《2023年广州市普通高中毕业班综合测试(一)高三数学含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年广州市普通高中毕业班综合测试(一)高三数学含答案.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1页/共 20页秘密启用前试卷类型：秘密启用前试卷类型：A2023 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学本试卷共本试卷共 5 页页22 小题满分小题满分 150 分考试用时分考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前考生务必川黑色字迹的钢笔或签字色将自己的姓名考生号试室号座位号填写在答题卡上答卷前考生务必川黑色字迹的钢笔或签字色将自己的姓名考生号试室号座位号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷类型（铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生
2、号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅
3、笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数34iz，则zz（）A.34i55B.34i55C.34i55D.34i55【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出复数z的共轭复数及模，即可计算作答.【详解】复数34iz，则i34z，22|3(4)5z ，所以
4、34i55zz.故选：A2.已知集合2Z230Axxx，则集合A的子集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C第 2页/共 20页【解析】【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合 A 作答.【详解】解不等式2230 xx，得13x，因此3Z0,1,12Axx，所以集合A的子集个数为328.故选：C3.函数 3sinxf xxx在,上的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数3sin()xf xxx定义域为(,0)(0,)，而33sin()sin()()()xxfxxxf xxx ，且()(
5、)fxf x，即函数()f x既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项 CD；而当x 时，()()f xf，排除选项 A，选项 B 符合要求.故选：B4.已知为第一象限角.3sincos3，则tan2（）A.2 23B.2 55C.2 23D.2 55【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，两边平方求出sin2，判断cos2的正负并求出，再利用同角公式计算作答.第 3页/共 20页【详解】因为为第一象限角，3sincos03，则sincos0，22cos2cossin0，21(sincos)3，即11 sin23，解得2sin23，25cos21 sin 23 ，所以sin22
6、 5tan2cos25.故选：D5.“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 121，241142 等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）A.100 个B.125 个C.225 个D.250 个【答案】C【解析】【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由 0 出现的次数分类求解作答.【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为 0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办
7、法：最多 1 个 0，取奇数字有15A种，取能重复的偶数字有14A种，它们排入数位有22A种，取偶数字占百位有15A种，不同“回文数”的个数是11215425A A A A200个，最少 2 个 0，取奇数字有15A种，占万位和个位，两个 0 占位有 1 种，取偶数字占百位有15A种，不同“回文数”的个数是1155A A25个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有20025225个.故选：C6.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F任x铀上，过点2,0的且线交C于,P Q两点，且OPOQ，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的取大值为（）A.66B.
8、12C.22D.1【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，设出抛物线 C 及直线 PQ 的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点 M 的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，抛物线C的焦点在 x 轴的正半轴上，设C的方程为：22,0ypx p，第 4页/共 20页显然直线PQ不垂直于 y 轴，设直线 PQ 的方程为：2xty，点221212(,),(,)22yyPyQypp，由222xtyypx消去 x 得：22240yptyp，则有2124y yp，由OPOQ得：22121244022yyy yppOP OQp ，解得1p，于是抛物线C：22yx的焦点1(,0
