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1、天津市和平区第一中学2019-2020 学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题：（每小题3 分，共 30 分）1.如果一个等差数列前3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项【答案】A【解析】试 题分 析：设 这个数列 有n项，则1232134,146nnnaaaaaa，因此13naa34 146180即160naa，则16039022nnn aanS，故13n；考点：1等差数列的性质，2等差数列的前n 项和公式；2.已知等比数列na中，23aa1，45aa2，则67aa等于().A.2 B.22C.4
2、D.42【答案】C【解析】试题分析：2311aaa qq，34511aaa qq，56711aaa qq，可见23aa，45aa，67aa依旧成等比数列，所以2452367aaaaaa，解得674aa.考点：等比数列的性质3.已知数列na满足*n+1n1,akanNkR，若数列n1a是等比数列，则k值等于（）A.1 B.-1 C.-2 D.2【答案】D【解析】【分析】将所给数列递推式变形，由数列an1 是等比数列求得k的值【详解】解：由an+1 kan1，得1212nnnakak ak由于数列 an1 是等比数列，21k，得 k2，故选：D【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确
3、定，是基础题4.已知数列na满足11a，n+1nn=12+1aaa，其前n项和nS，则下列说法正确的个数是（）数列na是等差数列；2n=3na；133S=2nn.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】由a1 1，an+1|1 an|+2an+1，可得a2，a3，a4，运用等差数列的定义即可判断，等比数列的通项公式即可判断，由当n2 时，anSnSn1，即可判断【详解】解：数列an 满足a1 1，an+1|1 an|+2an+1，可得a2|1 a1|+2a1+122+11，a3|1 a2|+2a2+10+2+13，a4|1 a3|+2a3+12+6+19，则a4a36，a3a2
4、2，即有a4a3a3a2，则数列 an不是等差数列，故不正确；an3n2，不满足a1 1，故不正确；若Sn1332n满足n1 时，a1S1 1，但n2 时，a2S2S102（1）1，当n2 时，anSnSn112333322nn3n2，n2，nN*代入an+1|1 an|+2an+1，左边 3n1，右边 3n21+2?3n2+13n1，则an+1|1 an|+2an+1 恒成立故正确故选：B【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题5.已知0.22019a，20190.2b，2019c=log0.2，则（）A.cabB.bacC.c
5、baD.acb【答案】C【解析】【分析】利用指对函数的图象与性质即可比较大小.【详解】0.20201920191,a2019000.20.21,b20192019c=log0.2log10,cba故选：C【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和 1，考查了推理和计算能力，属于基础题6.若0ab，则下列不等式一定成立的是（）A.11abbB.2aabC.+1+1bbaaD.nnab【答案】C【解析】分析】根据不等式的性质分别进行判断即可【详解】对于A，当4,2ab时，显然不成立；对于B，0ab，2aab，不成立；对于 C，0ab，0ab，根据糖水浓度，易知：+1+1bbaa成立；
6、对于 D，当n为奇数时，显然nnab，不成立，故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键7.若023x，则(32)x x的最大值为（）A.916B.94C.2 D.98【答案】D【解析】【分析】利用均值不等式即可得到结果【详解】解：02x3，32x0，x0，（32x）x12（32x）?2x21 3229()228xx，当且仅当32x 2x，即x34时取等号，(32)x x的最大值为98故选：D【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题8.已知0,0 xy，且115xyxy，则xy的最大值是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解
7、析】【分析】根据x0，y 0，且x+y11xy5，可得（x+y）25（x+y）+40，然后解关于x+y的不等式，可得x+y范围，从而得到x+y的最大值【详解】x0，y 0，且x+y11xy5，（x+y11)()xyxy5211()()()()xyxyxyxy22()(1 1)()4yxxyxyxy（x+y）25（x+y）+40，1x+y4，当且仅当xy2 时，x+y取得最大值为4故选：B【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，给x+y11xy5 两边同乘（x+y）是解题的关键，考查了转化思想，属基础题9.若数列,nnab的通项公式分别为20192018(1)(1),2nnnn
8、aa bn，且nnab，对任意nN恒成立，则实数a的取值范围是()A.11,2B.1,1C.2,1D.32,2【答案】D【解析】【分析】对 n 分奇偶，讨论nnab恒成立即可【详解】nnab，故20192018112nnan当 n 为奇数，-a2+1n,又 2+1n单调递减，故2+12n，故-a2，解a2当 n偶数，12an，又 2-1n单调递增，故2-132n，故32a，综上2a32故选：D【点睛】本题考查数列综合，考查数列单调性，分类讨论思想，准确计算是关键，是中档题10.已知函数2()4xfx，若存在实数t，使得任给1,xm，不等式()f xtx恒成立，则m的最大值为（）A.3 B.6
