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1、第三模块函数的微分学第三模块函数的微分学第三模块函数的微分学第三模块函数的微分学第一节导数的概念第一节导数的概念第一节导数的概念第一节导数的概念一、瞬时速度一、瞬时速度一、瞬时速度一、瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率二、导数的定义二、导数的定义二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义三、导数的几何意义三、导数的几何意义五、导函数五、导函数五、导函数五、导函数六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系四、导数的物理意义四、导数的物理意义四、导数的物理意义四、导数的物理意义1 1.变速直线运动的瞬时速度
2、变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度如果物体作直线运动，如果物体作直线运动，在直线上选取坐标系，在直线上选取坐标系，该该物物体体所所处处的的位位置置坐坐标标 s 是是时时间间 t 的的函函数数，记记为为 s=s(t)，则则从从时时刻刻 t0 到到 t0+t 的的时时间间间间隔隔内内它它的的平均速度为平均速度为一、瞬时速度一、瞬时速度一、瞬时速度一、瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率在匀速运动中，在匀速运动中，这个比值是常量，这个比值是常量，但在变速运动但在变速运动中，它不仅与中，它不仅与 t0 有关，有关，而且与而且与 t 也有关，
3、也有关，很小时，很小时，与与在在 t0 时时刻刻的的速速度度相相近近似似.如果当如果当 t 趋于趋于 0 时，时，平均速度平均速度 的极限存在，的极限存在，则将这个极限值记作则将这个极限值记作 v (t0)，叫叫做做物物体体在在 t0 时时刻刻的瞬时速度，简称速度，的瞬时速度，简称速度，即即当当 t2 2.曲线切线的斜率曲线切线的斜率曲线切线的斜率曲线切线的斜率定义定义设点设点 P0 是是曲线曲线 L 上的一个定点上的一个定点，点点 P 是是曲线曲线 L 上的动点上的动点，T P P0 0P Px0 0 x0 0+xyOx N 当点当点 P 沿沿曲线曲线 L 趋向于点趋向于点 P0 时时，如果
4、割线如果割线 PP0 的极限位置的极限位置 P0 T 存在存在，则则称直线称直线 P0 T 为曲线为曲线 L 在点在点 P0 处的处的切线切线.设曲线方程为设曲线方程为 y=f(x).在在点点 P0(x0,y0)处处的的附附近近取取一一点点 P(x0+x,y0+y).那那么么割割线线 P0 P 的的斜斜率率为为L x yy=f(x)如如果果当当点点 P 沿沿曲曲线线趋趋向向于于点点 P0 时时，割割线线 P0P 的极限位置存在，的极限位置存在，即即点点 P0 处处的的切切线线存存在在，此刻此刻 x 0，割割线线斜斜率率 tan 趋趋向向切切线线 P0 T 的斜率的斜率 tan ，即即T P P
5、0 0P Px0 0 x0 0+xyOx N L x yy=f(x)切线定义切线定义 定定义义设设函函数数 y=f(x)在在点点 x0 的的一一个个邻邻域域内有定义内有定义.在在 x0 处处给给 x 以以增增量量 x(x0+x 仍仍在在上上述邻域内述邻域内)，函数函数 y 相应地有增量相应地有增量 y=f(x0 +x)-f(x0)，二、导数的定义二、导数的定义二、导数的定义二、导数的定义 则称此极限值为则称此极限值为函数函数y=f(x)在在点点 x0 处的处的导数导数.即即此此时时也也称称函函数数 f(x)在在点点 x0 处处可可导导.如如果果上上述述极极限限不存在不存在，则称则称 f(x)在
6、在 x0 处不可导处不可导.例例 1 求函数求函数 f(x)=x2 在在 x0=1 处的处的导数，即导数，即 f (1).解解 第一步求第一步求 y：y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2-12=2 x+(x)2.第三步求极限：第三步求极限：所以，所以，f (1)=2.第二步求第二步求 ：函函数数 y=f(x)在在点点 x0 处处的的导导数数的的几几何何意意义义就就是是曲曲线线 y=f(x)在在点点(x0，f(x0)处处的的切切线线的的斜率斜率,即即tan =f (x0 0).yOxy=f(x)x0 0P三、导数的几何意义三、导数的几何意义三、导数的几何意义三、导数的几何意义法线方程为法线方
7、程为其中其中 y0=f(x0).y -y0=f (x0)(x x0).由此可知曲线由此可知曲线 y=f(x)上上点点 P0 处的切线方程为处的切线方程为例例 2求求曲曲线线 y=x2 在在点点(1,1)处处的的切切线线和和法线方程法线方程.解解从从例例 1 知知(x2)|x=1=2,即即点点(1,1)处处的的切线斜率为切线斜率为 2，所以所以,切线方程为切线方程为y 1=2(x-1).即即y=2 x-1.法线方程为法线方程为即即四、导数的物理意义四、导数的物理意义四、导数的物理意义四、导数的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义.例如变速直线运动路程例如变
8、速直线运动路程 s=s(t)的导数，就是的导数，就是速度，即速度，即 s(t0)=v(t0).我我们们也也常常说说路路程程函函数数 s(t)对时间的导数就是速度对时间的导数就是速度.例例 3求函数求函数 y=x2 在任意点在任意点 x0 (,)处的导数处的导数.解解 y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x02=2x0 0 x+(x)2.五、导函数五、导函数五、导函数五、导函数第二步求第二步求 ：求法与例求法与例 1 一样一样.第一步求第一步求 y：第三步取极限：第三步取极限：即即有了上式，求具体某一点，如有了上式，求具体某一点，如 x0=1 处处导数，导数，就很容易了，只要将就很容