9、)2F，弦PQ的中点M的纵坐标为22ptt，则点2(2,)M tt，显然直线MF的斜率最大，必有0t，则直线MF的斜率2226336322 22tkttttt，当且仅当32tt，即62t 时取等号，所以直线MF的斜率的取大值为66.故选：A7.已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，2 5,4PBPCABAC，2PABC，则球O的表面积为（）A.31615B.7915C.1585D.795【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，证明PA 平面ABC，再确定球心 O 的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥PABC中，如图，22220ABPAPB，则PAAB，同理PAAC，而,ABACA
10、AB AC平面ABC，因此PA 平面ABC，在等腰ABC中，4,2ABACBC，则112cos4BCABCAB，215sin1 cos4ABCABC，第 5页/共 20页令ABC的外接圆圆心为1O，则1OO 平面ABC，1182 sin15ACO AABC，有1/OOPA，取PA中点 D，连接 OD，则有ODPA，又1O A平面ABC，即1O APA，从而1/O AOD，四边形1ODAO为平行四边形，11OOAD，又11OOO A，因此球 O 的半径22222211879()11515ROAO AOO，所以球O的表面积2316415SR.故选：A8.已知,a b c均为正实数，e为自然对数的底
11、数，若e,lnlncabab，则下列不等式一定成立的是（）A.ababB.baabC.abcabD.21ac【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法当1,1bc时，ea，排除选项 A，B，C；再证明选项 D 成立.【详解】已知,a b c均为正实数，e,lnlncabab,当1,1bc时，ea，满足ln1ln0ab 成立，对于 A，e1eabab，故 A 错误；对于 B，e 1baab，故 B 错误；对于 C，e 11e 1abcab，故 C 错误，对于 D，由已知0eecbabb，则，lnn0l ab.由lnlnab则22lnln0ab，所以lnln0ab，即1ab，得1ba，1eeccaba
12、，即2eca.下面证明e1cc，0c.设()=e1cf cc，()=e10cfc，所以()f c在区间0,上单调递增，所以()=e1cf cc 0(0)e10 f，即e1cc.所以21ac，故 D 正确，故选：D.二多选题：本题共二多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题分，在每小题给出的选项中，有多项符合题第 6页/共 20页目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.某校随机抽取了 100 名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：k
13、g）全部介于 45 至 70 之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）A.频率分布直方图中 a 的值为 0.07B.这 100 名学生中体重低于 60kg 的人数为 60C.据此可以估计该校学生体重的第 78 百分位数约为 62D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为 62.5【答案】AC【解析】【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为 1 及频数、百分位数、平均数计算公式计算即可.【详解】对于 A 项，因为5(0.010.060.040.02)1a，解得：0.07a，故 A 项正确；对于 B 项，(0.01 0.070.06)5 10070 人，故 B 项错误；对于 C 项，因
14、为0.01 50.07 50.06 50.7 ，0.01 50.07 50.06 50.04 50.9 ，0.70.780.9，所以第 78 百分位数位于60,65)之间，设第 78 百分位数为 x，则0.01 50.07 50.06 5(60)0.040.78x ，解得：62x，故 C 项正确；对于 D 项，因为0.01 5 47.50.07 5 52.50.06 5 57.50.04 5 62.50.02 5 67.557.25 ，即：估计该校学生体重的平均数约为57.25，故 D 项错误.故选：AC.10.已知函数()sin(2)22f xx的图像关于直线8x 对称，则（）A.函数()y
15、f x的图像关于点,08对称B.函数()yf x在0,有且仅有 2 个极值点C.若122f xf x，则12xx的最小值为4第 7页/共 20页D.若1882ff，则cos21 cos2【答案】ABD【解析】【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，2,Z82kk，即,Z4kk，而22，则4，()sin(2)4f xx，对于 A，因为()sin2()0884f，于是函数()yf x的图像关于点()8,0对称，A 正确；对于 B，当0,x时，92444x，而正弦函数sinyx在 9,44上有且只有两个极值点，所以函数()yf x在0,有且
16、仅有 2 个极值点，B 正确；对于 C，因为maxmin()1,()1f xf x，又122f xf x，因此12,x x中一个为函数()f x的最大值点，另一个为其最小值点，又函数()f x的周期为22，所以12xx的最小值为2，C 错误；对于 D，依题意，1()()sin2 sin2882ff，则cos2cos2(cos2 cos2sin2 sin2)(cos2 cos2sin2 s in2)2sin2 sin21，因此cos21 cos2，D 正确.故选：ABD11.已知函数 220,e(0)xf xxxg xaa，点,P Q分別在函数 yf x的 yg x的图像上，O为坐标原点，则下列
