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1、内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中2020 届高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：（本题共12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.下列各组集合中，表示同一集合的是（）A.(3,2)M，(2,3)NB.2,3M，3,2NC.(,)|1Mx yxy，1|Ny xyD.1,2M，(1,2)N【答案】B【解析】【分析】根据集合相等的要求，对四个选项进行判断，得到答案.【详解】A选项中，(3,2)M，(2,3)N，集合M、N都是点集，但集合M里的元素是点3,2，集合N里的元素是点2,3，所以集合M、N不是同一集合；B选项中，集合M、N都是数集，并且它们
2、的元素都相同，所以时同一集合；C选项中，集合M是点集、集合N是数集，所以集合M、N不是同一集合；D选项中，集合M是数集、集合N是点集，集合M、N不是同一集合.故选：B.【点睛】本题考查相同集合的判断，属于简单题.2.已知复数i2iz（其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（）A.12iB.1+2iC.-1-2iD.-1+2i【答案】A【解析】复数22i212ii iziiz的共轭复数是12i.故选 A.3.下列命题错误的是A.命题“若p则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题B.命题“xR,20 xx”的否定是“R,20 xx”C.0 x且1x，都有12xxD.“若22ambm，则ab”的逆命题
3、为真【答案】D【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若p则q”的逆否命题为“若q，则p”，所以A正确对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“xR,20 xx”的否定是“R,20 xx”，所以 B正确对于选项C，当0 x且1x时，由基本不等式可得12xx所以 C正确对于选项D，命题“若ab，则22ambm”当0m时不成立，所以D不正确故选 D【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力4.已知0.5log5m，35.1n，0.35
4、.1p，则实数m，n，p的大小关系为（）A.mnpB.mpnC.nmpD.npm【答案】A【解析】0.50.5log5log10m，30.305.15.1np，mnp，故选A5.设向量(1,1)ax，(1,3)bx，则“2x”是“/ab”的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充要条件的判断方法进行判断即可.【详解】若2x，则1,1a，3,3b，则/ab；但当/ab时，2,x故“2x”是“/ab”的充分但不必要条件.选 A.【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.6.要得到3sin(2)4yx的图象，只需将3sin
5、2yx的图象 ()A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位【答案】D【解析】【分析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.【详解】将3sin 2yx的图象向左平移8个单位后，得到3sin 2()3sin(2)84yxx的图象，故选 D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x 的系数对平移单位的影响.7.函数sin()0,0,|2yAxA的图象如图所示，则y的表达式为（）A.102sin116xyB.2sin26yxC.2sin26yxD.102sin116xy【答案】B【解析】【分析】根据图像最大值和最小值可得A，根据最大值和最小值的所对
6、应的x的值，可得周期T，然后由2T，得到，代入点,26，结合的范围，得到答案.【详解】根据图像可得2A，22362T，即T，根据2T，得22，所以2sin 2yx，代入,26，得22sin 2x，所以2262k，kZ，所以26k，kZ又因|2，所以得6，所以得到2sin26fxx，故选：B.【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，属于简单题.8.函数()f x 在R上单调递减，且为奇函数 若(1)1f，则满足1(2)1f x的x的取值范围是（）A.2,2B.1,1C.0,4D.1,3【答案】D【解析】分析】根据奇函数()f x，可得111ff，再由fx单调性，求得2x的范围，解得x的
7、范围.【详解】因为fx为奇函数，且11f，所以111ff，因为函数()f x 在R上单调递减，所以1(2)1f x，可得121x，所以13x，故满足要求的x的取值范围为1,3.故选：D.【点睛】本题考查奇函数的性质，根据函数的单调性解不等式，属于简单题.9.若3tan4，则2cos2sin 2=（）A.1625B.1 C.6425D.3【答案】C【解析】【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2+sin2），再将“弦”化“切”即可得到答案【详解】tan 34，cos2+2sin2 22222cossin cossincos2141tantan231443146425故选：C【点睛】本题考
8、查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题10.已知等比数列na的公比1q，且148a a，236aa，则数列na的前n项和nS（）A.2nB.12nC.21nD.121n【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的下标公式，得到14238a aa a，结合23=6aa，解得2a和3a的值，然后得到公比q和首项1a，从而得到其前n项和nS.【详解】等比数列na中，有14238a aa a，而23=6aa，可得232,4aa或者234,2aa根据公比1q可知na是递增数列，所以232,4aa，可得422aqa，211aaq，所以na的前n项和1111221112nnnnaqqS，故选：C.
