，121nnaa，易知11a.设12nnaxax，得12nnaax，对比121nnaa得1x，1121nnaa，1121nnaa且112a，所以，数列1na是以2为首项，以2为公比的等比数列，5612264a，因此，663a，故选：D.11已知定义在R上的函数()g x，其导函数为()gx，若3()()g xgxx，且当0 x时，23()2gxx，则不等式22(1)2()331g
19、xg xxx的解集为()A1(2，0)B1(,)2C1(2，)D1(,)2【答案】B【详解】定义在R上的函数()g x，3()()g xgxx，333()()()222xxxg xgxgx，令3()()2xh xg x，则()()h xhx()h x为偶函数23()()2xh xg x，又当0 x时，23()2xgx，()0h x，()h x在 0，)为增函数，且()h x在(,0)为减函数不等式332(1)2(1)2()331()(1)22xxg xg xxxg xg x即()(1)1h xh xxx解得12x，故选B12定义在R上的函数fx若满足：对任意1x、212xxx，都有12120
20、xxfxfx；对任意x，都有2faxfaxb，则称函数fx为“中心撇函数”，点,a b称为函数fx的中心.已知函数32yfx是以3,2为中心的“中心撇函数”，且满足不等式2233fmnfnm，当3,02n时，2mn的取值范围为（）A6,0B2,0C2,4D1,12【答案】A【详解】由12120 xxfxfx知此函数为增函数.由函数32yfx是关于3,2的“中心撇函数”，知曲线32yfx关于点3,2对称，故曲线yfx关于原点对称，故函数yfx为奇函数，且函数yfx在R上递增，于是得2233fmnfnm，2233mnnm.22330mnmn，30mnmn.则问题转化为在线性约束条件30302mnm
21、nn下，求2mn的取值范围。易得26,0mn故选：A.三、填空题14已知复数11izi(i为虚数单位），则_z【答案】1【解答】2221212iizii，1z14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线22123xy的两条渐近线分别交于A,B 两点,3AB,则p的值为 _【答案】2【解答】解：抛物线的准线为l：,双曲线22123xy的两条渐近线方程为62yx,可得66,2424ppApBp,则66344ABpp,可得2p故答案为215.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2222abcab,且sin3sinacBC,则的面积为 _【答案】3 24【解答】解：在
22、中,2222abcab,由余弦定理得22222cos222abcabCabab,则4C,sin3sinacBC,由正弦定理得3,3ac bcab则,1123 2sin32224ABCSabC16如图，在边长为3 正方体1111ABCDA B C D中，E为BC的中点，点P在正方体的表面上移动，且满足11B PD E，当 P在 CC1上时，AP=_,点1B和满足条件的所有点P构成的平面图形的面积是_.【答案】92,818.【详解】取1CC，CD的中点分别为,N M，连结11,AM MN B N AB，由于1/ABMN，所以1AB NM四点共面，且四边形1AB NM为梯形，因为11,D EMN D
23、 EAM MNAMM，所以1D E面1AB NM，因为点P在正方体表面上移动，所以点P的运动轨迹为梯形1AB NM，如图所示：因为正方体1111ABCDA B C D的边长为3，所以当点 P在 CC1上时，点P为 CC1的中点 N，2222393 222APANACCN又113 23 5,3 2,22NMABAMB N，所以梯形1AB NM为等腰梯形，所以11()2SMNAB13 2 9281(32)2248h。三、解答题17 已知向量(2 cos,6sin),(3cos,3cos)axxbxx，函数()2fxa bm，且当0,2x，时，()f x 的最大值为1.（1）求m的值，并求()f x
24、 的单调递减区间；（2）先将函数()yf x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的23倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移6个单位，得到函数()yg x的图象，求方程11()2g x在区间20,3上所有根之和.【答案】（1）3 224，8837,()kkkZ；（2）56.【详解】（1）函数23()3 2cos3sincos23sin242222f xxxxmxmmax433 20,2,()3212442xxf xm，得3 224m.即()3sin244f xx，由题意得3222242kxk，得8,837kxkkZ所以，函数()f x 的单调减区间为8837,()kkkZ.（2）由题意，()3si
25、n 364443sin 34g xxx，又11()2g x，得1sin 342x解得：3246xk或532()46xkkZ即25336kx或213,336kxkZ20,3x3961x或1136x故所有根之和为1911536366.18已知函数tanfxx，函数()3yfx在0,上的零点按从小到大的顺序构成数列Nnan（1）求数列na的通项公式；（2）设232(3)(321)nnabnnn，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）3nan（2）2244(2)(3)24(2)(525513)3nnnSnnnnn或【解析】解：（1）fxtanx，由tan3x及0 x得2,3xkkN，则数列na是首项
26、3，公差 d的等差数列，所以3nan（2）由（1）得232(3)(321)nnabnnn23()3111123()(3)(321)2(3)(1)(31)413nnnnnnnnnn，则11111111 1111()213443543223nSnnnn2244(2)(3)525524(2)(313)nnnnnnn或19在四棱锥PABCD中，090ABCACD,060BACCAD，PAABCD平面，E为PD中点，M为AD中点，F为PC中点,23PAAB（1）求证：/EF平面ABCD；（2）证明：AF平面PCD；（3）求三棱锥EACF的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）9 38解析：（1