17、命题正确的是（）A.若关于x的方程 0f xg x在0,1上无解，则3ea B.存在,P Q关于直线yx对称C.若存在,P Q关于y轴对称，则02aD.若存在,P Q满足90POQ，则102 2ea【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，求出方程 0f xg x在0,1上有解的 a 范围判断 A；设出点,P Q的坐标，由方程有解判断 B；设出点,P Q的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断 CD 作答.第 8页/共 20页【详解】函数 220,e(0)xf xxxg xaa，对于 A，方程 20(2e)0 xf xg xhxax在0,1上有解，显然函数()h x在0,1上单调递增，则有1
18、(0)20(1)3e0haha，解得23ea，因此关于x的方程 0f xg x在0,1上无解，则02a或3ea，A 错误；对于 B，设点(,e)tQ t a，依题意，点 Q 关于直线yx对称点(e,)tat在函数 22f xx的图象上，即关于 t 的方程222etta有解，即222(e)tat有解，此时2t，令函数222()(e),tttt，23()(2e)0ttt，即函数()t在(2,)上单调递增，()(2)0t，而函数2,e2ttyy在(2,)上都单调递增，它们的取值集合分别为4(0,),(e,)，因此函数()t的值域为(0,)，又20a，于是222(e)tat在(2,)有解，所以存在,P
19、 Q关于直线yx对称，B 正确；对于 C，设点2(,2),0P u uu，则点 P 关于 y 轴对称点2(,2)u u在函数()e(0)xg xaa的图象上，即222ee2uuauua，令2e2(),0uuF uu，2222(1)1()e0euuuuuF u，即函数()F u在0,)上单调递减，max()(0)2F uF，又0,)u，恒有()0F u，因此02a，C 正确；对于 D，令22112(,2),(,e)xP x xQ x a，由90POQ得22121e(2)0 xOP OQx xax ，显然120 x x，且120,0 xx，212212 exxxax，令(),0exxG xx，1(
20、)exxG x，当01x时()0G x，函数()G x单调递增，当1x 时，()0G x，函数()G x单调递减，因此max1()(1)eG xG，即有10()eG x，2210eexx，而1122111022 22 2xxxx，当且仅当22x 时取等号，所以21221e0122 2exxxx，即102 2ea，D 正确.故选：BCD12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，(2,0)M，(2,0)N，动点P 满足|5PMPN，则下列结论正确的是（）第 9页/共 20页A.点P的横坐
21、标的取值范围是5,5B.OP的取值范围是1,3C.PMN面积的最大值为52D.PMPN的取值范围是2 5,5【答案】BC【解析】【分析】设出点 P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断 A；利用几何意义并结合求函数值域判断 B；利用三角形面积公式计算判断 C；取点计算判断 D 作答.【详解】设点(,)P x y，依题意，2222(2)(2)25xyxy，对于 A，2222222225(2)(2)(2)(2)(4)xyxyxxx，当且仅当0y 时取等号，解不等式22(4)25x 得：33x，即点P的横坐标的取值范围是 3,3，A 错误；对于 B，2222(4)4(4)4 25xyxxyx
22、，则222425 16xyx，显然209x，因此222|25 1641,3OPxyx，B 正确；对于 C，PMN的面积115|sin|222SPMPNMPNPMPN，当且仅当90MPN时取等号，当90MPN时，点 P 在以线段 MN 为直径的圆224xy上，由222224425 16xyxyx解得39454xy ，所以PMN面积的最大值为52，C 正确；对于 D，因为点(3,0)在动点 P 的轨迹上，当点 P 为此点时，5 16PMPN，D 错误.故选：BC【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出
23、不在轨迹上而坐标是方程解的点.三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.第 10页/共 20页13.已知向量1,2,3,abxa与ab共线，则abrr_.【答案】2 5.【解析】【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.【详解】由题意知，(4,2)abx又因为/()aab，所以1(2)2 4x，所以6x，所以(3,6)b，所以(2,4)ab，所以22|(2)(4)2 5ab.故答案为：2 5.14.已知nN，将数列21n 与数列21n 的公共项从小到大排列得到新数列 na，则1210111aaa_.【答案】1021【解析】【分
24、析】分析可知21n 是正奇数列，根据题意求得241nan，然后利用裂项相消法可求得1210111aaa的值.【详解】因为数列21n 是正奇数列，对于数列21n，当n为奇数时，设21nkkN，则22121141nkk k 为偶数；当n为偶数时，设2nk kN，则22141nk 为奇数，所以，241nan，则21111114121212 2121nannnnn，因此，12101111111111110112335192122121aaa.故答案为：1021.15.已知函数()f x的定义域为(0,)，其导函数为()fx，若()10 xfx.(e)2f，则关于 x 的不等式1)(exfx的解集为_.
