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1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分
2、方程来处理，使问题简单化。一、有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令代入方程：令代入边界条件1、求两端固定的弦自由振动的规律数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）令 ，为非零实数 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离
3、变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数
4、学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例3 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值
5、问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为这些特故原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例4 求下列定解问题令代入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2
6、章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法二 有限长杆上的热传导令带入
7、方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法由例由例4知，以上特征值问题的知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为满足方程满足方程于是得到一系列分离变量形式于是得到一系列分离变量形式的特解的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一
8、系列分离于是得到一系列分离变量形式的特解变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例6 求下列定解问题解：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2
9、 2章分离变量法章分离变量法若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为若数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量流程图数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为数学物理方程与
10、特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例7 求下列定解问题解：由例由例6中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为数学物理方
11、程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例8 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为数学物
12、理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 圆域内的拉普拉斯问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例9 求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊
13、函数第第2 2章分离变量法章分离变量法(欧拉方程)令周期特征值问题故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例10 求下列定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题数学
14、物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法其他为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例11 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为题的特征值和特征函数分别为（自然边界条件）数学物理方程与特殊函数数学物
15、理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法（由自然边界条件）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例11 求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为题的特征值和特征函数分别为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，
16、设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例12 求下列热传导方程的定解问题解法一：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解法二：令由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为题的特征值和特征函数分别为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理
17、，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法常用特征值问题周期特征值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法四 非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？思考数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法由线性方程的叠加原理，令：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令：为什么？非齐次方程的特征非齐次方程的特征函数展开法函数展开法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第
18、第2 2章分离变量法章分离变量法用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例13 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题其特征值和特征函数为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例14 求下列定解问题解：令其特征值和特征函数为其特征值和特征函数为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数
19、学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例15 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特征值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法非齐次方程的特征非齐次方程的特征函数展开法函数展开法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例16 求定解问题周
20、期特征值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法非齐次方程的特征非齐次方程的特征函数展开法函数展开法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法五 非齐次边界条件的处理解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令取取其中辅助函数满足其中辅助函数满足数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法常见非齐次
21、边界条件齐次化所使用辅助函数非 齐 次 边 界 条 件 齐次化所使用辅助函数以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例17 求下列定解问题解：令可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若若f(x,t)和非齐次边界条和非齐次边界条件都与件都与t无关，则此时无关，则此时W仅是仅是x的函数的函数W(x)此方法在使得非齐次边界此方法在使得非齐次边
22、界条件齐次化的同时将导致条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？到两者同时齐次化？若能从中求出若能从中求出W(x,t)，就，就可以实现两者同时齐次化。可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出但一般很难求出!数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例18 求下列定解问题解：令请与例请与例17比较，研究其优缺点。比较，研究其优缺点。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例19 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变量法求解以上问题。数学物理方程与特殊函数数学物
23、理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例20 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。可以用分离变量法求解以上问题。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例21 求定解问题解：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方程，齐次定解条件特征函数展开法应用分离变量法求解定解问题的步骤数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法六 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论1.存在无穷多个实的特征值，适当调换这些特征值的顺序，可使他们构成一个非递减序列。2.所有特征值均不为负。3.任意两个不同的特征值，对应的两个特征函数在定义域上以权函数互相正交。4.特征函数系具有完备正交性，故满足一定条件的函数可以按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数。