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1、高中数学几何概型更上一层楼达标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 1/8 几何概型更上一层楼达标训练基础巩固1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停 1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.101 B.91 C.111 D.81思路分析：准确找出“两长度”，套用相应公式；试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故 P(A)=101答案：A 2.如图 3-3-9，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为32，则阴 影区域的面积为()图 3-3-9 A.34 B.38 C.32
2、D.无法计算思路分析：利用几何概型的概率计算公式知32矩阴SS，S阴=32S矩=38.答案：B 3.在第 2 题中若将100 粒豆子随机撒入正方形中，恰有60 粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积为()A.512 B.56 C.53 D.无法计算思路分析：利用NNSS规则不规则，其中 N为总试验次数，N为阴影内的试验样本点数.NNSS矩圆，100604圆S.S阴=1064=512.答案：A 4.在 1 万 km2的海域中有40 km2的大 陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是(A.2511 B.2491 C.2501 D.2521思路分析：“长度”即为面积，利用面积
3、比求得；记事件A为“钻到油层面”，则事件 A发生的面积为40 km2，试验的全部结果构成的面积为10 000 km2，故 P=2501100040.答案：C 5.将 0，1内的均匀随机数转化为-2，6内的均匀随机数，需实施的变换为()高中数学几何概型更上一层楼达标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 2/8 A.a=a1*8 B.a=a1*8+2 C.a=a1*8-2 D.a=a1*6 思路分析：利用函数中伸缩、平移法则,将 0，1内的随机数转化为c，d内的随机数需进行的变换为a=a1*(d-c)+c.答案：C 6.如图 3-3-10，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的
4、正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是_.图 3-3-10 思路分析：“随机”才具有“等可能性”，属于几何概型；由几何概型的计算公式得P=94大正方形的面积小正方形的面积.答案：947.如图 3-3-11，在一个边长为a、b(a b 0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31a与21a，高为 b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为_.图 3-3-11 思 路 分 析：两“长 度”即 为 两 面 积，直 接 套 用 几 何 概 型 的 概 率 公 式.S矩=ab，S梯=abbaa125)2131(21?，所 投点落在梯形内部的概率P=125125ab
5、abSS矩梯.答案：1258.设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6.现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是_.思路分析：是否有公共点取决于硬币中心到最近平行线的距离，以此找到两“长度”.由硬币中心O向最近的格线作垂线OM，垂足为 M，如图，线段 OM 长度的取值范围是0，3，高中数学几何概型更上一层楼达标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 3/8 而只有当OM 长在 0，1时与格线有公共点，故P=3130 10的长度的长度，.答案：319.如图 3-3-12，在半径为1 的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点
6、落在正方形内的概率为_.图 3-3-12 思路分析：几何概型问题的概率与形状、位置无关，本题只与面积有关；S正=(21)2=41，S半圆=21 12=2，由几何概型的计算公式得P=21241半圆正SS.答案：2110.两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两船停靠泊位的时间分别为 1 h 与 2 h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为_.思路分析：用两个变量代表两船到达泊位的时间，找出两变量的取值范围和满足的条件.设 x、y 分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意0 x24，0y24，y-x 1，x-y 2，图 中 阴 影 部 分 表 示 必 须 有
7、一 艘 船 等 待，则 概 率P=11521392423212221242222.答案：1152139综合应用11.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径ra 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.思路分析：根据“无限性”“等可能性”判定为几何概型，作适当辅助线求得“两长度”.硬币任意抛掷，落在哪个位置的机会都一样，故属于几何概型.高中数学几何概型更上一层楼达标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 4/8 解:记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看右图，这样线段OM长度(记作|OM|
8、)的取值范围是0，a，只有当 r|OM|a 时，硬币不与平行线相碰，所以 P(A)=ara，aar的长度的长度0,.12.向图 3-3-13 中所示正方形内随机地投掷飞标，图 3-3-13 求飞标落在阴影部分的概率.思路分析：几何概型问题一般有公式法和随机模拟两种方法，当然随机模拟方法比较麻烦，在公式法不好进行的情况下可考虑随机模拟方法.我们分别用两种方法计算该事件的概率：(1)利用几何概型的公式；(2)用随机模拟的方法.解：方法一：由于随机地投掷飞标，飞标落在正方形内每一个点的机会是等可能的，所以符合几何概型的条件.S阴影=2136253565，S正=22=4，P=1442543625正阴影
