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1、2014 高中数学第二章平面向量平面向量的基本定理及坐标表示学习过程新人教 A 版必修 4 1/3 平面向量的基本定理及坐标表示学习过程知识点一：平面向量基本定理(1)平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,使a=1122ee。我们把不共线向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)运用定理时需注意：1e，2e是同一平面内的两个不共线向量。该平面内的任一向量都可用1e，2e线性表示，且这种表示是唯一的。基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。知识点二：两向量的夹角与垂直（1）定义：已知两
2、个非零向量,a b，作,OAa OBb,则 AOB=叫做向量ab与的夹角。（2）如果ab与的夹角是90，就说ab与垂直，记作ab。（3）注意：向量ab与的夹角的范围是0180，当0时，ab与同向；当90时，ab；当180，ab与反 向。知识点三：平面向量的坐标表示（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiy j 1我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)ax y 2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，2 式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也
3、为),(yx.特别地，(1,0),(0,1),0(0,0)ij，如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OAa，则点A的位置2014 高中数学第二章平面向量平面向量的基本定理及坐标表示学习过程新人教 A 版必修 4 2/3 由a唯一确定.设OAxiy j，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.（2）平面向量的坐标运算 若1122(,),(,)ax ybxy，则ab),(2121yyxx，ab),(2121yyxx两 个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若
4、),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.（3）若(,)ax y和实数，则.(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点四：平面向量共线的坐标表示（1）设1122(,),(,)ax ybxy，其中0b，当 且仅当12210 x yx y时，向量ab与共线。（2）注意:遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件。运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题。学习结论（1）在解具体问题时，要适当的选取基底。把几何 问题转化为代数问题。（2）向 量共线的充要条件有两
5、种形式：ab（b0）01221yxyxba（3）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 0 180。典型例题例 1。已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点 D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解析：当平行四边形为ABCD时，由DCAB得 D1=(2，2)当平行 四边形为ACDB 时，得 D2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得 D3=(6，0)例 2已知三个力1F(3，4)，2F(2，5)，3F(x，y)的合力1F+2F+3F=0，求3F的坐标.解析：由题设1F+2F+3F=0得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)2014
6、高中数学第二章平面向量平面向量的基本定理及坐标表示学习过程新人教 A 版必修 4 3/3 即：054023yx15yx3F(5，1)例 3若向量a=(-1，x)与b=(-x，2)共线且方向相同，求x 解析：a=(-1，x)与b=(-x，2)共线(-1)2-x?(-x)=0 x=2a与b方向相同x=2例 4已知 A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线 AB与平行于直线CD吗？解析：AB=(1-(-1)，3-(-1)=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 22-4 1=0 ABCD又 AC=(1-(-1)，5-(-1)=(2，6)，AB=(2，4)，24-2 6 0 AC与AB不平行A，B，C不共线AB与 CD不重合AB CD