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1、湖南省衡阳常宁市第五中学2020 届高三上学期11 月月考试题数学（文）一、单选题1.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两，1 秤=10 斤,1 斤=10 两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5 个人,则得银最少的3 个人一共得银A.两 B.889127两 C.111131两 D.84031两2设01aa且，设函数()logxaf xax，则当a变化时，函数()f x的零点个数可能是（）A.1 个或 2 个B.1 个或 3 个
2、 C.2个或 3 个D.1 个或 2 个或 3 个3 小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为、2、4、的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（）A69B64C61D634执行如图所示的程序框图，若输出的值为2，则判断框中可以填入的条件是（）An999Bn9999 Cn9999Dn999 5.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课
3、程的55 名学生，得到数据如下表：临界值参考:（参考公式：22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中 nabcd）参照附表，得到的正确结论是A在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”B在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”C有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”6在 ABC中，已知向量AB与AC满足()0ABACBCABAC，且0ABACABAC，则 ABC为（）A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等腰直
4、角三角形7已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左、右焦点分别为12,F F，过2F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若直线2F H的斜率为33，则双曲线C的离心率为()A2 B3C2D3 8已知命题:0px,总有1 e1xx,则p为A00 x,使得001 e1xx B00 x,使得001 e1xxC0 x,总有1 e1xx D0 x,总有1 e1xx9在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27 个棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（）A49B827C29D12710函数()sin(
5、)f xAx（其中0,0,|2A）的图象如图所示，为了得到()sing xAx的图象，只需把()yfx的图象上所有的点（）A向右平移6个单位长度B向左平移6个单位长度C向右平移12个单位长度D向左平移12个单位长度11已知定义在R上的函数()g x，其导函数为()gx，若3()()g xgxx，且当0 x时，23()2g xx，则不等式22(1)2()331g xg xxx的解集为A1(2，0)B1(,)2C1(2，)D1(,)212定义在R上的函数fx若满足：对任意1x、212xxx，都有12120 xxfxfx；对任意x，都有2f axf axb，则称函数fx为“中心撇函数”，点,a b称
6、为函数fx的中心.已知函数32yfx是以3,2为中心的“中心撇函数”，且满足不等式2233fmnfnm，当3,02n时，2mn的取值范围为（）A6,0B2,0C2,4D1,12二、填空题13已知复数11izi(i为虚数单位），则_z14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线22123xy的两条渐近线分别交于A,B 两点,3AB,则p的值为 _15.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2222abcab,且sin3sinacBC,则的面积为_16如图，在边长为3 正方体1111ABCDABC D中，E为BC的中点，点P 在正方体的表面上移动，且满足11B PD
7、 E，当 P在 CC1上时，AP=_,点1B和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是_.三、解答题17已知向量(2 cos,6sin),(3cos,3cos)axx bxx，函数()2f xa bm，且当0,2x，时，()f x的最大值为1.（1）求m的值，并求()f x 的单调递减区间；（2）先将函数()yfx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的23倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移6个单位，得到函数()yg x的图象，求方程11()2g x在区间20,3上所有根之和.18已知函数tanfxx，函数()3yfx在0,上的零点按从小到大的顺序构成数列Nnan（1）求数列na的通项公式；（