9、【点睛】本题考查等比数列下标公式，等比数列通项基本量计算，等比数列求和公式，属于简单题.11.函数262xfxxxe的极值点所在的区间为（）A.0,1B.1,0C.1,2D.2,1【答案】A【解析】【分析】求出导函数262xfxxe，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间【详解】262xfxxxe，262xfxxe，且函数fx单调递增又00624 0,1420fefe，函数fx在区间0,1内存在唯一的零点，即函数fx的极值点在区间0,1内故选 A【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该
10、零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点12.定义在R上的偶函数()f x 满足(1)(1)f xf x，且当 1,0 x时，2()f xx，函数()g x是定义在R上的奇函数，当0 x时，()lgg xx，则函数()()()h xf xg x的零点的的个数是（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】由0h x，得出fxg x，转化为函数yfx与函数yg x图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可。【详解】由于11fxfx，所以，函数yfx的周期为2，且函数yfx为偶函数，由0h x，得出fxg x，问题转化为函数yfx与函数yg x图象的交点个数，作出
11、函数yfx与函数yg x的图象如下图所示，由图象可知，01fx，当10 x时，lg1g xx，则函数yfx与函数yg x在10,上没有交点，结合图像可知，函数yfx与函数yg x图象共有11 个交点，故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题。第卷主观题（共90 分）二、填空题（每小题5 分共 20 分）13.已知数列na满足11a，132nnaa，则数列na的通项公式为 _【答案】12 31n【解析】【分析】待定系数得到13nna
12、a，得到【详解】因为na满足132nnaa，所以13nnaa，即132nnaa，得到1，所以1131nnaa，而112a，故1na是以2为首项，3为公比的等比数列，所以112 3nna，故12 31nna.故答案为：12 31n.点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.14.已知221fxx，则fx=_【答案】22212xx【解析】【分析】换元法:令2(2)xt t,解出2(2)xt,再将2(2)xt代入221fxx,得()f t,从而可得()f x.【详解】令2(2)xt t,则2(2)xt,所以2()2(2)1f tt(2)t,所以2()2(2)1(2)
13、fxxx.故答案为:2()2(2)1(2)f xxx.【点睛】本题考查了用换元法求函数解析式,换元时,一定要注意新元的取值范围,属中档题.15.若函数2log(43)aykxkx的定义域是R,则k的取值范围是.【答案】30,4【解析】函数2log43aykxkx的定义域是R，则2430kxkx在 R上恒成立，当0k时满足题意；当0k时，2016120kkk，解得304k.综上：k的取值范围是30,4.16.函数()xf xexa在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是 _.【答案】-1a或3a【解析】【分析】首先根据单调性及最值可得1,2a，分为1a和2a两种情形，求出函数的导数，根据函数
14、的单调性得到关于a的不等式，解出取并集即可.【详解】由题意得110afxfe，01,2faa，1a时，xfxexa，10 xfxexa即1,2x，10100g xxagaa，因此1a；2a时，xfxeax，10 xfxeax即1,2x，102303h xxahaa因此3a，综上可得,13,a，故答案为,13,.【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题三、简答题：（共 70 分）17.已知函数2sincos3 sin 244fxxxx（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数fx在区间0,2上的最大最小值及相应的x值.【答案】(1)；(2)当6x时
15、，max2fx；当2x时，min1fx。【解析】【详解】分析：（1 直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化简即可求函数fx的最小正周期；（II）结合已知条件求出72666x，进而可求出函数fx在区间0,2上的最大最小值及相应的x值详解：（1）sin23sin2cos23sin22sin 226fxxxxxx所以fx的最小正周期是（2）因为02x，所以02x，所以72666x当6x时，max2fx当2x时，min1fx点睛：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查 y=Asin（x+）型函数的图象和性质，是基础题18.已知等差数列na的前n项和为nS，且530S，10110S.（1）求nS；
16、（2）记12111nnTSSS，求nT.【答案】（1）2nSnn；（2）111nTn.【解析】试题分析：（1）由基本量法，得到51101510301045110SadSad，解得122ad，所以2nSnn；（2）111111nSn nnn，利用裂项相消法，求得111nTn。试题解析：（1）51101510301045110SadSad，解得122ad，所以2nSnn；（2）111111nSn nnn，所以1111111122311nTnnn。点睛：本题考查等差数列的基本性质与裂项相消求和。等差数列的基本题型中，熟悉掌握基本量法的应用，求得基本量1,a d，得到相关求解答案。裂项相消求和主要掌握
