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1、1/8【成才之路】2014 高中数学 3-2-2 函数模型的应用实例能力强化提升 新人教 A 版必修 1 一、选择题 1某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()Ay0.2x By110(x22x)Cy2x10 Dy0.2log16x 答案 C 解析 当x1 时，否定 B，当x2 时，否定 D，当x3 时，否定 A，故选 C.2某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是 20%；同时乙产品连续两次降
2、价，每次降价都是 20%，结果都以 92.16 元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是()A不亏不盈 B赚 23.68 元 C赚 47.32 元 D亏 23.68 元 答案 D 解析 设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(120%)292.16，y(120%)292.16，x64，y144,6414492.16223.68.3用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次数是()A3 B4 C5 D6 答案 B 解析 设至少需要清洗n次，由已知得(134)n1%即14n1100.4n100 n4，故选 B.4某种产品市场销量情况如图所示，
3、其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：2/8 产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行；产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量；产品的产量、销量均以一定的年增长率增加 你认为较合理的是()A B C D 答案 D 5已知A、B两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以 50 km/h 的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是()Ax60t Bx60t50 Cx 60t0t2.515050tt2.5 Dx 1502.5
4、t3.515050t3.53.5t6.560t0t2.5 答案 D 解析 从A地到B地的来回时间分别为：150602.5，150503，x 60t 0t2.5150 2.5x3.515050t3.5 3.5t6.5 故选 D.6“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过 800 元，免征个人所得税，超过 800 元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x全3/8 月总收入800 元，税率见下表：级数 全月纳税所得额 税率 1 不超过 500 元部分 5%2 超过 500 元至 2 000 元部分 10%3 超过 2 000 元至 5 000 元部分 15%9 超
5、过 10 000 元部分 45%某人一月份应缴纳此项税款 26.78 元，则他当月工资总收入介于()A800900 元 B9001 200 元 C1 2001 500 元 D1 5002 600 元 答案 C 解析 解法 1：(估算法)由 5005%25 元，10010%10 元，故某人当月工资应在1 3001 400 元之间，故选 C.解法 2：(逆推验证法)设某人当月工资为 1 200 元或 1 500 元，则其应纳税款分别为4005%20 元，5005%20010%45 元可排除 A，B，D，故选 C.7某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了 300 元，回来后发现有 12个是
6、坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价 1 元/个售出，售完后共赚 78 元则这两筐椰子原来的总个数为()A180 B160 C140 D120 答案 D 解 析 设 原 来 两 筐 椰 子 的 总 个 数 为x，成 本 价 为a元/个，则 ax300a1x1230078，解得 x120a2.5，故这两筐椰子原来共有 120 个 8在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线yf(x)，另一种是平均价格曲线yg(x)，如f(2)3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g(2)3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示yf
7、(x)，虚线表示yg(x)，其中正确的是()4/8 答案 C 解析 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除 A、D；即时价格若一路上升，则平均价格也应一直上升，排除 B.(也可以由x从 0 开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除 A、D)，故选 C.二、填空题 9现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用_作为拟合模型较好 答案 甲 解析 代入x3，可得甲y10，乙，y8.显然选用甲作为拟合模型较好 10长为 4、宽为 3 的矩形，当长增加x，且宽减少
8、x2时面积最大，此时x_，最大面积S_.答案 1 252 解析 S(4x)3x2x22x12 25212(x1)2，当x1 时，Smax252.11某养鱼场，第一年鱼的重量增长率为 200%，以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半，问经过四年鱼的重量是原来的_倍 答案 454 解析 设原来鱼重a，四年后鱼重为a(1200%)(1100%)(150%)(125%)454a，454aa454.12为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y(116)ta(a为常数)其图象如图根据图
9、中提供的信息，回答问题：5/8 (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为_(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到 0.25mg 以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过_小时，学生才能回到教室 答案(1)y(2)0.6 解析(1)设 0t110时，ykt，将(0.1,1)代入得k10，又将(0.1,1)代入y(116)ta中，得a110，y.(2)令(116)t1100.25 得t0.6，t的最小值为 0.6.三、解答题 13为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，
10、则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条6/8 件的课桌椅的高度：第一套 第二套 椅子高度x(cm)40.0 37.0 桌子高度y(cm)75.0 70.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)(2)现有一把高 42.0cm 的椅子和一张高 78.2cm 的课桌，它们是否配套？为什么？解析(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系式为ykxb.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得 40kb75，37kb70.2，k1.6，b11.y与x的函数关系式是y1.6x11.(2)把x42 代入上述函数关系式中，有y1.6421178.2.给出的这
11、套桌椅是配套的 点评 本题是应用一次函数模型的问题，利用待定系数法正确求出k，b是解题的关键 14某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系 Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 解析(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函
12、数，从而用函数Qatb，Qabt，Qalogbt中的任意一个进行描述时都应有a0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合所以，选取二次函数Qat2btc进行描述 以 表 格 所 提 供 的 三 组 数 据 分 别 代 入Qat2btc得 到，7/8 1502 500a50bc，10812 100a110bc，15062 500a250bc.解得 a1200，b32，c2252.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q1200t232t2252.(2)当t3221200150 天时，西红柿种植成本最低为Q12001502321502252100(元/102k
13、g)15某工厂现有甲种原料 360 kg，乙种原料 290 kg，计划利用这些原料生产A、B两种产品共 50 件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料 9 kg，乙种原料 3 kg，可获利润 700元生产一件B种产品，需用甲种原料 4 kg，乙种原料 10 kg，可获利润 1200 元(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请设计出来(2)设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大？最大利润是多少？分析 设生产A种产品x件，则生产B种产品(50 x)件，据题意：生产两种产品所用甲种原
14、料不超过 360 kg，所用乙种原料不超过 290 kg 即可 解析(1)设生产A种产品x件，则生产B种产品为(50 x)件，依题意得 9x450 x360，3x1050 x290.解得 30 x32.x是整数，只能取 30,31,32.生产方案有三种，分别为A种产品 30 件B种产品 20 件；A种产品 31 件B种产品 19件；A种产品 32 件B种产品 18 件(2)设生产A种产品x件，则B种产品(50 x)件 y700 x1 200(50 x)500 x600 00，k5000，y随x增大而减小，当x30 时，y最大50030600 0045 000.安排生产A种产品 30 件，B种产
15、品 20 件时，获利润最大，最大利润为 45 000 元 方法点拨 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决，第(2)问是利用一次函数增减性解决问题，要注意第(2)问 与第(1)问相互联系即根据实际问题建立好函数关系式后，8/8 特别要注意函数的定义域 16某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图 1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润和投资单位：万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式(2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问
16、：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解析(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元 由题意可设f(x)k1x，g(x)k2x.根据图象可解得f(x)0.25x(x0)g(x)2x(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)2 96.总利润y8.25 万元 设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元 则y14(18x)2x，0 x18.令xt，t0,3 2，则y14(t28t18)14(t4)2172.当t4 时，ymax1728.5，此时x16,18x2.当A，B两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5万元