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1、贵州省铜仁市第一中学2020 届高三上学期第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分）.1.已知集合2230Axxx，102Bx x，则AB（）A.1322xxB.32x xC.1-12xxD.1x x【答案】D【解析】【分析】考查集合的基本运算，由条件可计算出A、B两集合，然后计算即可.【详解】由题可得：23230=12Axxxxx；11022Bx xx x1ABx x，故选择D.【点睛】考查集合的基本运算.属于简单题.2.已知复数1zi，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析
2、】考查复数基本概念，由1zi可计算出z，即可得出选项【详解】由1zi，1 iz-1-1z，选择 C.【点睛】考查复数的基本概念，属于基础题.3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100 名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30 分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A.抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B.该校只有50 名学生不喜欢阅读C.该校只有50 名学生喜欢阅读D.抽样表明，该校有50 名学生为阅读霸【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频
3、率分布直方图可列下表：阅 读时 间（分）0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,60抽 样人 数（名）10 18 22 25 20 5 抽样 100 名学生中有50 名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.故选 A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4.已知ABC为等边三角形，则cos,AB BC()A.32B.12C.12D.32【答案】B【解析】【分析】判断,AB BC两向量夹角容易出错，是23，而不是3【详解】由图发现,AB BC的夹角不是B 而是其补角23，21cos,cos32AB BC【点
4、睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.5.已知函数sin03fxx的最小正周期为，则该函数的图象（）A.关于直线12x对称B.关于直线3x对称C.关于点012，对称D.关于点06，对称【答案】A【解析】【分析】由sin03fxx的最小正周期，可以求出，从而可以简单的判断出其相关性质详解】2(0)T，所以2，即sin23fxx，令2,()32xkf x关于()122kxkZ对称，可判断A正确，B错误；2,()3xkfx关于(,0)()62kkZ对称，可判断C、D错误.【点睛】根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期
5、性等），属于中档题.6.已知等差数列na的前 13 项之和为134，则678tan()aaa等于（）A.33B.3C.1 D.1【答案】C【解析】【分析】根 据 等 差 数 列na的 前13项 之 和113713131324aaa,求 得74a,则6787tantan 3aaaa,运算求得结果.【详解】由题意可得11377131313244aaaa，,则67873tantan 3tan14aaaa,故选 C.本题考查等差数列的定义和性质,前 n 项和公式的应用,求出74a,是解题的关键.7.函数2222(1)?ln2(1)xyxx的部分图像是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数22221
6、?ln21xyxx偶函数，排除AD。且222222(1)2,02(1)xxxx当01,0,10.xyxy时当时，排除 B。选 A。故答案为A。点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图像；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值。8.我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽 2 丈，长 3 丈；上底宽 3 丈，长 4 丈；高 3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：
7、上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2 倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A.13.25立方丈B.26.5立方丈C.53 立方丈D.106 立方丈【答案】B【解析】【分析】根据题目给出的体积计算方法，将几何体已知数据代入计算，求得几何体体积【详解】由题，刍童的体积为42333 2423626.5立方丈【点睛】本题考查几何体体积的计算，正确利用题目条件，弄清楚问题本质是关键。9.设 D为椭圆2215yx上任意一点，A（0，2），B（0，2），延长 AD至点 P，使得|PD|BD|，则点 P的轨迹方程为（）A.x2（y
