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1、1/8 三角函数化简求值专题复习 高考要求 1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。2、掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从 1993 年至 2002 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函
2、数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.【例 1】求值：80cot40csc10sin20tan10cos20sin2.解：原式的分子20cos10sin20sin20cos1
3、0cos20sin2 20cos10cos20sin220cos10cos40sin 320cos20cos60sin220cos80sin40sin，原式的分母80sin80cos40cos280sin80cos40sin1 80sin80cos40cos40cos80sin20cos60cos240cos 310cos10cos30cos280sin20cos40cos，所以，原式【变式】1、求值10cos110tan60tan110cos40cos2 解：25cos25cos45cos225cos250cos40cos25cos21060cos240cos25cos210sin2310c
4、os21240cos25cos210sin310cos40cos2原式【变式】2、求0020210sin21)140cos1140sin3(。分析：原式=00202020210sin21140cos140sin140sin140cos3 2/8 16160sin200sin1680cos80sin200sin810sin2180sin41200sin80sin410sin21)40cos40sin()140sin140cos3)(140sin140cos3(000000020002000000【例 2】（三兄弟）已知23523sincos，且，求tan1sin22sin2的值 解：原式=sin
5、coscossin2cos2sin2=sincossincos2sin 523sincos，上式两边平方，得：25182sin1 2572sin；又23 0sincos0sin0cos，cossin4sincossincos2225322sin2sincos2 524sincos，原式5235242577528【变式】（05 天津）已知7 27sin(),cos241025，求sin及tan()3【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos(sin22)4sin(1027，即57cossin 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 )sin(cos57)sin)(cossin(cossinc
6、os2cos25722 故51sincos 由和式得53sin，54cos 因此，43tan，由两角和的正切公式 11325483343344331433tan313tan)3tan(【例 3】（最值辅助角）已知函数 f(x)=2asin2x23asinxcosx+a+b1，（a、b 为常数，a0），它的定义域为0,2，值域为3,1，试求 a、b 的值。3/8 解：f(x)=2asin2x23asinxcosx+a+b1=a(1cos2x)3asin2x+a+b1=2asin12)62(bax 0 x2 62x+667 1)62sin(21x a0 a2asin()26x 2a 3a+b12a
7、sin()26x+2a+b1b1 值域为3,1 31311bab 234ba【变式】已知 00900，且 sin，sin是方程020240cosx)40cos2(x21=0 的两个实数根，求 sin(-5)的值。解：由韦达定理得 sin+sin=2cos400，sinsin=cos2400-21 sin-sin=)40cos1(2sinsin4)sin(sin)sin(sin0222040sin2 又 sin+sin=2cos400 0000005sin)40sin240cos2(21sin85sin)40sin240cos2(21sin 00 900 00585 sin(-5)=sin600
8、=23【例 4】（最值二次型）已知 2222sin21sinsin2sin2sin346，试求，的最值。解：46 -22sin21，21sin02 1sin202 23222sinsinsin 03212sinsin 即1sin310sin1sin3201sin2sin30sin2sin322或 1sin320sin31或 y=41)21(sinsin21)sin2sin3(21sin21sin22222 当 sin32，1时函数 y 递增，当 sina=23时 ymin=92；当 sin(31，0)时，函数 y 递减，当 sin=0 时，ymin=21 4/8 故当)sin21(sin,92
9、)sin21(sin32sin22min22时，无最大值【变式】设关于 x 的函数 y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)=21的 a 值，并对此时的 a 值求 y的最大值.解：由 y=2(cosx2a)22242 aa及 cosx1，1得：f(a)2(41)22(122)2(12aaaaaa f(a)=21,14a=21a=812,+)故22a2a1=21，解得：a=1，此时，y=2(cosx+21)2+21，当 cosx=1 时，即 x=2k，kZ，ymax=5.【例 5】（角的变换）已知243,cos()=1312,sin(+)=53,求 si
10、n2的值_.解：243,04.+43,sin()=.54)(sin1)cos(,135)(cos122 sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+).6556)53(1312)54(135【变式】（1）已知 8cos(2+)+5cos=0，求 tan(+)tan的值；（2）已知5cos3sincossin2，求2sin42cos3的值。解：（1）从变换角的差异着手。2+=(+)+，=(+)-8cos(+)+5cos(+)-=0 展开得：13cos(+)cos-3sin(+)sin=0 同除以 cos(+)cos得：tan(+)tan=313（1）以三角函数结构特