8、2）设232(3)(321)nnabnnn，求数列nb的前n项和nS.19在四棱锥PABCD中，090ABCACD,060BACCAD，PAABCD平面，E为PD中点，M为AD中点，F为PC中点,23PAAB（1）求证：/EF平面ABCD；（2）证明：AF平面PCD；（3）求三棱锥EACF的体积.20已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线242xy的焦点，离心率等于22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于,A B两点(异于左右顶点)，椭圆 C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与12的大小，并说明理由.21已知函数ln1
9、,fxmxxemR e为自然数 2.71828.（1）若函数fx存在不小于3e的极小值，求实数m的取值范围；（2）当1m时，若对,xe，不等式0 x exe eafx恒成立，求实数a的取值范围.22已知曲线1C：sin24和2C：3cos(sinxy为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出1C，2C的普通方程.（）若曲线2C上的点 M 到曲线1C的距离等于为d，求d的最大值并求出此时点M 的坐标；23已知函数1fxx xxa.（I）当2a时，求不等式1fx的解集；（II）若1,x时，2fxx恒成立，求实数a的取值范围.答案一、单选题1
10、.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两,1 秤=10 斤,1 斤=10 两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5 个人,则得银最少的3个人一共得银A.两 B.889127两 C.111131两 D.84031两【答案】D【解答】解：一秤一斤十两共120 两,将这 5 人所得银两数量由小到大记为数列,则是公比的等比数列,于是得55115(1)(12)120112aqaSq,解得112031a,故得银最少的3 个人一共得银数为212
11、3120840(122)3131aaa(两故选 D2设01aa且，设函数()logxaf xax，则当a变化时，函数()f x的零点个数可能是（）A.1 个或 2 个B.1 个或 3 个 C.2个或 3 个D.1 个或 2 个或 3 个【答案】D【解析】将零点问题化归为函数图像交点问题，然后由数形结合可知，存在以下三种情况：3 小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为、2、4、的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况
12、，现要将这六个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（）A69B64C61D63【答案】D【解析】假设A桩上有1n个圆环，将1n个圆环从A木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1na，可这样操作，先将n个圆环从A木桩全部套到C木桩上，至少需要的次数为na，然后将最大的圆环从A木桩套在 B 木桩上，需要次，在将C木桩上n个圆环从C木桩套到 B 木桩上，至少需要的次数为na，所以，121nnaa，易知11a.设12nnaxax，得12nnaax，对比121nnaa得1x，1121nnaa，1121nnaa且112a，所以，数列1na是以2为首项，以2为公比的等比数列，5612264a，因此，
13、663a，故选：D.4执行如图所示的程序框图，若输出的值为2，则判断框中可以填入的条件是（）An999Bn9999 Cn9999Dn999【答案】B【解析】分析循环结构中求和式子的特点，可到最终结果：2lg(1)Sn，当2S时计算n的值，此时再确定判断框的内容.【详解】由图可得：2lg1lg 2lg 2lg 3.lglg(1)Snn，则2lg(1)2Sn，所以9999n，因为此时需退出循环，所以填写：9999n.故选：B.6.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55 名学生，得到数据如下表：临界值参考:（参考公式：22()()()()()n adbcKab
14、cdac bd，其中 nabcd）参照附表，得到的正确结论是A在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”B在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”C有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D有 99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”【答案】A 由公式2255(2020105)11.97810.82830252530K，有 99.9%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；即在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”，故选 A.6在 ABC中，已知向量AB与A