9、C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】由当x1，m 时，f（x+t）x恒成立，即g（x）f（x+t）x0 恒成立，则需满足g（1）0 且g（m）0，解出t的范围，讨论m的取值即可得到m的最大值【详解】解：设g（x）f（x+t）x14（x+t）2x14x2+（12t1）x14t2，由题意f（x+t）x对任意的x 1，m（m1）恒成立，即g（1）0 且g（m）0由g（1）0，即14（1+t）210，得t 3，1，由g（m）0，即14（m+t）2m0，得m2+（2t4）m+t20，则当t1 时，得到m22m+10，解得m1；当t 3 时，得到m210m+90，解得 1m9综上所述m的取值范围为1，
10、9 m的最大值为9故选：D【点睛】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力，是中档题二、填空题：（每小题4 分，共 24 分）11.已知等差数列na中，15=33a，25=66a，则35=a_.【答案】99【解析】【分析】利用等差中项的性质可得，a15、a25、a35成等差数列，从而可求得a35的值【详解】解：等差数列an中，a15、a25、a35成等差数列，2a25a15+a35，又a15 33，a2566，2 6633+a35，解得：a3599，故答案为：99【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练应用等差中项的性质是解决问题的
11、关键，属于中档题12.已知等比数列na的公比为2，99=77S，则36999=aaaa+_.【答案】44【解析】【分析】根据利用等比数列通项公式及（a1+a4+a7+a97）q2（a2+a5+a6+a98）qa3+a6+a9+a99求得答案【详解】解：因为an 是公比为2 的等比数列，设a3+a6+a9+a99x，则a1+a4+a7+a974x，a2+a5+a6+a982xS9977（a1+a4+a7+a97）+（a2+a5+a6+a98）+（a3+a6+a9+a99）x7244xxx，a3+a6+a9+a99 44，故答案为：44【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和，解题的关键是发现a1
12、+a4+a7+a97、a2+a5+a6+a98和a3+a6+a9+a99的联系，属于基础题13.已知数列na满足1=15a，且1332nnaa，若10kka a，则正整数k=_.【答案】23【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果【详解】解：数列an 满足a115，且 3an+13an2，整理得123nnaa（常数），所以数列 an是以a115 为首项，23为公差的等差数列则122471333naann，由于akak+10，则2472453333kk0，解得454722k，所以正整数k23故答案为：23【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的
13、应用数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14.若01 a，则不等式21()10 xaxa的解集是 _.【答案】1aa，【解析】【分析】通过a的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可【详解】原不等式可化为（xa）（x1a）0 的解集，又01 a，a1xa 即不等式的解集为：1aa，故答案为：1aa，【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力15.若 1a3，4b2，那么 a|b|的取值范围是 _【答案】(3,3)【解析】【分析】先算出|b|的范围，再算出a+（|b|）的范围【详解】由4b2?0|b|4，4|b|
14、0，又 1a 3 3a|b|3所求范围为（3，3）.故答案为（3，3）.【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点16.已知不等式xyaxy对任给0 x，0y恒成立，则实数a的取直范围是 _.【答案】2,【解析】【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论【详解】解：x0，y0，不等式xyaxy等价为axyxy恒成立，设mxyxy，则m0，平方得m2（xyxy）22xyxyxy12 xyxy122xyxy1+12，当且仅当xy时取等号，m22，则 0m2要使axyxy恒成立，则a2，故答案为：2，+）【点睛】本题主要考查不等
15、式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键综合性较强三、解答题：（共 4 题，46 分）17.已知函数2()(6)4fxxaa x，（1）解关于a的不等式(1)0f；（2）若不等式(1)fb的解集为(1,3)，求实数a，b的值；（3）对任意的1 3x，不等式()0f x恒成立，求实数a的取直范围。【答案】（1）1 5a，（2）37,7ab或377ab，（3）3-5a或3+5a【解析】【分析】（1）由f 10得：26+50aa，解一元二次不等式即可；（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值（3）对1 3x，0fx恒成立等
