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1、广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）1/17 珠海市 2011-2012 学年度第二学期高三质量监测理科数学一、选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案）已知全集UR，集合|1|1Axx，则ACU等于（C ）A.(，0 B.2，)C.(，02，)D.0，2等比数列na中，112a，又14234a aa a，则公比qA2B2 3C2D3在复平面内，复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A,B.若 C为线段 AB的中点，则点C 对应的复数是（）A.4+8i B.8+2i
2、 C.2+4i D.4+i已知 a、b 是实数，则“a1，b2”是“a+b3 且 ab2”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条5ABC中，角ABC、所对的边abc、，若3a，3A，5cos5B，则bA8 55B2 55C4 55D12 556已知函数()f x满足：当x1 时，()f x=)1(xf；当 x1 时，()f x=x2，则)7(log2f=A167B87C47D277某班主任对全班50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18 9 27 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠
3、海二模）2/17 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总数26 24 50 根据表中数据得到25018 15895 05927232426k().，参考下表：P(K2k)0.050 0.0250.0100.001 k 3.841 5.0246.63510.828 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）A 97.5%B95%C90%D99.9%8 起点到终点的最短距离为（）A16B 17 C 18 D19 二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上.9.（理科）某校高中部有三
4、个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生_人.10（理科）已知单位向量a，b，其夹角为3，则ba=_ 11（理科）已知随机变量2(2,)N，3(1)4P，(5)P .12下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_；13甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠4 小时、8 小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到0v1v2v5v6v3v4v起点8终点4224657634广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）3/17 达，则这两艘船中有一艘在
5、停靠泊位时必须等待的概率为14（坐标系与参数方程选做题）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BCPB12，则PABC15（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos4关于直线对称的曲线的极坐标方程为。三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12 分）在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A，B 两点，已知A 点的纵坐标为1010，B 点的纵坐标为102（1）求tantan和的值；（2）求2的值 PBAC广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012
6、 珠海二模）4/17 O19题 图181716151413秒频 率组 距0.060.080.160.320.3817（本小题满分12 分）某学校 900 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50 个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13,14)，第二组14,15)，第五组17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于14 秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级900 名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2
7、个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期望广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）5/17 18.（本小题满分14 分）如图，长方体1111ABCDA B C D中，14CC，3ABBC（1）若EF、分别是1BC、11AC中点，求证EF/平面1DCC；（2）求二面角11ABCD的正弦值广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）6/17 19.（本小题满分14 分）已知圆 C 方程：（x1）2+y 2=9，垂直于x 轴的直线L 与圆 C 相切于N 点（N 在圆心 C 的右侧），平面上有一动点P，若 PQL，垂足为Q，且2
8、1|PQPC；（1）求点 P 的轨迹方程；（2）已知 D 为点 P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O 为原点，A、B 分别为点P 的轨迹曲线与,x y轴的正半轴的交点，求四边形OADB 的最大面积及D 点坐标.广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）7/17 20.（本小题满分14 分）已知函数3213fxxaxbxRa,b.（）若曲线C:yfx经过点1 2P,，曲线C在点P处的切线与直线230 xy平行，求a,b的值；（）在（）的条件下，试求函数2713g xmfxx（m为实常数，1m）的极大值与极小值之差；（）若fx在区间1 2,内存在两个不同的极值点，求证：
9、02ab.广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）8/17 21.已知函数()cosf xx，()2g xx，数列nx满足：15(,)66x，*12()()()nng xf xnNn，(1)当2时，求23,xx的值并写出数列nx的通项公式（不要求证明）；(2)求证：当0 x时，()xfxx；(3)求证：*1231()2222nxxxxnN。广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）9/17 数学理参考答案一、选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂
10、答案）CA C A 5 C 6C 7A8B 二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上.9.3700 1031114125121372311432154sin三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）10/17 频 率组 距0.060.080.160.320.3816.解:本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。（1）由条件得1sin10，1sin5 22 分为锐角，
11、故cos0且3cos10，同理可得7cos5 2 4 分因此1tan3，1tan7。6 分（2）1tan3，1tan711tantan137tan1 11tantan213 77 分11tantan()32tan 2tan()11 11tantan()13 2 8 分02，xytan在)2,0(上单调递增，且4tan1tan，40，10 分同理40，4320 11 分从而2412 分17.广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）11/17 解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，人数为：500.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为3。3
12、 分（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900 名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：9000.38=342 所以估计本年级900 名学生中，成绩属于第三组的人数为342。7 分（3）的可能取值为1，2，3；31)1(240123231211CCCCCCp8 分21)2(241311231112242301230122CCCCCCCCCCCCp9 分61)3(241311230122CCCCCCp10 分的分布列为P 1 2 3 1/31/21/611 分651611)3(3)2(2)1(1pppE12 分18.广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研
13、考试理（2012 珠海二模）12/17()证明：连接111D BB C、，则长方体1111ABCDA B C D中，11BCB CE，1111D BACF，E、F分别是11B D和1B C的中点1EFD C分1EFDCC平面4 分()解：(理)连接AC设交BD于O，连接11AOC O、正方形ABCD中ACBD，又1AA平面ABCD1AABDBD平面11AAC C5 分过1A作11A HC O于H，作11A GC B于G，连接GH、BF1A HBD1A H平面1BDC6 分11BCA H1BC平面1A HG1BCHG8 分广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）13
14、/17 1AGH就是二面角11ABCD10 分3ABBC，14CC115A BBC，113 2ACBD111112441AAACA HOC，11113 415BF ACAGBC 1分11140sin41A HAGHAG二面角11ABCD的正弦值是404114 分19.解：（1）设P点坐标为(,)x y，1 分则4PQx，2 分22(1)PCxy3 分因为21|PQPC，所以22(1)142xyx，4 分广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）14/17 化简得22143xy5 分所以点P的轨迹方程是22143xy6 分（2）依题意得，A点坐标为(2,0)，B点坐标
15、为(0,3)7 分设D点坐标为(2cos,3sin),(0)2，8 分则四边形OADB的面积+OADOBDOADBSSS四边形,9 分1123sin32cos22 10 分3(sincos)6 sin()411 分又因为 02，所以3+44412 分所以2sin()124，即36sin()64所以四边形OADB的最大面积为6，13 分当四边形OADB的面积取最大时，=42，即=4，此时D点坐标为6(2,)214 分20.解：（）3213fxxaxbx22fxxaxb，1 分直线230 xy的斜率为2，曲线C在点P处的切线的斜率为2,1122fab2 分曲线C:yfx经过点1 2P,，1123f
16、ab3 分广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）15/17 由得：2,37.3ab4分（）由（）知：32127333fxxxx，232123mg xxx，2413gxmx x,由00gxx，或43x.5分当210m，即1m,或1m时，x，gx，g x变化如下表x0,0403,4343,gx+0-0+g x极大值极小值由表可知：403g xg xgg极大极小2232320118181mm 7 分当210m,即11m时，x，gx，g x变化如下表x0,0403,4343,gx-0+0-g x极小值极大值由表可知：403g xg xgg极大极小223232101818
17、1mm8 分综上可知：当1m,或1m时，g xg x极大极小232181m；当11m时，g xg x极大极小232181m9 分（）因为fx在区间1 2,内存在两个极值点，所以()0fx，即220 xaxb在(1,2)内有两个不等的实根广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）16/17 2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)fabfabaab11 分由（1）+（3）得：0ab，12 分由（4）得：2abaa，由（3）得：21a，2211()224aaa，2ab13 分故02ab14 分21.(1)解：23,22nxxx，2 分(2)
18、证明：设()()sinF xfxxxx，则()cos10Fxx，()F x在0,)上为减函数，即()(0)0F xF，即()fxx，4 分设()()sinH xfxxxx，则()cos10Hxx，()H x在0,)上为增函数，即()(0)0H xH，即()fxx，5 分当0 x时，()xfxx。6 分(3)由(1)知：当0 x时，|()|fxx，同理可证：当0 x时，|()|fxx，即对xR，恒有：|()|fxx。7 分由*12()()()nng xf xnNn得：11cos2nnxxn，1111cossin()222nnnnxxxxnnn（*nN）8 分11212nnxxn，121222nnxxn，2122xx，从而12(1)!2nxn，10 分广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理（2012 珠海二模）17/17 12311111122221!1!2!3!2nxxxxn11 分21111112222n11112(1)32222nn13 分325(,)66*1231()2222nxxxxnN成立。14 分