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1、1/7 平面向量 1 1.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母ba,等表示；用有向线段的起点与终点字母表示：AB；向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|。3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4.零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0。长度为
2、1 个单位长度的向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：向量a与b相等，记作a=b；零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。6.平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行。说明：综合才是平行向量的完整定义；向量cba、平行，记作cba/。二、向量的运算法则 1.向量的加法 某人从 A 到 B，再从 B 到 C，则两次的位移和：ACBCAB；向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。三角形法则：ACBCABba 四
3、边形法则：OCACOAOBOAba 三角形法则 四边形法则 2/7 练习：化简（1）CDBCAB）（2）OMBOMBAB)(（3）COBOOCOA 2.向量的减法 相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。aa)(；任一向量与其相反向量的和是零向量，即：0)()(aaaa；如果ba，是互为相反的向量，则：0,baabba。向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即)(baba 向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。注意：起点相同；指向被减向量的终点。练习：（1）ACAB （2）OAOD （3）ADODOA （4）D
4、CADAB 例 1.平行四边形 ABCD 中，bABaAD,，用a、b表示向量DBAC,。例 2.已知一点 O 到平行四边形ABCD 的三个顶点 A、B、C 的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD。3.向量的数乘运算 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：|aa；3/7 当0 时，a的方向与a的方向相同；当0 时，a的方向与a的方向相反；特别的，当=0 或a=0时，a=0。注意：实数与向量a，可以做积，但不可以做加减法，即+a，-a是无意义的。实数与向量的积的运算律：设a、b为任意向量，为任意实数，则有：aa)()(；aaa)(baba)(例 1.计算 a4)
5、3).(1(；ababa)(2)(3).2(；)23()32).(3(cbacba 例 2.计算 (1).);2(2)(3baba (2).)243(3)362(2cbacba 结论：向量b与非零向量a共线，当且仅当有唯一一个实数，是的b=a。例 3.向量212122,eebeea是否共线？例 4.平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且bADaAB,你能用ba,表示MDMCMBMA,吗？4/7 二、向量运算法则的应用 向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数21、，恒有baba2121)(。1.有关向量共线问题 例 1.已知向量ba、满足)23(51253baba
6、ba，求证：向量ba和共线。例 2.已知BCDEABAD3,3,试判断AEAC与是否共线？定理的应用：(1).有关向量共线问题；(2).证明三点共线：CBABCBCAB、)0(三点共线；(3).证明两直线平行问题。例 3.已知任意两个非零向量ba、，试作baOCbaOBbaOA3,2,，你能判断CBA、三点间的位置关系吗？为什么？例 4.在四边形ABCD中，baCDbaBCbaAB35,4,2，求证：四边形ABCD为梯形。5/7 高中数学必修 4 同步练习(2.1-2.2 平面向量的概念及线性运算)姓名_班级_学号_ 一.选择题(每题 5 分)1.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是()A.
7、a与b的长度必相等 B.ba C.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量 2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c,则向量OD等于()A.abc B.abc C.ab c-D.a b c-3.(如图)在平行四边形ABCD中,下列正确的是().A.ABCD B.ABADBD C.ADABAC D.ADBC0 4.COBOOCOA等于()A.AB B.BA C.AC D.CA 5.化简SPPSQPOP的结果等于()A、QP B、OQ C、SP D、SQ 6.(如图)在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是()A ABOC B ABDE
8、C ADBE D ADFC 7.下列等式中,正确的个数是()abbaa bb a-0aa(a)a a(a)0 A.5 B.4 C.3 D.2 8.在ABC中,ABa,ACb,如果a|b|,那么ABC一定是().A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 9.在ABC中,BCa,CAb,则AB等于()A.ab B.(ab)C.ab D.ba 10.已知a、b是不共线的向量,ABab,ACab(、R),当且仅当()时,A、B、C三点共线.1A 1B 1C 1D 二.填空题(每题 5 分)11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是_ 12.ABC
9、D的两条对角线相交于点M,且ABa,ADb,则MA _,MB _,MC _,MD _.13.已知向量a和b不共线,实数x,y满足byxabayx)2(54)2(,则 yx_ 14.化简:ABBCCD_;AB AD DC_;()()AB CDAC BD_ 15.化简下列各式:(1)FABCCDDFAB_;(2)()()ABMBBOBCOM_.16.在ABCD中,ABa,ADb,则 AC _,DB _.17.在四边形 ABCD 中有ACABAD,则它的形状一定是_ 18.已知四边形ABCD中,1ABDC2,且ADBC则四边形ABCD的形状是_.19.化简:)()(BDCPBADPAC_.20.在A
10、BC 中,设BCa,CAb,则AB=_ 三.解答题(每题 10 分)21.某人从A点出发向西走了 10m,到达B点,然后改变方向按西偏北60走了 15m 到达C点,最后又向东走了10 米到达D点.(1)作出向量AB,BC,CD(用1cm长线段代表10m长);(2)求DA B D C A 6/7 CDABNM 22.如图,在梯形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,E、F分别是AC和BD的中点,分别写出(1)图中与EF、CO共线的向量;(2)与EA相等的向量.23.在直角坐标系中,画出下列向量:(1)a2,a的方向与x轴正方向的夹角为60,与y轴正方向的夹角为30;(2)a4,a的方向与x轴正方
11、向的夹角为30,与y轴正方向的夹角为120;(3)a4 2,a的方向与x轴正方向的夹角为135,与y轴正方向的夹角为135.24.在ABC所在平面上有一点P,使得ABPCPBPA,试判断P点的位置.25.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB边中点,点N在BD上且BDBN31,求证:M、N、C三点共线.7/7 参考答案 一.选择题(每题 5 分)1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.A 9.B 10.D 二.填空题(每题 5 分)11.圆 12.111(ab),(ab),(ab)222,1(ba)2 13.1 14.AD;CB;0 15.(1)0 (2)AC 16.ab,a b-17.平行四边形 18.等腰梯形 19.0 20.ba 三.解答题(每题 10 分)21.【解答】(1)如图,(2)CDAB,故四边形ABCD为平行四边形,)m(15 DABC 22.【解答】与EF共线的向量有AB、CD;与CO共线的向量有CE,CA,OE,OA,EA;与EA相等的向量是CE 23.【解答】24.【解答】PAPBPCAB PAPAABPCAB,故PCPA2 A、P、C三点共线,且P是线段AC的三分点中靠近A的那一个 25.【解答】提示:可以证明MC3MN CDABNM