25、【答案】(1,)第 11页/共 20页【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()()ln,0g xf xx x，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答.【详解】令函数()()ln,0g xf xx x，则1()1()()0 xfxg xfxxx，因此函数()g x在(0,)上单调递减，(e)(e)lne1gf，因此1)(e1(e(e(exxxfxgfxg，即eex，解得1x，所以不等式1)(exfx的解集为(1,).故答案为：(1,)16.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点E F分别是棱1,BC CC的中点，P是侧面11ADD A上的动点.且1PC/平面AEF，则点P的轨迹长
26、为_.点P到直线AF的距离的最小值为_.【答案】.22.23【解析】【分析】根据给定条件，作出平面AEF截正方体所得截面，再确定点P的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答.【详解】在正方体1111ABCDABC D中，连接111,BC FD AD，如图，对角面11ABC D为矩形，因为点E F分别是棱1,BC CC的中点，则11/EFBCAD，而112EFAD，即平面AEF截正方体所得截面为梯形1AEFD，显然过点1C与平面1AEFD平行的平面交平面11BCC B、平面11ADD A分别于1,BC MN，因此11/MNBCAD，连1MC，平面1BMNC、
27、平面1AEFD与平面11ACC A分别交于1MC，AF，因此1/MCAF，而1/AMFC，即四边形1AMC F为平行四边形，于是112AMFC，第 12页/共 20页即点 M 为1AA的中点，同理N为11AD中点，22MN，因为动点P始终满足1PC/平面AEF，于是1PC 平面1BMNC，又P在侧面11ADD A上，所以点P的轨迹是线段MN，轨迹长为22；以点 D 为原点建立空间直角坐标系，则111(1,0,),(,0,1),(1,0,0),(0,1,)222MNAF，则1111(,0,),(0,0,),(1,1,)2222MNAMAF ，令11(,0,)22MPtMNtt ，则有11(,0,
28、)22tAPAMMPt ，1 31 3114,3426|2tt AP AFAP AFtAF ，于是点P到直线AF的距离22222211111122|()(1)()44264393|AP AFdAPtttttAF ，当且仅当0t时取等号，所以点P到直线AF的距离的最小值为23.故答案为：22；23【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.四解答题：本题共四解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明
29、分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知数列 na的前n项和为nS，且221nnnSa（1）求1a，并证明数列2nna是等差数列：（2）若222kkaS，求正整数k的所有取值.【答案】（1）11a，证明见解析（2）1,2,3【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnS naSSn证明1122nnnnaa为定值即可；（2）先根据（1）求出na，再利用错位相减法求出nS，从而可得222,kkaS，再根据函数的单调性即可得解.第 13页/共 20页【小问 1 详解】由221nnnSa，得221nnnSa，当1n 时，11122 1Saa，所以11a，当2n时，111
30、221nnnSa，两式相减得1122nnnnaaa，即112nnnaa，所以111222nnnnaa，所以数列2nna是以1122a为首项，12为公差的等差数列；【小问 2 详解】由（1）得22nnan，所以12nnan，2112 23 22nnSn ，23222 23 22nnSn ，两式相减得2311 212222221211 2nnnnnnSnnn ，所以1 21nnSn，则22221221 21,22kkkkSkka，由222kkaS，得2212221 21kkkk，即22114202kkk，令 2211422xfxxx，因为函数221142,2xyxxy 在2,上都是增函数，所以函数
31、 2211422xfxxx在2,上是增函数，由 1311711420,248202288ff ，5577111139 12210,416 162202222ff ，第 14页/共 20页则当4x 时，0f x，所以若222kkaS，正整数k的所有取值为1,2,3.18.记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知223coscos222CAacb.（1）证明：sinsin2sinACB；（2）若2b，3AB ACuuu r uuu r，求ABC的面积.【答案】（1）证明见解析（2）3 54ABCS【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立；（2）利用平面向量数
