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1、下册目录第五讲：多元微分与二重积分2单元一：概念2单元二：偏导与全微分计算3单元三：隐函数求导（方程或方程组）5单元四：二元极值7单元五：交换二次积分次序9单元六：二重积分计算10单元七：二重积分应用14第六讲：无穷级数15：15单元二：数项级数审敛16单元三：幕级数18单元四：傅里叶级数22第七讲：向量代数,解析几何与偏导应用24单元一：向量代数24单元二：解析几何25单元三：偏导数的几何应用26单元四：方向导数与梯度28第八讲：三重积分与线面积分29单元一：三重积分计算29单元二：三重积分应用31单元三：第一类线面积分计算33单元四：第一类线面积分应用36单元五：第二类曲线积分与Grenn
2、公式38单元六：积分与路径无关性41单元七：第二类曲面积分与Gauss公式43单元八：第二类线面积分应用46单兀九：环流量与 Stokes公式47第五讲：多元微分与二重积分单元一：概念1.函数z =&2+ y在(0,0)点AA :连续不可导；B :可导不连续；C：可导连续不可微；全微分存在2.2,丁+ y2Ho2 .函数 z =1x-+ y-在(0,0)点80 x2+ y2=0A :连续不可导；B :可导不连续；C：可导连续不可微；全微分存在3 .函数(l)z = Jji；(2)z = y/x3+ y3在(0,0)点CA :连续不可导；B :可导不连续；C：可导连续不可微；全微分存在4 . f
3、=(x2+ y2)F(x,y),其中尸在含点(0,0)的邻域内有界，则/在点(0,0)处：。A :连续不可导； C：可导连续不可微；5 .设 g(x,y)连续= |x(x +y )sinr-6 .证明：Z = ,厂01(1)=(o,o)力(o,o)f 2 . 1,八、 x sin (2)z(x,0) = x1 oB：可导不连续； 。：全微分存在-y2x=02. u = xnf(,),/(u,v)的一阶偏导存在，证明：x + y +z = nu. x yox oy ozux=nxnf-xnlyfl，u =xnf-f2, uz=f2 y y3. z=2、，/(“)可导，且/3)h0,证明：-+-=
4、4. f(x -y )xdx y dy y=_2xyC z J+2月，i/2，4y /2 J4. 证明：方程y + x=0有形如：“的解.其中/为任一可微函数.ox oy=2灯My -2*,力5. z = e = rcosff du ., =wv (-rsin ) + uv(r cos 0) = -yux=0y = rsin。 60- f(x-2y),且当 y =0时，z = x)求：.dxlfM = ex-x2, q =-ex-fx-2y)=-e7+ e-2v)+2(x-2y)6.7.8787dx = cos 0dr -rsin OdO dy = sin Odr + r cos OdOz =
5、 xf(x-y,xy),x = rcosff.y = rsin,/(/)的一阶偏导存在,求:一, dr d0dz = f -dx + xf(dx- Jy)4- f2(y2dx 4-2xydy),设= u(x,y)满足)，包=x电，证明：在极坐标下只与极径有关. ox oy8.设J =变换方程:du du du 八 4- - + = 0. dx dy dzdu = u.d &4- u d /j +14 Pd p = u.dx +(dy dx)+14 P(dz dx)/、, Su du du(u e u it)dx + u dy + u dz 11-()p dx dy dz 49. 证明：-x=0
6、,作变换：u = x,v = x2+ y2,贝 U：=0 dx dydudz = zudu + zvdv = zudx + zv(2xdx +2ydy)=(zM 4-2xzv)dx +2yzMy =010. /()可导,z=，求:.Jx-ydxdylzx = yf(xy)-f(x-y= f(xy)+xyfxy)+fx-y)11. 7,g具有二阶连续偏导数，求：,其中：oxdy(l)z = f(2x-y)+ g(x,xy)=-2f+xgi2+ g2+xyg22(2)z =-f(xy)+ y(p(x + y)x=yf+(p+ y(p(3)z =/(xy,-)+ g(-) y x略(4)z = f
7、(ax- Py.x-fiy)=。(万力；一九)+“夕月一人；)】d2z12. z =/(x + sin(2x + y),y),求：y略dy单元三：隐函数求导（方程或方程组）L设y + z = l点求名生z ox dy0 &(2)*+*-二=/,求：丝3X (2.1.0)dy-rdz = - -, Jz = - ( Jx-Jy)x z 1 + z xdz = e2(dx + 2dy1 =e2& (2,1,0)e? a?2 .尸（工一乙丁一）=0确定2=恭居丁）,其中尸。“），求S +3. ox dy厂/ I x /、八d%+居dy dz dz ”耳(dx dz)+ F?(dy dz)0, dz
8、；二、=1-16+工 dx dy3 . x-z =/（y bz）,其中/可微，。一炉工0,证明：%+k=1.dx - adz = f，(dybdz), dz =dx- f dy)4.设Z = Z（x,y）由方程尸*+三,+工）=0确定,产偏导存在,求工包+丁包y xox dy，717ICj7 Cj7耳(dx-dy+dz)+6(-*dx + dy +dz)=0=x + y= z-xyy yxxdx dy5.求:d2zdxdy(l)x-eyz =0.,z +1(2) In= y + zxI6. z = (土尸，求:dz|.yInx11Z =W=, z =7yxyy xy. , Z +1 z 1 ,
