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1、1/8 玩转压轴题，突破 140 分之高三数学选填题高端精品 专题 04 立体几何中最值问题 一方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运 动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练 立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空
2、间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。二解题策略 类型一 距离最值问题【例 1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2AB，若线段DE上存在点P使得GPBP，则边CG长度的最小值为（）A.4 B.4 3 C.D.2 3 举一反三 1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E、F分别是棱 BC，CC
3、1的中点，P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是_。2、【2017 甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D 是坐标原点,有一棱长为 a2/8 的正方体,E 和 F 分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）A.B.C.a D.3、如右图所示，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E为棱1CC的中点，点,P Q分别为面1111ABC D和线段1BC上的动点，则PEQ周长的最小值为_ 类型二 面积的最值问题【例 2】已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD的外接球，3BC，2
4、 3AB，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A.,4 B.2,4 C.3,4 D.0,4 举一反三 1、在三棱锥 P-ABC 中，PA面 ABC，ABAC 且 AC=1，AB=2，PA=3，过 AB 作截面交 PC 于 D，则截面 ABD 的最小面积为（）A.1010 B.3 55 C.3 1010 D.55 2、如图，在正四棱柱1111DCBAABCD 中，2,11AAAB，点P是平面1111DCBA内的一个动点，则三棱 锥ABCP的 正 视 图 与 俯 视 图 的 面 积 之 比 的 最 大 值 为（）3/8 A1 B2 C 21 D41
5、3、正三棱锥 V-ABC 的底面边长为a2，E,F,G,H 分别是 VA,VB,BC,AC 的中点，则四边形 EFGH 的面积的取值范围是（）A,0 B,332a C,632a D,212a 类型三 体积的最值问题 【例 3】如图，已知平面平面，、是直线 上的两点，、是平面 内的两点，且，是平面 上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A.B.C.D.举一反三 1、已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若6ADBC，且60ABDACD，则四面体ABCD的体积的最大值是 A.18 2 B.36 2 C.18 D.36 2、如图，已知平面l，A、B是l上的两个点，C、D在平面内，且,D
6、ACB4AD，6,8ABBC，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，则PABCD体积的最大值是（）C B 1A 俯视图 侧视图 正视图 1C 1D A 1B P D 4/8 A.24 3 B.16 C.48 D.144 3、(2016全国 卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球.若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A.4 B.92 C.6 D.323 类型四 角的最值问题 【例 4】如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 A
7、F 所成的角为，则cos的最大值为.举一反三 1、矩形 ABCD 中，将 ABC 与 ADC 沿 AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角范围（包含初始状态）为（）A.B.C.D.2、在正方体1111DCBAABCD 中，O是BD中点，点P在线段11DB上，直线OP与平面BDA1所成的角为，则sin的取值范围是（）A33,32 B21,31 C33,43 D31,41 3、在正四面体PABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且ANAB，设异面5/8 直线NM与AC所成角为，当1233时，则cos的取值范围是_ 三强化训练 1、正方体1111ABC
8、DABC D中，点P在1AC上运动（包括端点），则BP与1AD所成角的取值范围是（）A.,4 3 B.,4 2 C.,6 2 D.,6 3 2如图，在矩形ABCD中，2,1ABAD,点E为CD的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点现将DAF沿AF折起，使得平面ABD 平面ABC设直线FD与平面ABCF所成角为，则sin的最大值为（）A.13 B.24 C.12 D.23 3、如下图，正方体1111ABCDABC D中，E是1DD的中点，F是侧面11CDD C上的动 点，且1B F/平面1ABE，则1B F与平面11CDD C所成角的正切值的最小值是_ 4、【2014 四川，理 8】如图，在正
9、方体1111ABCDA BC D中，点O为线段BD的中点.设点P在线段1CC上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则sin的取值范围是（）A3,13 B6,13 C6 2 2,33 D2 2,13 5、已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为 1 的球面上，且满足0PA PB，0PB PC，6/8 0PC PA，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为（）A12 B1 C2 D4 6、体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且:2:3R BC，点E为线段BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是_ 7、(数学文卷2017 届广东省揭阳
10、市届高三上学期期末调研考试第 15 题)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来，如图 3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计）8、【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4 （B）92 （C）
11、6 （D）323 9、【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O.D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.10、【2016 高考浙江理数】如图，在ABC 中，AB=BC=2，ABC=120.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC上的点 D，满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 P
12、BCD 的体积的最大值是 .7/8 11、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为12，高为 3，且上底面的周长为 6，则该棱台的体积的最大值是（）A.14 B.56 C.634 D.63 12、
13、（2013 年高考北京卷（理）如图,在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.13、如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC 平面BCD，BAC与BCD均为等腰直角三角形，且90BACBCD，2BC 点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA长的取值范围是（）A.20,2 B.60,3 C.2,22 D.6,23 1D 1B P D 1C C E B A 1A 8/8 14、如图所示，在直三棱柱中，,分别为的中点，为线段上一点，设，给出下面几个命题：的周长是单调函数，当且仅当时，的周长最大；的面积满足等式，当且仅当时，的面积最小；三梭锥的体积为定值.其中正确的命题个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3