32、量积的定义可得出cos3bcA，结合余弦定理以及24acb可求得a、c的值，由此可求得ABC的面积.【小问 1 详解】因为223coscos222CAacb，则1 cos1 cos322aCcAb，即coscos3acaCcAb，由正弦定理可得3sinsinsinsincoscossinsinsinsinBACACACACACsinsinsin sinsinsinACBACB，因此，sinsin2sinACB.【小问 2 详解】因为sinsin2sinACB，由正弦定理可得24acb，由平面向量数量积的定义可得cos3AB ACcbA ，所以，2222242322bcacacbc，可得222c
33、a，即42cacaca，所以，12ca，则94c，74a，所以，332cos9324Abc，则A为锐角，且2225sin1 cos133AA，因此，111953 5sin2222434ABCSbcA.19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，第 15页/共 20页,224,2 3BCAD CDAD ADCDBCPB（1）求证：ADPB；（2）求平面 PAB 与平面 ABCD 交角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）105.【解析】【分析】（1）取AD中点E，连接,BE PE，可证明BEAD，PEAD，进而可证AD 平面PEB，则结论成立；（2）过
34、P做PO平面ABCD，过O做OHAB于H，则PHO为平面 PAB 与平面ABCD所成角，根据题中所给条件计算PO，OH的长，求出正切值，进而求出正弦值.【小问 1 详解】取AD中点E，连接,BE PE，因为/BC AD，且12BCADED，所以四边形EBCD为平行四边形，即/CBED，因为CDAD，所以BEAD；因为PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，所以PEAD；PEBEE，所以AD 平面PEB，PB 平面PEB，所以AD PB.【小问 2 详解】过P做PO平面ABCD，过O做OHAB于H，则PHO为平面 PAB 与平面ABCD所成角，由（1）可知：AD 平面PEB，AD 平面ABC
35、D，所以平面PEB 平面ABCD，平面PEB平面ABCDBE，则O直线BE，由题意可知2PE，2BE，又2 3PB，所以120PEB，在直角三角形PEO中，60PEO，所以3PO，1OE，过E做EFAB于F，则/OH EF，在AEB中，BEAE，2BEAE，则2 2AB，122EFAB，第 16页/共 20页所以23EFBEOHBO，所以3 22OH，36tan33 22PHO，则10sin5PHO.20.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第 1 次答题，答对得 20
36、分，答错得 10 分：从第 2 次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得 10 分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.（1）求甲前 3 次答题得分之和为 40 分的概率；（2）记甲第 i 次答题所得分数)N(iX i的数学期望为 iE x.写出1iE X与 iE x满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：若 100iE x，求 i 的最小值.【答案】（1）964；（2）12(35)2iiE xE x，N,2ii，且135()2E X；5.【解析】【分析】（1）甲甲前 3 次答题得分之和为 40 分的事件是甲前 3 次答题中恰答对一次的事件，再利用相互
37、独立事件概率的乘法公式计算作答.（2）求出1()E x，再分析、写出1)(iE x与()iE x满足的等量关系式作答；利用构造法求出()iE x的通项，列出不等式并结合单调性作答.公众号：高中试卷君【小问 1 详解】甲前 3 次答题得分之和为 40 分的事件A是：甲前 3 次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前 3 次答题得分之和为 40 分的概率123339()C(1)4464P A.【小问 2 详解】甲第 1 次答题得 20 分、10 分的概率分别为3 1,4 4，则13135()2010442E X，第 17页/共 20页甲第 2 次答题得 40 分、20 分、10 分的概率分别为33 1
38、3 1,44 44 4，则233131115402010444444E X，显然21313135()2(2010)10()444422E XE X，N,2ii，甲第1i 次答题所得分数1iX的数学期望为1)(iE x，因此第i次答对题所得分数为12)(iE x，答错题所得分数为 10 分，其概率分别为3 1,4 4，于是甲第 i 次答题所得分数iX的数学期望为113135)10)4422(2(iiiE xE xE x，所以1)(iE x与()iE x满足的等量关系式是：12(35)2iiE xE x，N,2ii，且135()2E X；由知，135()2E X，当N,2ii时，13)5)5(2(