15、C满足()0ABACBCABAC，且0ABACABAC，则 ABC为（）A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等腰直角三角形【答案】D【详解】解:0|ABACBCABAC,A的角平分线与BC垂直,ABAC,cos0|ABACAABAC2A三角形为等腰直角三角形,故选 D7已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左、右焦点分别为12,F F，过2F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若直线2F H的斜率为33，则双曲线C的离心率为()A2 B3C2D3【答案】A【详解】由题意可知,渐近线方程为byxa，由223,303F HkHF O所以，260,tan603bHOFa所以即，
16、224ca所以,故2ca答案选 A.8已知命题:0px,总有1 e1xx,则p为A00 x,使得001 e1xx B00 x,使得001 e1xxC0 x,总有1 e1xx D0 x,总有1 e1xx【答案】A【解析】命题的否定是对命题结论的否定，全称命题的否定是特称命题，因此p为00 x,使得001 e1xx，故选 A.9在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27 个棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是（）A49B827C29D127【答案】B【解析】由在27 个小正方体中选一个正方体，共有27 种
17、结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面涂有颜色，有8 种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】由题意，在27 个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8 个，恰好有两个都涂有颜色的共 12 个，恰好有一个面都涂有颜色的共6 个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27 种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面有三个面都涂色，有 8 种结果，所以所求概率为827故选：B10函数()sin()f xAx（其中0,0,|2A）的图象如图所示，为了得到()sing xAx的图象，只需把()yfx的图象上所有的点（）A向右平移6
18、个单位长度B向左平移6个单位长度C向右平移12个单位长度D向左平移12个单位长度【答案】A【解析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知1A，又712344T，所以T，又因为2T，所以2，所以sin 2fxx，又因为771,sin211212f，又|2，所以,3所以sin23fxx，又因为()sin 2g xx，故只需向右平移6个单位长度.故选 A.11已知定义在R上的函数()g x，其导函数为()gx，若3()()g xgxx，且当0 x时，23()2g xx，则不等式22(1)2()331g xg xxx的解集为A1(2，
19、0)B1(,)2C1(2，)D1(,)2【答案】B【详解】定义在R上的函数()g x，3()()g xgxx，333()()()222xxxg xgxgx，令3()()2xh xg x，则()()h xhx()h x为偶函数23()()2xh xg x，又当0 x时，23()2xg x，()0h x，()h x在 0，)为增函数，且()h x在(,0)为减函数不等式332(1)2(1)2()331()(1)22xxg xg xxxg xg x即()(1)1h xh xxx解得12x，故选B12定义在R上的函数fx若满足：对任意1x、212xxx，都有12120 xxfxfx；对任意x，都有2f
20、 axf axb，则称函数fx为“中心撇函数”，点,a b称为函数fx的中心.已知函数32yfx是以3,2为中心的“中心撇函数”，且满足不等式2233fmnfnm，当3,02n时，2mn的取值范围为（）A6,0B2,0C2,4D1,12【答案】A【详解】由12120 xxfxfx知此函数为增函数.由函数32yfx是关于3,2的“中心撇函数”，知曲线32yfx关于点3,2对称，故曲线yfx关于原点对称，故函数yfx为奇函数，且函数yfx在R上递增，于是得2233fmnfnm，2233mnnm.22330mnmn，30mnmn.则问题转化为在线性约束条件30302mnmnn下，求2mn的取值范围。
21、易得26,0mn故选：A.三、填空题14已知复数11izi(i为虚数单位），则_z【答案】【解答】2221212iizii，1z14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线22123xy的两条渐近线分别交于A,B 两点,3AB,则p的值为 _【答案】2【解答】解：抛物线的准线为 l：,双曲线22123xy的两条渐近线方程为62yx,可得66,2424ppApBp,则66344ABpp,可得2p故答案为215.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2222abcab,且sin3sinacBC,则的面积为_【答案】3 24【解答】解：在中,2222abcab,由余弦