9、SS.方法二：通过建立坐标系，得到两“长度”曲线的范围，才能对随机变量进行平移、伸缩变换，只有得到两“长度”曲线的方程，才能数出适合条件的数组数.(1)利用计算器或计算机产生两组0 至 1区间内的均匀随机数a1、b1(共 N组)；(2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2，b=(b1-0.5)*2；(3)数出满足不等式b2a-34，即 6a-3b 4 的数组数 N1，来源:Zxxk.Com所求概率PNN1.可以发现，试验次数越多，概率P越接近14425.13.利用随机模拟方法计算图3-3-14 中阴影部分(y=x3和 x=2 以及 x 轴所围成的部分)的面积.高中数学几何概型更上一层楼达
10、标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 5/8 图 3-3-14 思路分析：在坐标系中画出矩形(x=0，x=2，y=0，y=8 所围成的部分)，利用面积比与概率、频率的关系进行；NNSS1规则图形不规则图形，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中N 为总的试验次数，N1为落在不规则图形内的试验次数.来源:Zxxk.Com 解:(1)利用计算器或计算机产生两组0 至 1 区间的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND；(2)进行伸缩变换，a=a1*2，b=b1*8；(3)数出落在阴影内(满足 ba3)的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做 1 000 次试验，即N=1 000
11、，模拟得到N1=250.由NNSS1矩圆形，得 S阴影NN1 S矩=100025016=4.14.在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？思路分析：分析好两个长度，利用体积比.解:取 出10 mL 麦 种，其 中“含 有 病 种 子”这 一 事 件 记 为A，则P(A)=1001100010所有种子的体积取出种子的体积.15.在等腰 RtABC 中，在斜边AB 上任取一点M，求 AM 的长小于AC 的长的概率.思路分析：如图所示，找出所有结果的区域长度，作辅助线得事件A的区域长度.来源:学科网 ZXXK 解:在 AB上截取 AC=
12、AC，于是 P(AMAC)=P(AM AC)=22ABACABCA.16.在区间-1，1上任取两数a、b，求二次方程x2+ax+b=0 的 两根(1)都是实数的概率；(2)都是正数的概率.思路分析：根据两根满足的条件得到a、b 满足的关系，利用随机模拟求得概率.高中数学几何概型更上一层楼达标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 6/8 据题 意-1 a1，-1 b 1，以 a 为横坐标、b 为纵坐标，得到一个边长为2 的正方形(1)若 a、b 都是实数，则=a2-4b 0，即 b41a2，利用随机模拟求概率.()利用计算机或计算器产生0至 1 区间的两组随机数，a1=RAND，b1=RAND；
13、()经平移和伸缩变换，a=a1*2-1，b=b1*2-1；()数出满足 b41a2的数组数 N1.则所求概率为NN1(N 为总数组数)=0.54.(2)若两 根都是正数，则有.0,0,0421212bxxaxxba即 b41a2且 a0，b0.在第(1)问求出的随机数中数出满足b41a2且 a0 的数组数N2，则所求概率为NN2=0.021.17.在长为 12 cm的线段 AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形.试求这个正方形的面积介于 36 cm2和 81 cm2之间的概率.有条件的同学可以用计算机或计算器模拟这个试验，并且估计所求随机事件的概率.思路分析：利用边长关系可得到点M在线段
14、AB的位置区域，可利用几何概型，也可随机模拟.解:方法一：正方形面积介于36 cm2与 81 cm2之间，边长AM应在 6 cm与 9 cm之间，M点所在区域长度为3 cm，故 P=123=41.方法二：(1)利用计算机或计算器产生0 到 1 区间的均匀随机数N个，a1=RAND；高中数学几何概型更上一层楼达标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 7/8(2)经伸缩变换，a=a1*12；(3)数出满足6 a9 的随机数N1个.则正方形面积介于36 cm2和 81 cm2之间的概率为NN1=41.回顾展望18.在三角形的每条边上各取三个分点(如图 3-3-15).以这 9 个分点为顶点可画出若干
15、个三角形.若从中任意抽取一个三角形，图 3-3-15 则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为_(用数字作答).思路分析：以 9 个分点为顶点组成的三角形分成两类，其中三角形的两个顶点在原三角形的一条边上，另一个顶点在原三角形的另一条边上的三角形的个数为96=54 个，三角形的三个顶点分别在原三角形的三条边上的三角形的个数为33 3=27 个.所以所求的概率为275427=31.答案：3119.(高考预测题)在半径为 1 的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？解：记事件 A=弦长超过圆内接等边三角形的边长.取圆内接等边三角形BCD的顶点 B为弦
16、的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而劣弧 CD的弧长是圆周长的31，所以由几何概型的公式可得P(A)=31.20.如图 3-3-16 所示，在长为4、宽为 2 的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆的面积，并估计 的值.图 3-3-16 思路分析：本题考查几何概型的计算公式及均匀随机数的产生方法.解：设事件A“随机向矩形内投点，所投的点在半圆内”第一步,用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次落在(x,y)满足的条件 x2+y24(即点落在半圆内).首先置 n=0,m=0；第二步,用变换 rand()*4-2产生-2 2之间的均匀
17、随机数x 表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生 0 2之间的均匀随机数y 表示所投点的纵坐标；第三步,判断点是否落在阴影部分，即是否满足x2+y24.如果是，则计数器m的值加1，即高中数学几何概型更上一层楼达标训练（带解析）新人教 A 版必修 3 8/8 m=m+1.如果不是，m的值保持不变；第四步,表示随机试验次数的计数器n 的值加 1，即 n=n+1.如果还要继续试验，则返回第二步继续执行，否则，程序结束.程序结束后事件A发生的频率nm作为事件A的概率的近似值.设半圆的面积为S，矩形的面积为8，由几何概率计算公式得P(A)=8S.所以nm8S.所以 Snm8即为阴影部分面积的近似值.由面积公式得S=2所以nm4.