9、易了，只要将 x0=1 代入即得代入即得例例 3 表表明明，给给定定了了 x0 就就对对应应有有函函数数 f(x)=x2的导数值的导数值,这样就形成了一个新的函数，这样就形成了一个新的函数，f(x)=x2 的导函数，它的表达式就是的导函数，它的表达式就是(x2)=2x.一般地，一般地，函数函数 f(x)的导函数记作的导函数记作 f (x)，它的它的计算公式是：计算公式是：叫做函数叫做函数类似例类似例 3，我们可以得，我们可以得 xn(n为整数为整数)的导函数，的导函数，当当 n 为任意实数为任意实数 时，上式仍成立，即时，上式仍成立，即(xn)=nxn-1.(x )=x -1.例例 4求求 f
10、(x)=sin x 的导的导函数函数(x (，).解解即即(sin x)=cos x.(cos x)=sin x.类似可得类似可得例例 5求求 f(x)=ln x(x (0,)的导的导函数函数.解解即即类似可得类似可得解解例例 6求求 f(x)=ex(x (-,)的导的导函函数数.即即(ex)=ex.类似可得类似可得(ax)=ax lna.例例 7问问曲曲线线 y=ln x 上上何何处处的的切切线线平平行行直直线线 y=x+1？解解 设点设点 (x0,y0)处的切线平行直线处的切线平行直线 y=x+1，根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知即即
11、 x0=1，代，代入入 y=lnx 中中，得，得 y0=0，所以曲线在所以曲线在点点(1,0)处的切线平行直线处的切线平行直线 y=x+1.定义定义 存存在在，则则称称此极限值为此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的处的左导数左导数，记作记作 f (x0)；则称此极限值为则称此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的处的右导数右导数，记作记作 f +(x0).显显然然，f(x)在在 x0 处处可可导导的的充充要要条条件件是是 f -(x0)及及 f +(x0)存在且相等存在且相等.定定义义如如果果函函数数 f(x)在在区区间间 I 上上每每一一点点可可导导，则称则称 f(x)在区间在区间 I
12、上可导上可导.如果如果同样同样，如果如果 I 是闭区间是闭区间 a,b，则端点处可导是指则端点处可导是指 f +(a)、f -(b)存在存在.定理定理如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x0 处可导处可导,则则 f(x)在点在点 x0 处连续处连续，其逆不真其逆不真.证证其中其中 y=f(x0+x)-f(x0)，所以所以六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系即函数即函数 f(x)在点在点 x0 处连续处连续.但但其其逆逆不不真真，即即函函数数 f(x)在在点点 x0 处处连连续续，而函数而函数 f(x)在点在点 x0 处不一定可导处不一定可导.例例
13、 8 讨论函数讨论函数 y=|x|在点在点 x0=0 处的处的连续连续性与可导性性与可导性.解解 y=f(0+x)-f(0)=|0+x|-|0|=|x|，即即 f(x)=|x|在在 x0=0 处处连续，连续，存在，存在，在在 x0=0 处处左左、右右导导数数不不相相等等，所所以以在在 x=0 处处函函数数 y=|x|不可导不可导.因为因为在在 x=1 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解先求在先求在 x=1 时的时的 y.当当 x 0 时，时，y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)3-2=6 x+6(x)2+2(x)3，=6+6 x+2(x)2.从而知从而知因此因此所以函数在所以函数在
14、 x=1 处连续，但不可导处连续，但不可导.容易算出容易算出又又 称为称为函数函数 z 对对 x 的的偏增量偏增量，七、偏导数的概念七、偏导数的概念七、偏导数的概念七、偏导数的概念偏导数的定义偏导数的定义定义定义则增量则增量记为记为 xz，如果当如果当 时时，比值比值 的极限存在的极限存在，即即则称此极限值则称此极限值 为函数为函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处对对 x 的偏导数的偏导数，记作记作即即 同样，同样，z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处对 y 的偏的偏导数定义为导数定义为记作记作或或其中其中 称为称为函数函数 z 对对 y 的偏增量的偏增量.如果如果 f(x,y)在区域在区域 D 内每一点内每一点(x,y)处对处对 x 的偏导数都存在，的偏导数都存在，那么这个偏导数是那么这个偏导数是 x,y 的函数，的函数，此函此函数称为函数数称为函数 z=f(x,y)对自变量对自变量 x 的偏导函数，的偏导函数，记作记作 可以定义函数可以定义函数 z=f(x,y)对自变量对自变量 y 的偏导的偏导 函数，函数，类似地，类似地，记作记作在不致混淆的情况下，在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数偏导函数也称偏导数.