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1、第 1 页 关于幂函数的性质知识点总结 定义:形如 y=xa(a 为常数)的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域:当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定,即如果同时 q 为偶数,则 x不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。当x 为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于
2、0 的实数。在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有 a为正数,0 才进入函数的值域 性质:对于 a 的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:首先我们知道如果 a=p/q,q 和 p 都是整数,则 x(p/q)=q次根号(x 的 p 次方),如果 q 是奇数,函数的定义域是 R,如果 q 是偶数,函数的定义域是0,∞)。当指数 n是负整数时,设 a=-k,则 x=1/(xk),显然 x≠0,函数的第 2 页 定义域是(∞,0)∪(0,∞).因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点,一是有可能作
3、为分母而不能是 0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:排除了为 0 与负数两种可能,即对于 x>0,则 a 可以是任意实数;排除了为 0 这种可能,即对于 x<0 和 x>0 的所有实数,q 不能是偶数;排除了为负数这种可能,即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数,a 就不能是负数。总结起来,就可以得到当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过这时函数的定义域还必须根据 q 的奇偶性来确定,即如果同时 q 为偶数,则 x不能小于 0
4、,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有 a 为正数,0 才进入函数的值域。由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的,因此下面给出第 3 页 幂函数在第一象限的各自情况.可以看到:(1)所有的图形都通过(1,1)这点。(2)当 a 大于 0 时,幂函数为单调递增的,而a 小于 0 时,幂函数为单调递减函数。(3)当 a 大于 1 时,幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0时,幂函数图形上凸。(4)当 a 小于 0 时,a 越小,图形倾斜程度越大。(5)a 大于 0,函数过(0,0);a 小于 0,函数不过(0,0)点。(6)显然幂函数无界。