39、iiE xE x，而145()52E X，因此数列()5iE x 以452为首项，32为公比的等比数列，14533)5()15()222(iiiE x，于是3)15()5(2iiE x，由315()51002i得：3()72i，显然数列3()2i是递增数列，而453813243()7,()7216232，则有正整数min5i，所以 i 的最小值是 5.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，以 C 的短轴为直径的圆与直线6yax相切.（1）求 C 的方程；（2）直线l：(1)(0)yk xk与 C 相交于 A，B 两点，过 C 上的点 P 作 x 轴的平行线交线段 AB
40、于点 Q，直线 OP 的斜率为k（O 为坐标原点），APQ 的面积为1S.BPQV的面积为2S，若21|AP SBP S，判断k k是否为定值？并说明理由.【答案】（1）22184xy；（2）是定值，12.【解析】【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于,a b的方程组，解方程组作答.（2）由给定的面积关系可得直线 PQ 平分APB，进而可得直线,AP BP的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.第 18页/共 20页【小问 1 详解】由椭圆C的离心率为22得：22212aba，即有222ab，由以 C 的短轴为直径的圆与直线6yax相切得
41、：261ba，联立解得228,4ab，所以 C 的方程是22184xy.【小问 2 详解】k k为定值，且12k k，因为21|AP SBP S，则121|sin|sin21|sin|sin2AP PQAPQSAPAPAPQBPSBPBPQBP PQBPQ，因此sinsinAPQBPQ，而(0,)APQBPQABP，有APQBPQ，于是PQ平分APB，直线,AP BP的斜率,APBPkk互为相反数，即0APBPkk，设112200(,),(,),(,)A x yB xyP xy，由22184(1)xyyk x得，2222(21)4280kxk xk，即有212221224212821kxxkk
42、xxk，而102010200APBPyyyykkxxxx，则02102010(0)()()yyxxyyxx，即10202010)(1)()(1)(k xyxxk xyxx120012002)(2)0()(kx xykxkxxxyk于是220000222842()2()02121kkkykxkxykkk22200002(28)4()2()(21)0kkkykxkxykk，化简得：20000021)(8)0(yxkxkx y，且又因为00(,)P xy在椭圆上，即2200184xy，即220028xy，22000028yxxx，从而222000000021)(20()y xkyxx kx y，00
43、00(21)0)(y kxxky，又因为00(,)P xy不在直线:(1)l yk x上，则有0020y kx，即0012ykk kx，第 19页/共 20页所以k k为定值，且12k k.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22.已知0a，函数 1e1xf xax.（1）若1a，证明：当0 x 时，ln1f xx：（2）若函数 ln1h xxf x存在极小值点0 x，证明：00f x【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）把1a 代入，构造函数
44、()ln(1)(1)(e1),0 xg xxxx，借助导数确定单调性推理作答.（2）由给定条件确定 a的取值范围，再分段讨论函数()h x的极小值点及极小值推理判断作答.【小问 1 详解】若1a，则()(1)(e1)xf xx，设()ln(1)(1)(e1),0 xg xxxx，1(1)e1()(e1)(1)e11xxxx xg xxxx，设()(1)e1,0 xxxx，()(2)e0 xxx，则()x在(0,)上单调递增，()(0)0 x，即()0g x，于是()g x在(0,)上单调递增，()(0)0g xg，即()ln(1)f xx，所以当0 x 时，()ln(1)f xx.【小问 2
45、详解】函数()ln(1)(1)(e1),0 xh xxaxa，其定义域为(1,),(0)0h，1(1)(1)e(1)(1)(1)e1()(1)e111xxxxaxaaxaaxaxh xaxaaxxx，由（1）知()(1)e1xxx在(1,)上单调递增，(0)0，当(1,0)x 时，()0 x，当,()0 x时，()0 x，则由()0h x，解得0 x 或11xa，其中111a 且110a，即0a 且1a，否则恒有()0h x，则()h x在(1,)上单调递增，函数()h x无极值点，不符合题意，若1110 a，即1a，当1(1,1)(0,)xa 时，()0h x，第 20页/共 20页当1(1
46、,0)xa时，()0h x，则()h x在1(1,1),(0,)a上单调递增，在1(1,0)a上单调递减，因此0 x 是()h x的极小值点，(0)0f，若110a，即01a，当1(1,0)(1,)xa 时，()0h x，当1(0,1)xa时，()0h x，则()h x在1(1,0),(1,)a上单调递增，在1(0,1)a单调递减，因此11xa是()h x的极小值点，111(1)(e1)afaa，又101,10aa，于是1(1)0fa，综上所述，函数()ln(1)()h xxf x存在极小值点00,0 xf x.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.