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1、1/9 数列的前 n 项和的求法 1.公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：1123(1)2nn n，222112(1)(21)6nn nn，33332(1)1232n nn.例 1、已知3log1log23x，求 nxxxx32的前 n 项和.解：由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 nnxxxxS 32 （利用常用公式）xxxn1)1(211)211(21n1n21 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公
2、式法求和.例 2、求数列的前 n 项和：231,71,41,1112 naaan，解：设)231()71()41()11(12 naaaSnn 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12 naaaSnn （分组）当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn （分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.例 3、求89sin88sin3sin2sin1sin22222 的值 解
3、：设89sin88sin3sin2sin1sin22222 S.将式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin22222 S.（反序）又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx+得 （反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 S89 S44.5 4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.例 4、求和：132)12(7531 nnxnxxxS 解：由题可知，1)12(nxn的通项是等差数列2n1的通项与等比数列1nx的通项
4、之积 设nnxnxxxxxS)12(7531432 .（设制错位）2/9 得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn 例 5、求数列 ,22,26,24,2232nn前 n 项的和.解：由题可知，nn22的通项是等差数列2n的通项与等比数列n21的通项之积 设nnnS2226242232 14322226242221 nnnS （设制错位）得1432222222222222)211(nnnnS （错位相减）1122212nnn 1224
5、nnnS 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：111(1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(1)11nnnnnnnnn.例 6、求数列 ,11,321,211nn的前 n 项和.解：设nnnnan111 （裂项）则 11321211 nnSn （裂项求和）)1()23()12(nn 11n 例 7、在
6、数列an中，11211 nnnnan，又12nnnaab，求数列bn的前 n 项的和.解：211211nnnnnan )111(82122nnnnbn （裂项）数列bn的前 n 项和 3/9)111()4131()3121()211(8 nnSn （裂项求和）)111(8n 18nn 6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例 8、求11111111111个n 之和.解：由于)110(91999991111111 kkk 个个 （找通项及特征）11111111111个n )110(91)110(91)110(91)110(91321 n （分组求和）)1111(
7、91)10101010(911321个nn 9110)110(1091nn)91010(8111nn 7、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 9、求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.2014 年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014全国卷（文 5）】等差数列 na的公差为 2，若2a，4a，8a成等比数列，则 na的前 n 项和nS=（A）1n n （B）1n n （C）12n n (D)12n n【答案】A 2.【2014全国大纲卷（理 10）】等比数
8、列na中，452,5aa，则数列lgna的前 8 项和等于 （）A6 B5 C4 D3【答案】C 3.【2014全国大纲卷（文 8）】设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S2=3，S4=15，则 S6=()A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C 4/9 4.【2014北京卷（理 5）】设na是公比为q的等比数列，则1q 是na为递增数列的（）.A充分且不必要条件 .B必要且不充分条件 .C充分必要条件 .D既不充分也不必要条件 【答案】D 5.【2014天津卷（文 5）】设na是首项为1a，公差为-1 的等差数列，nS为其前n项和.若124,S SS成等比数列，则1a（）（A）
9、2 （B）-2 （C）12 （D）12【答案】D.6.【2014福建卷（理 3）】等差数列na的前n项和nS，若132,12aS，则6a().8A .10B .12C .14D【答案】C 7.【2014辽宁卷（文 9）】设等差数列na的公差为 d，若数列12na a为递减数列，则（）A0d B0d C10a d D10a d 【答案】D 8.【2014陕西卷（理文 4）】根据右边框图，对大于 2 的整数N，得出数列的通项公式是（）.2nAan .2(1)nB an .2nnC a 1.2nnD a【答案】C 9.【2014 重庆卷（理 2）】对任意等比数列na,下列说法一定正确的是（）139.
10、,Aa a a成等比数列 236.,B a a a成等比数列 248.,C a a a成等比数列 369.,D a a a成等比数列【答案】D 10.【2014重庆卷（文 2）】在等差数列na中,1352,10aaa，则7a（）.5A .8B .10C .14D 【答案】B 11.【2014全国卷（文 16）】数列 na满足1na=na11，2a=2，则1a=_.【答案】21 12.【2014安徽卷（理 12）】数列 an是等差数列，若1a1，3a3，5a5构成公比为q的等比数列，则q _.【答案】1q。13.【2014 北京卷（理 12）】若等差数列 na满足7890aaa，7100aa，则
11、当n _时 na的前n项和最大.【答案】8 14.【2014天津卷（理 11）】设na是首项为1a，公差为-1 的等差数列，nS为其前n项和.若124,S SS成5/9 等比数列，则1a的值为_.【答案】12 15.【2014江西卷（文 13）】在等差数列 na中，17a，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n 时nS取最大值，则d的取值范围_.【答案】718d 16.【2014广东卷（理 13）】若等比数列 na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa 。【答案】50 17.【2014广东卷（文 13）】等比数列 na的各项均为正数且154a a，则212