11、点出发 3tan1tan2cos3sincossin2 53tan1tan2 tan=2 57tan1tan8tan33cossincossin8)sin(cos32sin42cos3222222【例 6】已知奇函数 f(x)的定义域为实数集,且 f(x)在0,)上是增函数，当02时，是否存在这样的实数 m，5/8 使2(42cos)(2sin2)(0)fmmff对所有的0,2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数 m；若不存在，说明理由。解：()f xQ为奇函数，()()()(0)0fxf x xRf 2(42 cos)(2sin2)0fmmfQ2(42 cos)(2sin2)fmmf 又(
12、)f xQ在0,上是增函数，且()f x是奇函数 ()f x是 R 上的增函数，2242 cos2sin2coscos220mmmm 0,cos0,12Q，令 cos(0,1)ll 满足条件的m应该使不等式2220lmtm 对任意 0,1m均成立。设22()22()222mg tlmtmlm，由条件得 02(0)0mg或 012()02mmg或 12(1)0mg解得，4 2 22m或2m 即m存在，取值范围是(4 2 2,)【变式】已知函数321()43cos,32f xxx其中,xR为参数，且0.2（1）当cos0时，判断函数()f x是否有极值；（2）要使函数()f x的极小值大于零，求参
13、数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数()f x在区间(21,)aa内都是增函数，求实数a的取值范围。解：（1）当cos0时31()4,32f xx则()f x在(,)内是增函数，故无极值。（2）2()126 cos,fxxx令()0,fx 得 12cos0,.2xx 由02及（I），只需考虑cos0的情况。当x变化时，()fx的符号及()f x的变化情况如下表：x(,0)0 cos(0,)2 cos2 cos(,)2()fx 0 0 ()f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 6/8 因此，函数()f x在cos2x处取得极小值cos(),2f且3cos11()c
14、os.2432f 要使cos()0,2f必有311cos0,432可得10cos,2所以32 （3）由（2）知，函数()f x在区间(,0)与cos(,)2内都是增函数。由题设，函数()f x在(21,)aa内是增函数，则a须满足不等式组 210aaa 或21121cos2aaa 由（II），参数(,)3 2 时，10cos.2要使不等式121cos2a 关于参数恒成立，必有121.4a 综上，解得0a 或51.8a所以a的取值范围是5(,0,1).8U 练习：一、选择题 1.已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均 tan、tan，且，(2,2)，则 tan2 的值是()A.21
15、 B.2 C.34 D.21或2 二、填空题 2.已知3sin5，),2(，1tan()2，则tan(2)_.3.设(43,4)，(0，4)，cos(4)=53，sin(43+)=135，则 sin(+)=_.三、解答题 4.不查表求值:.10cos1)370tan31(100sin130sin2 5.已知 cos(4+x)=53，(1217x47)，求xxxtan1sin22sin2的值.6.已知=38，且k(kZ).求)44(sin42sin2csc)cos(12的最大值及最大值时的条件.7、已知 cos+sin=3，sin+cos的取值范围是 D，xD，求函数 y=10432log21x
16、x的最小值，并求取得最小值时 x 的值.参考答案 一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+1 0,又、(2,2)、(2,),则2 (2,0),又 tan(+7/8)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tantan1tantan2又aa,整理得 2tan222tan32=0.解得 tan2=2.答案：B 2.解析：sin=53,(2,),cos=54 则 tan=43,又 tan()=21可得 tan=21,.34)21(1)21(2tan1tan22tan22 247)34()43(1)34(432tantan1tantan)2tan(2 答案：24
17、7 3.解析：(43,4),4(0,2),又 cos(4)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()43()4cos(2)43()4sin()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(即 三、4.答案：2 752853)54(257)4cos()4sin(2sinsincoscos)cos(sinsin2cossin1sin2cossin2tan1sin22sin54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos2sin,53)4cos(:.522xx
18、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx又解 )2sin2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin1)cos1(2sin)44(sin42sin2csc)cos(1:.62222t令解 8/8 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin2(sin2t k（kZ）,322322k（kZ）当,22322k即34 k（kZ）时,)322sin(的最小值为1.7.解：设 u=sin+cos.则 u2+(3)2=(sin+cos)2+(cos+sin)2=2+2sin(+)4.u21,1u1.即 D=1,1,设 t=32 x,1x1,1t5.x=232t.21,232,2,258log2log82log,0log.82,2,42.8224142142104325.05.05.0min5.0max2xxtyMMyMtttttttxxM此时时时是减函数在时即当且仅当