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1、精品教案可编辑学业分层测评(二十)导数在实际生活中的应用(建议用时:45 分钟)学业达标 一、填空题1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s43t32t2,那么速度为24的时刻是 _ 秒末.【解析】由题意可得t 0,且s 4t2 4t,令s 24,解得t3(t 2 舍去).【答案】32.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y13x381x234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_ 万件.【解析】令yx281 0,解得x9 或x 9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是增函数,在区间(9,)上是减函数,f(x)在x9 处取最大值.【答案
2、】93.已知某矩形广场面积为4 万平方米,则其周长至少_ 米.【解析】设广场的长为x米,则宽为40000 x米,于是其周长为y2x40000 x(x0),所以y 2 140000 x2,令y 0,解得x200(x 200 舍去),这时y800.当 0 x200 时,y 0;当x200 时,y 0.所以当x200 时,y取得最小值,故其周长至少为800 米.【答案】8004.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm.要使其体积最大,则高为_.【解析】设圆锥的高为hcm(0 h20),则圆锥的底面半径r202h2精品教案可编辑400 h2(cm),VV(h)13r2h13(400 h2)h13(
3、400hh3),V13(400 3h2),令V13(400 3h2)0,解得h2033.由题意知V一定有最大值,而函数只有一个极值点,所以此极值点就是最大值点.【答案】2033cm5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子,其体积为72 cm3,其底面两邻边边长之比为12,则它的长为 _、宽为 _、高为 _ 时,可使表面积最小.【解析】设底面的长为2x cm,宽为x cm,则高为36x2cm,表面积S 22xx 2x36x2 22x36x24x2216x(x0),S 8x216x2,由S 0,得x3,x(0,3)时,S 0,x(3,)时,S 0,x3 时,S最小.此时,长为6 cm,宽为 3 cm,
4、高为 4 cm.【答案】6 cm 3 cm 4 cm6.(2016四川高考改编)设直线l1,l2分别是函数f(x)ln x,0 x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是_.【导学号:24830092】【解析】精品教案可编辑由图象易知P1,P2位于f(x)图象的两段上,不妨设P1(x1,ln x1)(0 x11),则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为yln x11x1(xx1),即yxx11ln x1.则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为yln x21x2(xx2),即yxx21ln x2.由l
5、1l2,得1x11x2 1,x1x2 1.由切线方程可求得A(0,1 ln x1),B(0,ln x21),由知l1与l2交点的横坐标xP2ln x1 ln x21x11x22x1x2.SPAB12(1 ln x1ln x2 1)2x1x22x1x22x11x1.又x1(0,1),x11x12,02x11x11,精品教案可编辑即 0SPAB1.【答案】(0,1)7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为_.【解析】设圆柱的高为2h,则底面圆的半径为R2h2,则圆柱的体积为V(R2h2)2h 2R2h 2h3,V2R2 6h2.令V 0,解得h33R.h 0,33R时,V单调递增,h33R,
6、R时,V单调递减,故当h33R时,即 2h233R时,圆柱体的体积最大.【答案】233R8.某商场从生产厂家以每件20 元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q8300 170pp2.则最大毛利润(毛利润销售收入进货支出)为 _.【解析】设毛利润为L(p),由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8300 170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000,所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0,解得p 30 或p 130(舍去).因为在p30 附近的左侧L(p)0,右侧L(p)0,所以L(30)
7、是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,此时,L(30)23 000.即零售价定为每件30 元时,最大毛利润为23 000元.【答案】23 000元二、解答题9.设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,则如何设计可使总造价最少?精品教案可编辑【解】设圆柱体的高为h,底面半径为r,设单位面积铁的造价为m,桶的总造价为y,则y3mr2m(r2 2rh).由Vr2h,得hVr2,y4mr22mVr(r0),y 8mr2mVr2.令y 0,得rV413.此时hVr24V413.该函数在(0,)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价的最
8、小值显然存在.当rV413时,y有最小值,即hr41 时,总造价最少.10.(2016南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15 元,销售价是 20 元,月平均销售a件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x(0 x1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y与x的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【解】(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1 x),月平均销售量为a(1x2)件
9、,则月平均利润ya(1x2)20(1 x)15 元,所以y与x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0 x1).(2)由y 5a(42x12x2)0 得x112或x223(舍),当 0 x12时,y 0;当12x1 时,y 0,所以函数y5a(14xx24x3)(0 x1)在x12处取得最大值.故改进工艺后,产品的销售价为20 11230(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.能力提升 精品教案可编辑1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为_.【解
10、析】设四角截去的正方形边长为x.铁盒容积V4(24 x)2x,所以V 4(24 x)28(24 x)x4(24 x)(24 3x),令V 0,得x8,即为极大值点也是最大值点,所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x的取值为 _.【解析】依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.0486kx2,其中x(0,0.0486).所以银
11、行的收益是y 0.0486kx2kx3(0 x0.0486),则y0.0972kx3kx2.令y 0,得x 0.0324 或x 0(舍去).当 0 x0.0324 时,y 0;当 0.0324 x 0.0486时,y 0.所以当x0.0324时,y取得最大值,即当存款利率为0.0324时,银行获得最大收益.【答案】0.03243.如图 3-4-2,内接于抛物线y1x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积最大值是_.图 3-4-2【解析】设CDx,则点C的坐标为x2,0,点B的坐标为x2,1x22.矩形ABCD的面积Sf(x)x 1x22x34x(x(0,
12、2).精品教案可编辑由f(x)34x210,得x123(舍去),x223,当x0,23时,f(x)0,f(x)是递增的,当x23,2时,f(x)0,f(x)是递减的,当x23时,f(x)取最大值439.【答案】4394.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失,并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足的函数关系是x2000t,乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润时的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影
13、响的经济损失金额y0.002t2,在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?【解】(1)由题意,得W2000tstst103s2106s(t0),当t103s,即t106S2时,W取得最大值,为106s2,乙方获得最大利润时的年产量为106s2吨.(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下,甲方在索赔中获得的净收入为V元.t106s2,Vst0.002t2106s22 109s4.精品教案可编辑V106s28 109s5,令V 0,得s20,当s20 时,V 0,V在(20,)上单调递减;当S20 时,V 0,V在(0,20)上单调递增.当s 20 时,V取得极大值,也就是最大值,在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是 20 元.