16、价于246xaax，转求最值即可【详解】（1）由f 10得：26+50aa.15a解集为1 5，（2）由fxb即，2640 xaa xb可知-1 与 3 是方程2640 xaa xb两实根262620374377aaaaabbb故377ab或377ab（3）对1 3x，0fx恒成立等价于2x+640aa x即246xaax，满足2min46()xaax设24gxxx，x1 3，4424xxxx，当且仅当1,34xxx即2x时“=”成立故64aa，26+40aa35a或3+5a【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与计算能
17、力，是中档题18.已知数列na满足：*1n+11=+,2nnnnaanNn，（1）设=nnabn,求数列nb的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS.【答案】（1）122nnnbn;（2）12142nnnSn n【解析】【分析】（1）由条件可得1112nnnaann，即有bn+1bn12n，由累加法，结合等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（2）由（1）可知122nnnan，设数列12nn的前n项和Tn，运用错位相减法，结合等差数列、等比数列的求和公式，以及分组求和，计算可得所求和【详解】（1）由1112nnnnnaan可得1112nnnaann，1111112nnnnnabbbabn又，
18、由，得，累加法可得：21321121111222nnnbbbbbb111122112n，化简并代入b11 得：1122nnb；（2）由（1）可知122nnnan，设数列12nn的前n项和Tn，则01211232222nnnT123112322222nnnT可得12Tn1211112222nnn1121212nnn222nn，则Tn4122nn，前n项和Snn（n+1）4122nn【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列恒等式和等比数列的求和公式的运用，考查错位相减法求和，以及分组求和，化简整理的运算能力，属于中档题19.已知等差数列na的公差0d，首项1=1a，且1232,1,3a aa
19、成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列11nna a的前n项和nP；（3）比较nP与22nn的大小.【答案】（1）21nan（2）21nnPn（3）22nnPn【解析】【分析】（1）由已知列式求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求解；（2）利用裂项相消法求数列11nna a 的前n项和Pn；（3）由11112212nPn，设f（n）22nn，分析可得当n3 时，f（n+1）f（n）f（n）单调递增，由f（n）f（3）89，Pn12，得f（n）Pn；再验证n1 与n2 时成立，可得Pn与22nn的大小【详解】解：（1）由题意，2213(1)23aaa，即2(2)2 420dd
20、d，解得d2an2n1；（2）111111212122121nna annnn111111111+2335572121nPnn111221n21nn21nnPn（3）由11112212nPn，设f（n）22nn，则f（n+1）f（n）1222222122(1)(1)nnnn nnnnn当n3 时，f（n+1）f（n），f（n）单调递增，f（n）f（3）89，Pn12，则f（n）Pn；当n1 时，f（1）2113P；当n2 时，f（2）1225P综上，Pn22nn【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题20.已知函数2()
21、xfxaxb（,a b为常数），方程()120f xx有两个实根3 和 4，（1）求()f x 的解析式；（2）设1k，解关于x的不等式1()2kxkfxx；（3）已知函数g x是偶函数，且g x在0+，上单调递增，若不等式(1)(2)g mxg x在任意112x，上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）2,22xfxxx（2）答案不唯一，见解析；（3）-2 0m，【解析】【分析】（1）根据题意，方程f（x）x+120 即（1a）x2+（12ab）x+12b0 的两根为3 和 4，由根与系数的关系分析可得有127112121baaba，解可得a、b的值，即可得到答案；（2）根据题意，原不等
22、式变形可得f（x）12kxkx，分情况讨论k的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案；（3）根据题意，由函数奇偶性与单调性的性质可得g（mx+1）g（x 2）?|mx+1|x2|，x12，1；进而变形可得13xmxxmx对于任给x12，1 上恒成立，据此分析可得答案【详解】（1）由f+12=0 xx即2221212120 xxaxbxaxbxaxbaxb，即（1a）x2+（12ab）x+12b 0 两根为 3 和 4，127112121baaba，即571abab.12ab故2,22xfxxx（2）由2122kxkxxx即k120 xxx1当 12k时，解集x1k2+，2当k=2时，解集x1 22+，3当k2时，解集x1 2k+，（3）由于g（x）为偶函数且在（0，+）上递增，g（mx+1）g（x2）?|mx+1|x2|，x12，1；则有1212mxxmxx，变形可得13xmxxmx，即有13xmxxmx，对于任给x12，1 上恒成立，对于y1xx，有yminy|x10，则有m0，对于y3xx，有ymaxy|x1 2，则有m 2，故 2m0，即m的取值范围为 2，0【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，考查转化思想与计算能力，属于综合题