8、2）220 B.x2（y2）25 C.x2（y2）220 D.x2（y2）25【答案】C【解析】【分析】由题意得2 5PAPDDADBDA，从而得到点P的轨迹是以点A为圆心，半径为2 5的圆，进而可得其轨迹方程【详解】由题意得PAPDDADBDA，又点D为椭圆2215yx上任意一点，且0,2,0,2AB为椭圆的两个焦点，2 5DBDA，2 5PA，点P的轨迹是以点A为圆心，半径为2 5的圆，点P的轨迹方程为22220 xy故选 C【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到2 5PA，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程考查对基础知识的理解和运用，属于基
9、础题10.已知函数sin11xxfxxRx的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由奇函数性质可以知道，其最大值与最小值互为相反数，本题中可以将fx转化为()fxCg x，其中()g x为奇函数.【详解】sin1sin=1-11xxxfxxRxx，令sin1xg xxRx，即1()fxg x而g x是在 R上的奇函数，设其最大值为N,最小值为n，由奇函数性质可得0Nn，所以2Mm，故选择C【点睛】求函数最大值最小值问题，我们时常会考虑函数是否有奇偶性，值得注意奇函数最大值与最小值的和为 0，本题中构造奇函数加常数型的函数，难度较大.11
10、.已知函数sin coscos sinfxxx，给定以下命题：()f x 为偶函数；()f x 为周期函数，且最小正周期为2；若0 x，则()0f x恒成立。正确的命题个数为（）个。A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断；根据周期性的定义判断；利用()02f判断.【详解】sin coscos sinfxxx定义域为R，因为-sin cos(-)cos sin(-)sin coscos sin()fxxxxxf x,所以正确.2sin cos(2)cos sin(2)sin coscos sin()fxxxxxf x,所以正确；又()=sin(cos)c
11、os(sin)sin 0cos10222f所以错误.故选 C.【点睛】与三角函数为载体，考查函数奇偶性、周期性及恒成立问题，奇偶性、周期性更多直接借助定义来判断，判断恒成立问题，我们可以借助某些特殊值不符合，从而判断其为假命题，本题难度较大.12.已知函数521log(21),(,3)()21022,3,)xxfxxxx，若方程()f xm 有 4 个不同的实根1234,x xxx，且1234xxxx0，则若存x12,2,使得 ex(x-b)+xex(x-b+1)0，即存在 x12,2,使得 b221xxx成立，令221,212xxg xxx，则222201xxgxx，g(x)在1,22递增，
12、g(x)最大值=g(2)=83，则实数b的取值范围是83b点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到三、解答题(本大题共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.已知(sin,cos),(cos,3 cos)axxbxx，函数3()2f xa b(1)求()f x 的最小正周期；(2)当02x时，求函数()f x 的值域【答案】（1）；（2）3,12.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示公式，写
13、出函数()f x 的表达式，利用正弦的二倍角公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式化简函数()f x 的解析式，最后利用最小正周期公式求出最小正周期；（2）根据x的取取值范围，求出23x的取取值范围，利用正弦函数的图象性质，求出函数()f x 的值域.【详解】（1）23()sincos3cos2f xxxx13313sin2(cos21)sin2cos2sin 2222223xxxxx，222T，所以()f x 的最小正周期为；（2）2022333xx3sin 2123x()f x 的值域为3,12.【点睛】本题考查了求正弦型函数的周期和闭区间上的值域问题，利用二倍角的正弦、余弦公式、辅助
14、角公式是解题的关键.18.已知公差不为0的等差数na的前 3 项和3S9，且125,a a a成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）设nT为数列11nna a的前 n 项和，求证12nT.【答案】（1）21nan；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）考查等差数列通项公式的计算，我们可以直接设1,a d，通过方程算出（2）考查裂项相消法，在计算中要注意提取相应倍数【详解】（1）由3S9 得：13ad；125,a aa成等比数列得：21114aadad；联立得1a1,d 2；故21nan（2）111111(21)(21)22121nna annnnn11111111111233521212
15、212Tnnn【点睛】以等差数列为载体，考查等差数列通项公式的计算，裂项相消法求新数列的前n 相和nT，并且考查了分离参数方法判断值小于12，属于常规题，难度不大.19.在ABC中，角ABC、的对边分别为abc、，且22 3sinsin302AA.（1）求角A的大小；（2）已知ABC外接圆半径33RAC，,求ABC的周长.【答案】（1）3（2）3+33【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0A，可求A的值（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c 值，即可求周长【详解】（1）22 3sinsin302AA1cos2 3sin302AA，即sin3cos