17、其基本结构，知道哪些求和可以利用裂项来处理的。19.已知、C分别为C的三边a、b、c所对的角，向量sin,sinm，cos,cosn，且sin2Cm n（1）求角C的大小；（2）若sin，sinC，sin成等差数列，且CC18，求边c的长【答案】（1）3；（2）6【解析】【详解】试题分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得m nsin AB，再由已知sin2Cm n可得122sin CsinCcosC，从 而 求 得C 的 值；（2）由sin，sinC，sin成 等 差 数 列，得2sinCsinAsinB，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c 边的长试题解析：（1）m nsinAcosB si
18、nBcosAsin AB,0ABCCsin ABsinCm nsinC，（），12223m nsin Csin CsinCcosCC，；（2）由sinAsinCsinB，成等差数列，得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab181836CA CBabcosCab，由余弦定理222223cababcosCabab（），2224336366cccc，考点：等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角20.已知函数2xfxexa，xR，曲线yfx的图象在点0,0f处的切线方程为ybx.（1）求函数yfx的解析式；（2）当xR时，求证：2fxxx；【答案】（1）21xfxex；（2）证明
19、见解析；【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为21xfxex.(2)构造新函数21xg xfxxxex.结合函数的最值和单调性可得2fxxx.试题解析：（1）根据题意，得2xfxex，则 01fb.由切线方程可得切点坐标为0,0，将其代入yfx，得1a，故21xfxex.（2）令21xg xfxxxex.由10 xgxe，得0 x，当,0 x，0gx，yg x单调递减；当0,x，0gx，yg x单调递增.所以min00g xg，所以2fxxx.21.已知函数21()ln12afxaxx.（1）当12a时，求()f x 在区间1,ee上的最值；（2）讨论函数()f
20、 x 的单调性；（3）当10a时，有()1ln2af xa恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）最小值为54，最大值为2124e；（2）见解析；（3）（1，0）【解析】【分析】（1）求出函数在区间1,ee上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据a的不同取值进行分类讨论，得 到 导 函 数 的 符 号 后 可 得 函 数 的 单 调 性；（3）当10a时，求 出 函 数fx的 最 小 值 为min1afxfa，故问题转化为当10a时1ln12aafaa恒成立，整理得到关于a的不等式，解不等式可得所求范围【详解】（1）当12a时，21ln1,(0)24xfxxx，211112222xxxxfx
21、xxx当0,1x时，0,fxfx单调递减；当1,x时，0,fxfx单调递增当1x时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为514f又213124fee，2124efe，2max124efx所以函数在区间1,ee上的最小值为54，最大值为2124e（2）由题意得21axafxx，0,x当10a，即1a时，0fx恒成立，fx在0,上单调递减当0a时，0fx恒成立，fx在0,上单调递增当10a时，01 1a，由0fx得1axa，或1axa（舍去），fx在0,1aa上单调递减，在,1aa上单调递增综上可得，当0a，fx在0,上单调递增；当10a时，fx在0,1aa上单调递减，在,1aa单调递增；当1a
22、时，fx在0,上单调递减（3）由（2）可得，当10a时，min1afxfa，若不等式1ln2afxa恒成立，则只需1ln 112aafaa，即1ln11ln1212aaaaaaaa，整理得ln11a，解得11ae，11ae，又10a，110ae实数a的取值范围为11,0e【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就
23、是参数22.已知数列na的前 n 项和1nnSa，其中0（）证明na是等比数列，并求其通项公式；（）若53132S，求【答案】（）；（）1【解析】试题分析：（）首先利用公式11,1,2nnnSnaSSn，得到数列na的递推公式，即可得到na是等比数列及na的通项公式；（）利用（），用表示前n项和nS，结合nS的值，建立方程可求得的值试题解析：（）由题意得，故，.由，得，即.由，得，所以.因此na是首项为，公比为的等比数列，于是.（）由（）得.由得，即.解得1.【考点】数列的通项na与前n项和nS的关系，等比数列的定义、通项公式及前n项和.【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1nnaqa（常数）；（2）中项法，即证明212nnnaa a根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解