27、）因为E为PD的中点，F为PC中点，则在PCD中，EFCD，CD平面ABCD,EF平面ABCD,则EF平面ABCD(2),90,3,32cos603,PAABCDPACD PAACACDCDACPAACPACCDPACCDAFABABCABACPAACFPCAFPCCDAFPCCDPCDAFPCD证法一：平面由题知即而，是平面内两条相交直线平面在中，且为中点又而，是平面内两条相交直线平面,CDPACCDPCDPCDPACPCAFPACAFPCDAFPC证法二：由证法一知：平面而平面平面平面交线为平面由平面222233,13 213 313 5,222222,ACABPAACPAACAFPCEF
28、CDAEPDAFEFAEAFEFAFPCEF PCPCDAFPCD证法三：由则又即又而是平面内两条相交直线平面,/,111 1913 33 3,222 242211 9 3 39 333 428ACFPACEACFACFCDPAC EFCDEFPACEFACFSSPA ACEFCDVSEF(3)由(1)(2)知平面平面即平面20已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线242xy的焦点，离心率等于22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于,A B两点(异于左右顶点)，椭圆 C的左顶点为D，试判断直线 AD的斜率与直线BD的斜率之积与12的大小
29、，并说明理由.【答案】(1)22241xy；(2)31222.【详解】(1)设椭圆的标准方程为为22221(0)xyabab，由题2b，22222cabeaa.即222221,4aa,椭圆 C的方程为22241xy.(2)直线 AD与直线 BD的斜率之积为定值，且定值为31222由题易知(2,0)D当直线 AB的斜率不存在时，(2,1),(2,1)AB，易求113222222DADBkk当直线 AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为(2)(0)yk xk，设1122(,),(,)A xyB xy联立22142(2)xyyk x可得2222(21)4 2440kxk xk221212224 24
30、4,1212kkxxxxkk，则212121212221212221212(2)(2)22(2)(2)2()22322()42128 2DADByykxxkkxxxxkx xxxkx xxxkk故直线 AD与直线 BD的斜率之积为定值31222.21已知函数ln1,fxmxxemR e为自然数 2.71828.（1）若函数fx存在不小于3e的极小值，求实数m的取值范围；（2）当1m时，若对,xe，不等式0 xexe eafx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）,)e；（2）,1ee.【解析】（1）函数yfx的定义域为0,，11mxfxmxx.当0m时，0fx，函数yfx在区间0,上单调递
31、减，此时，函数yfx无极值；当0m时，令0fx，得1xm，又当10,xm时，0fx；当1,xm时，0fx.所以，函数yfx在1xm时取得极小值，且极小值为1ln2fmem.令ln23mee，即ln1m，得me.综上所述，实数m的取值范围为,)e；（2）当1m时，问题等价于ln10 xexe eaxxe，记ln1xexe eaxxeh x，由（1）知，ln1fxxxe在区间,e上单调递减，所以ln1yxxe在区间,e上单调递增，所以ln1ln10 xxeee e，当0a时，由xe可知，0 xexe e，ln10axxe所以0h x成立；当01eae时，1(1)1x ehxxeeax设1()(1)
32、1xeg xhxxeeax2+2+0 x eagxxeex（）恒成立，所以g x 在区间,e上单调递增，所以hx在区间,e上单调递增，所以110ehxh eae.所以，函数yh x在区间,e上单调递增，从而0h xh e，命题成立.当1eae时，显然1(1)1xehxxeeax在区间,e上单调递增，11()()1(1)10eh xh eaaee记(1)xem xexe，则1x em xe，当xe时，0mx，所以，函数ym x在区间,)e上为增函数，即当xe时，()()0m xm e(1)0 x eexe.211(1)1(1)1x ehxxeeaxeaxx214(41)14haaeaa，由于1e
33、ae，显然4ea设22213()(41)11678244t aaeaaaeaeea()32788(4)70t aaeae则3()()044eet at4=()0hat a11()1(1)10eh eaaee，40ha，由可知hx在区间,e上单调递增所以在区间,4ea内，存在唯一的0,4xea，使得00hx，故当0exx时，0hx，即当0exx时，0h xh e，不符合题意，舍去.综上所述，实数a的取值范围是,1ee.22已知曲线1C：sin24和2C：3 cos(sinxy为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出1C，2C的普通方程.
34、（）若曲线2C上的点M到曲线1C的距离等于为d，求d的最大值并求出此时点M的坐标；【答案】（）20 xy，2231xy；（）312 2;,22M【详解】（）1:sin()2,sincos24C即则1:20Cxy2cos3cos:3sinsinxxCyy，又22sincos1则2223:1xCy（）方法一：（利用椭圆的参数方程）设椭圆2(3cos,sin),(02)CM上点则点M到曲线1:20Cxy的距离：3 cossin22 sin()132d当maxsin()1223d时，此时，32()232kkZ 又0所以731,(,)622M则点方法二：（利用平行相切）设2:lyxaC与椭圆相切联立方程
35、组222246330()33yxaxaxaxy由22364 4(33)0aa，得24,2aa则直线2020 xyxy与都和椭圆2C相切则maxd即为直线120:20 xyCxy与的距离即max222 22d此时，232,230,2axx由式得:则则31222y，故点31(,)22M23已知函数1fxx xxa.（I）当2a时，求不等式1fx的解集；（II）若1,x时，2fxx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（I）3x x；（II）1,3.【详解】（I）当2a时，222,2()2,122222,1xxfxxxxxxx，当2x时，2212xx，得210 x，无实数解；当 12x时，221x，得33x所以13x；当1x时，2221xx，得2230 xx恒成立，得1x.综上，不等式1fx的解集为3x x.（II）1,x时，2fxx恒成立，等价于2xaxx在1,x恒成立.等价于22xxxxax，即222xaxx在1,x恒成立.即1,x时，22maxmin2xaxx，因为1x时，222(3,);(,1)xxx，所以13a，即实数a的取值范围是1,3.