22、定理得22222cos222abcabCabab,则4C,sin3sinacBC,由正弦定理得3,3ac bcab则,1123 2sin32224ABCSabC16如图，在边长为3 正方体1111ABCDABC D中，E为BC的中点，点P 在正方体的表面上移动，且满足11B PD E，当 P在 CC1上时，AP=_,点1B和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是_.【答案】92,818.【详解】取1CC，CD的中点分别为,N M，连结11,AM MN B N AB，由于1/ABMN，所以1AB NM四点共面，且四边形1AB NM为梯形，因为11,D EMN D EAM MNAMM，所以1D
23、 E面1AB NM，因为点 P 在正方体表面上移动，所以点P 的运动轨迹为梯形1AB NM，如图所示：因为正方体1111ABCDAB C D的边长为3，所以当点 P在 CC1上时，点P为 CC1的中点 N，2222393 222APANACCN又113 23 5,3 2,22NMABAMB N，所以梯形1ABNM为等腰梯形，所以11()2SMNAB13 2 9281(32)2248h。三、解答题17已知向量(2 cos,6sin),(3cos,3cos)axx bxx，函数()2f xa bm，且当0,2x，时，()f x 的最大值为1.（1）求m的值，并求()f x 的单调递减区间；（2）先
24、将函数()yfx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的23倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移6个单位，得到函数()yg x的图象，求方程11()2g x在区间20,3上所有根之和.【答案】（1）3 224，8837,()kkkZ；（2）56.【详解】（1）函数23()3 2cos3sin cos23sin242222f xxxxmxmmax433 20,2,()3212442xxf xm，得3 224m.即()3sin244f xx，由题意得3222242kxk，得8,837kxkkZ所以，函数()f x 的单调减区间为8837,()kkkZ.（2）由题意，()3sin 364443sin 3
25、4g xxx，又11()2g x，得1sin 342x解得：3246xk或532()46xkkZ即25336kx或213,336kxkZ20,3x3961x或1136x故所有根之和为1911536366.18已知函数tanfxx，函数()3yfx在0,上的零点按从小到大的顺序构成数列Nnan（1）求数列na的通项公式；（2）设232(3)(321)nnabnnn，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）3nan（2）2244(2)(3)24(2)(525513)3nnnSnnnnn或【解析】解：（1）fxtanx，由tan3x及0 x得2,3xkkN，则数列na是首项3，公差 d的等差数列，所
26、以3nan（2）由（1）得232(3)(321)nnabnnn23()3111123()(3)(321)2(3)(1)(31)413nnnnnnnnnn，则11111111 1111()213443543223nSnnnn2244(2)(3)525524(2)(313)nnnnnnn或19在四棱锥PABCD中，090ABCACD,060BACCAD，PAABCD平面，E为PD中点，M为AD中点，F为PC中点,23PAAB（1）求证：/EF平面ABCD；（2）证明：AF平面PCD；（3）求三棱锥EACF的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）9 38解析：（1）因为E为PD的中点，F为
27、PC中点，则在PCD中，EFCD，CD平面ABCD,EF平面ABCD,则EF平面ABCD(2),90,3,32cos603,PAABCDPACD PAACACDCDACPAACPACCDPACCDAFABABCABACPAACFPCAFPCCDAFPCCDPCDAFPCD证法一：平面由题知即而，是平面内两条相交直线平面在中，且为中点又而，是平面内两条相交直线平面,CDPACCDPCDPCDPACPCAFPACAFPCDAFPC证法二：由证法一知：平面而平面平面平面交线为平面由平面222233,13 213 313 5,222222,ACABPAACPAACAFPCEFCDAEPDAFEFAEA
28、FEFAFPCEF PCPCDAFPCD证法三：由则又即又而是平面内两条相交直线平面,/,111 1913 33 3,222 242211 9 3 39 333 428ACFPACEACFACFCDPAC EFCDEFPACEFACFSSPA ACEFCDVSEF(3)由(1)(2)知平面平面即平面20已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线242xy的焦点，离心率等于22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于,A B两点(异于左右顶点)，椭圆 C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与12的大小，并说明理由.【答案】(1)2