12、2232425logloglogloglogaaaaa .【答案】5 18.【2014全国卷（理 17）】已知数列na的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnna aS，其中为常数.()证明：2nnaa；（）是否存在，使得na为等差数列？并说明理由.【解析】：()由题设11nnna aS，1211nnnaaS，两式相减 121nnnnaaaa，由于0na，所以2nnaa 6 分（）由题设1a=1，1211a aS，可得211a，由()知31a 假设na为等差数列，则123,a a a成等差数列，1322aaa，解得4；证明4时，na为等差数列：由24nnaa知 数列奇数项构成的数列21ma
13、是首项为 1，公差为 4 的等差数列2143mam 令21,nm则12nm，21nan(21)nm 数列偶数项构成的数列2ma是首项为 3，公差为 4 的等差数列241mam 令2,nm则2nm，21nan(2)nm 21nan（*nN），12nnaa 因此，存在存在4，使得na为等差数列.12 分 19.【2014全国卷（文 17）】已知 na是递增的等差数列，2a，4a是方程2560 xx的根。（I）求 na的通项公式；（II）求数列2nna的前n项和.6/9【解析】：（I）方程2560 xx的两根为 2,3,由题意得22a，43a，设数列 na的公差为 d,，则422aad，故 d=12
14、，从而132a，所以 na的通项公式为：112nan 6 分()设求数列2nna的前n项和为Sn,由()知1222nnnan，则：23413451222222nnnnnS 34512134512222222nnnnnS 两式相减得 341212131112311212422224422nnnnnnnS 所以1422nnnS 12 分 20.【2014全国卷（理 17）】已知数列 na满足1a=1，131nnaa.（）证明12na 是等比数列，并求 na的通项公式；（）证明：1231112naaa+.【解析】（1）的等比数列。公比为是首项为3,232121).21(3211321a.*N.n13
15、,111n11=+=+=+=+aaaaaaannnnn(2)由（1）知1322nna，故3-1 1223-1nnnnaa，111a，当1n 时，-11213-13nnna；所以12-112311-1111111313311-13332321-3nnnnaaaa（），故123111132naaaa 21.【2014全国大纲卷（理 18）】等差数列na的前 n 项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.（I）求na的通项公式；（II）设11nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.【解析】（I）由110a，2a为整数知，等差数列na的公差d为整数又4nSS，故450,0,aa于7/9
16、 是1030,1040dd，解得10532d-，因此3d，故数列na的通项公式为133nan（II）11111331033 103133nbnnnn，于是1211111111113710471031333 1031010 103nnnTbbbnnnn22.【2014全国大纲卷（文 17）】数列an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设 bn=an+1-an，证明bn是等差数列；（2）求数列an的通项公式.【解析】（1）由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2，即 bn+1=bn+2,又 b1=a2-a1=1.所以bn是首项为 1
17、，公差为 2 的等差数列；（1）由（1）得 bn=1+2（n-1），即 an+1-an=2n-1.于是111()(21)nnkkkkaak 于是 an-a1=n2-2n，即 an=n2-2n+1+a1.又 a1=1，所以an的通项公式为 an=n2-2n+2.23.【2014山东卷（理 19）】已知等差数列na的公差为 2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列。（I）求数列na的通项公式；（II）令nb=,4)1(11nnnaan求数列nb的前n项和nT。【解析】（I）,64,2,2141211daSdaSaSd 4122421,SSSSSS成等比 解得12,11naan（II）)12
18、1121()1(4)1(111nnaanbnnnnn)121121()121321()7151()5131()311(nnnnTnn为偶数时，当1221211nnnTn)121121()121321()7151()5131()311(nnnnTnn为奇数时，当12221211nnnTn 为奇数为偶数nnnnnnTn,1222,122 24.【2014安徽卷（文 18）】数列 na满足*111,(1)(1),nnananan nnN.()证明：数列nan是等差数列；()设3nnnba，求数列 nb的前n项和nS.8/9 123+1+1+12333333(1 3)31 3(1 2)332nnnnn
19、nSnnn 【解析】（）证：由已知可得111nnaann，即111nnaann 所以nan是以111a为首项，1 为公差的等差数列。（）解：由（）得1(1)1nannn ，所以2nan，从而3nnbn 1231 32 33 33nnSn 234+131 32 33 3-1 33nnnSnn （）得：所以+1(21)334nnnS 25.【2014 北京卷（文 15）】已知 na是等差数列，满足13a，412a，数列 nb满足14b，420b，且nnba是等比数列.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）求数列 nb的前n项和.【解析】（I）设等差数列 na的公差为d，由题意得：411233
20、33aad，所以1(1)3(1,2,)naandn n，设等比数列nnba的公比为q，由题意得：3441120 12843baqba，解得2q.所以1111()2nnnnbaba q，从而132(1,2,)nnbnn.（II）由（1）知，132(1,2,)nnbnn，数列 3n的前 n 项和为3(1)2n n，数列 12n的前 n 项和为1212112nn，所以数列 nb的前 n 项和为3(1)212nn n.26.【2014福建卷（文 17）】在等比数列na中，253,81aa.（）求na；（）设3lognnba，求数列 nb的前n项和nS.【解析】(1)设na的公比为 q，依题意得 9/9
21、 141381a qa q，解得113aq，因此，13nna.（2）因为3log1nnban，所以数列 nb的前 n 项和21()22nnn bbnnS.27.【2014江西卷（理文 17）】已知首项都是 1 的两个数列（），满足.(1)令，求数列的通项公式；(2)若，求数列的前 n 项和.【解析】（1）因为，所以1112,2nnnnnnaaccbb 所以数列 nc是以首项11c，公差2d 的等差数列，故21.ncn（2）由13nnb知1(21)3nnnnac bn 于是数列前 n 项和0111 33 3(21)3nnSn 1231 33 3(21)3nnSn 相减得121212(333)(21)32(22)3nnnnSnn 所以(1)31.nnSn 28.【2014江西卷（文 16）】已知数列 na的前n项和NnnnSn，232.（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：对任意1n，都有Nm，使得mnaaa，1成等比数列.【解析】（1）当1n 时111aS 当2n 时 22131133222nnnnnnnaSSn 检验 当1n 时11a，32nan（2）使mnaaa，1成等比数列.则21nmaa a=，23232nm=，即满足2233229126mnnn，所以2342mnn 则对任意1n，都有2342nnN 所以对任意1n，都有Nm，使得mnaaa，1成等比数列.