16、0AAtan3A又0A3A（2）2sinaRA2 sin2 3sin33aRA,3ACb，由余弦定理得a2b2+c22bccosA，2360cc，c0，所以得 c=23,周长 a+b+c=3+33【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题20.设函数2fxx xaxR，其中aR.（1）当1a时，求函数fx在点22f，处的切线方程；（2）若0a，求函数fx的极值.【答案】（1）580 xy；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）具体函数求在某点处切线问题，对函数求导确定直线斜率求出切线方程（2）求极值步骤：3=0fxxaxa令求根，比
17、较根大小（如果根大小关系不确定）进行讨论，依据不同情况列表，根据表格得出结论【详解】（1）当1a时，21,22f xx xf（）且2341,25fxxxf，切线方程为580 xy（2）3fxxaxa，令0,3afxxxa若0a，列表如下x-3a，3a,3aaa,a()fx-0+0-因此，函数的极小值为34,3327aaffa，函数的极大值为,0faf a.若0a，列表如下x-a，a,3aa3a,3a()fx-0+0-因此，函数的极小值为,0faf a，函数的极大值为34,3327aaffa.【点睛】（1）求切线方程要区分“过某点”与“在某点处”的切线方程（2）求极值并不只是考虑0fx，还需要考
18、虑根两侧导函数值是否编号；当根大小不能确定，我们还需要有效的讨论.21.已知函数1lnfxxaaxR，且0sinaxdx.（1）判断函数fx的单调性；（2）若方程fxm有两个根为1x，2x，且12xx，求证：121xx.【答案】（1）fx在10,2上是单调递减，在1,2上是单调递增；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）定积分为载体，可求解a的值，从而fx不含有参数，求其单调性，变为常规题.（2）可以通过比值代换法12xtx，经过代数变形，将所证的双变量12,x x的不等式化为单变量t的函数不等式，再次构造关于t的函数，研究最值从而得证.【详解】（1）函数fx的定义域：0,.2a，1ln2fx
19、xx，22112122xfxxxx，令0fx，解得102x，故fx在10,2上是单调递减；令0fx，解得12x，故fx在1,2上是单调递增（2）由1x，2x为函数fxm的两个零点，得111ln2xmx，221ln2xmx，两式相减，可得121211lnln022xxxx，即112212ln2xxxxx x，1212122lnxxx xxx，因此1211212lnxxxxx，2121212lnxxxxx，令12xtx，由12xx，得01t则1211112ln2ln2lnttttxxttt，构造函数12ln01h ttttt，则22211210th tttt，函数h t在0,1上单调递增，故1h
20、th，即12ln0ttt，可知112lnttt故命题121xx得证【点睛】不含参函数单调性研究，属于简单题该类型考题在前几年高考中出现过极值点偏移问题；本题中运用做差法去除参数m的干扰，搭建起关于双变量12,xx的等量关系（并且还是其次），可以通过比值代换法12xtx将双变量变为单变量函数h t，从双变量到单变量，达到划归的思想.从而得证.请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3sinxy，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角
21、坐标方程；（2）设点1,0P，直线l和曲线C交于,A B两点，求11PAPB的值【答案】（1）曲线C的普通方程为22193xy,直线l的直角坐标方程为10 xy;（2）668.【解析】【分析】（1）考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化，常规化考题（2）该类型考题多注意1,0P恰好在直线l上，从而将直线直角坐标方程化为过P的参数方程，利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题。【详解】（1）因为曲线C的参数方程为3cos3sinxy（为参数），所以曲线C的普通方程为22193xy.因为2sin42，所以sincos1,10 xy.所以直线l的直角坐标方程为10 xy.（2）由题得点1,0P在
22、直线 l 上，直线l的参数方程为21222xtyt，代入椭圆的方程得22280tt，所以121 22+,402ttt t，2121 212121212121241111668ttt tttttPAPBttttt tt t.【点睛】属于常规考题，考察了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化。属于简单题，多注重直线l的参数方程及其几何意义的运用，常见的问题有求11PAPB，AB，PAPB等值.23.已知函数231fxxx.（I）求不等式5fx；（II）若不等式2fxxa的解集包含0,1，求实数a的取值范围.【答案】（）713xx（）4,1a【解析】【分析】（）利用零点分类讨论法解不等式；（）即23
23、12xxxa在0,1x恒成立，即42xxa，即424xxax，再化为4,43axax在0,1x恒成立解答即可.【详解】解：（）52315fxxx.当1x时，3215xx，即235x，解得1x；当312x时，3215xx，即45x，解得312x；当32x时，2315xx，即325x，解得3723x.综上，不等式5fx的解集为713xx.（）对0,1x，2fxxa恒成立，即2312xxxa在0,1x恒成立，即42xxa，424xxax，4,43axax在0,1x恒成立，4,1,aa4,1a.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.