29、2241xy；(2)31222.【详解】(1)设椭圆的标准方程为为22221(0)xyabab，由题2b，22222cabeaa.即222221,4aa,椭圆 C的方程为22241xy.(2)直线 AD与直线 BD的斜率之积为定值，且定值为31222由题易知(2,0)D当直线 AB的斜率不存在时，(2,1),(2,1)AB，易求113222222DADBkk当直线 AB的斜率存在时，可设直线AB的方程为(2)(0)yk xk，设1122(,),(,)A xyB xy联立22142(2)xyyk x可得2222(21)4 2440kxk xk221212224 244,1212kkxxxxkk，
30、则212121212221212221212(2)(2)22(2)(2)2()22322()42128 2DADByykxxkkxxxxkx xxxkx xxxkk故直线 AD与直线 BD的斜率之积为定值31222.21已知函数ln1,fxmxxemR e为自然数 2.71828.（1）若函数fx存在不小于3e的极小值，求实数m的取值范围；（2）当1m时，若对,xe，不等式0 x exe eafx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）,)e；（2）,1ee.【解析】（1）函数yfx的定义域为0,，11mxfxmxx.当0m时，0fx，函数yfx在区间0,上单调递减，此时，函数yfx无极值；
31、当0m时，令0fx，得1xm，又当10,xm时，0fx；当1,xm时，0fx.所以，函数yfx在1xm时取得极小值，且极小值为1ln2fmem.令ln23mee，即ln1m，得me.综上所述，实数m的取值范围为,)e；（2）当1m时，问题等价于ln10 x exe eaxxe，记ln1xexe eaxxeh x，由（1）知，ln1fxxxe在区间,e上单调递减，所以ln1yxxe在区间,e上单调递增，所以ln1ln10 xxeee e，当0a时，由xe可知，0 x exe e，ln10axxe所以0h x成立；当 01eae时，1(1)1xehxxeeax设1()(1)1x eg xhxxee
32、ax2+2+0 x eagxxeex（）恒成立，所以g x在区间,e上单调递增，所以hx在区间,e上单调递增，所以110eh xh eae.所以，函数yh x在区间,e上单调递增，从而0h xh e，命题成立.当1eae时，显然1(1)1xehxxeeax在区间,e上单调递增，11()()1(1)10eh xh eaaee记(1)xem xexe，则1xemxe，当xe时，0mx，所以，函数ym x在区间 ,)e上为增函数，即当xe时，()()0m xm e(1)0 x eexe.211(1)1(1)1x ehxxeeaxeaxx214(41)14haaeaa，由于1eae，显然4ea设222
33、13()(41)11678244t aaeaaaeaeea()32788(4)70t aaeae则3()()044eet at4=()0hat a11()1(1)10eh eaaee，40ha，由可知hx在区间,e上单调递增所以在区间,4ea内，存在唯一的0,4xea，使得00hx，故当0exx时，0hx，即当0exx时，0h xh e，不符合题意，舍去.综上所述，实数a的取值范围是,1ee.22已知曲线1C：sin24和2C：3cos(sinxy为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）求出1C，2C的普通方程.（）若曲线2C上的点 M
34、到曲线1C的距离等于为d，求d的最大值并求出此时点M 的坐标；【答案】（）20 xy，2231xy；（）312 2;,22M【详解】（）1:sin()2,sincos24C即则1:20Cxy2cos3cos:3sinsinxxCyy，又22sincos1则2223:1xCy（）方法一：（利用椭圆的参数方程）设椭圆2(3cos,sin),(02)CM上点则点 M 到曲线1:20Cxy的距离：3cossin22 sin()132d当maxsin()12 23d时，此时，32()232kkZ 又0所以731,(,)622M则点方法二：（利用平行相切）设2:lyxaC与椭圆相切联立方程组2222463
35、30()33yxaxaxaxy由22364 4(33)0aa，得24,2aa则直线2020 xyxy与都和椭圆2C相切则maxd即为直线120:20 xyCxy与的距离即max222 22d此时，232,230,2axx由式得:则则31222y，故点31(,)22M23已知函数1fxx xxa.（I）当2a时，求不等式1fx的解集；（II）若1,x时，2fxx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（I）3x x；（II）1,3.【详解】（I）当2a时，222,2()2,122222,1xxfxxxxxxx，当2x时，2212xx，得210 x，无实数解；当 12x时，221x，得33x所以13x；当1x时，2221xx，得2230 xx恒成立，得1x.综上，不等式1fx的解集为3x x.（II）1,x时，2fxx恒成立，等价于2xaxx在1,x恒成立.等价于22xxxxax，即222xaxx在1,x恒成立.即1,x时，22maxmin2xaxx，因为1x时，222(3,);(,1)xxx，所以13a，即实数a的取值范围是1,3.