9、、Z +1az =(dx + dy)= Zq. =j-z xxzr 11 i/11、 dx dy . yz In z = In x - In y = (1 + In z)dz =, dzx y,=dx-dy7. u =xy2z 且z = z(x,y)由f + V + z? =3(z0)确定，求：,X (x,y)=(l,l)z = l, Jw =-2dx-dy2xdx + 2 ydx + 2zdz = 0= dx + dy+ dz = 08. (l)z = w2 +v2,x = w + v,y = wv,求：Zx.zydz = 2udu + 2vdv, dx = du + dv. dy = vd
10、u + udv = dz = 2xdx - 2dy(2) z = xsin x- y2,cos y = y sin z,求： dydz = (sin x + x cos x)dx - 2ydy, sin ydy = sin zdy + y cos zdzdx2y2 cos z - sin y - sin z= =-；:dy y cos z(sin x + x cos x)x+y = + vdu du.，求：，xsin v = ysin wdx dy_ _(xcos v + sin v)dx + (xcos v sin u)dy .du =-Jxcosv + ycosw10.设 a(x, y)=
11、yII. u = /(x,y,z),/ gC(,),且x +y-+ z-=6,与，当 x = l 时，y =_l,z =_23x2+ y2-z2=0若。(1,一1,-2)=1,/,-1,-2)=1,人(1,一1,-2)=2,求在工=1处的全导数xdx + ydy + zdz = 03xdx + ydy - zdz = 0dy= 2dx .0 , _ _ .，du = fxdx + fydy + f.dz = 2dx, ZtClZ = CiJidu dx=2x=单元四：二元极值1 .求函数/。,丫)=4。一)-2一/2的极值点f f =4-2x =0, c八=(2,-2);4=-2,8=0,0=
12、-2,4=7=(2,-2)极大值点4=-4-2y =02 .求/(%,了)=(6%-/)(4/72)的极植./=(6-2x)(4y - y2)，/2、；:、n(3,2),(0,0),(6,0),(0,4),(6,4) n 3,2)=36为极大值fy=(6x-x-)(4-2y)3 . z = z(x,y)由 V +V + z?-2x-2y -4z-10=0确定,求极值dz =(0Df+二1)虫=(1,1,-2),(1,1,6)n-=(1,1,-2)极小；(1,1,6)极大2-z4 . z =(l + e)cosx-ye-v有无穷个极大值而无极小值zr =-(l + e)sinx =0/、，、八口
13、M(2万，0),加,(2+1)肛-2)zy = e (cos x 1 y)=0=A =-(l + e)cosx,峪=一2(极大)；“，=/2(1+ e)(非极值)5 .在2/+ V + z2=1上，求距平面2x + y z =6的最近点与最远点和最近最远距离.r ,2(2x+y-z-6) o 22,21.,(2x + y-z-6)-2,2,2 nd =,2x + y + z =1= L =fx(2x + y +z -1)x = y =-z ,1114,1118=僻+户22=1%勺55)=忑皿(一子一53)=忑6 .求/=片+满足+ Z =。的条件极值L = a/；+ anx+2(Xj +方2+
14、 X”-c)= axxx = a2x2= anxn7 .经过点(1,1,2)的平面与三个坐标面在第一卦限内可围成四面体，求体积最小值rxyZ.1Z1,1121,10/1127TF -H=1=V=_ abc,I1=1= L = abc +2(I 11)abc6abc6abc-=7=-=7,a = b =3,c =6,嗑如(3,3,6)=9a b c 328 .求：z = 2x + y在。：r+ 41上的最值. 4(1)7=22-，无驻点；(2)尸= 2x+y + /t(x2+2一一1)zv =142 + 2xA 01 + 2 = 02历,y = 2x=(,72),2 =272, Zmin =-2
15、729 .求/ = f+12孙+ 2;/在区域4/ + / 425上的最值/ =2x + 12y = 0,，； s / n = (0,0),/(0,0) = 0 ;(2) L = x2+I2xy + 2y2 + A(4x2 + y2 -25)/ =12x + 4y = 0331=(2,+3). (-,4) = /min(2,+3) = -50,/m(-,4) = 106-10 .抛物面z = f + V被平面y + z = 1截成椭圆，求原点到该椭圆的最长，最短距离_1 +L = x2 + y2 +z2 +4(/ + y - z) + (x + y+ z-1) =x = y = -；-z =
16、2 +V3=min皿=也+ 5百11 .设A0,AC 820,求在条件：f + y2=i下，函数 大值与极小值之和= Ax2 + 2Bxy + Cy2 的极解(1)正定，之和=4+4=A+ C ; (A解(2)/= / + /le n=0,Axj + 2 Bxq + Cy： +4 = 012.求椭圆：Ax2+2Bxy + Cy2=1(C 0,AC-B20)的面积.法(1)5 =%7144 Nac-b4, 4a)2x+4(2Ax + 2By) = 02y + A(2Bx + 2Cy) = 0dAC - B2法(2) L = x+ y?+ A(Ax+2,Bxy + Cy1),*l+AA ABAB
17、1+2C单元五：交换二次积分次序.1.设函数/(x,y)连续，交换积分次序:;inxf(x,y)dy2(2)/=1dxM+xA()f(x,y)dy+dxfx,y)dy. f(x, y)dx J) M-arcsin vX f(x,y)dy(4)f(x,y)dx +-f(x,y)dx f(x,y)dy(5) dxfx,y)dy.(3)/= f dy&/(x,y)dx+ dy jf(x, y)dx44d . sin y f甸-dyJx y2.计算:/= j, dy ； dx = f (1- y)sin ydy =l-sinl y y ey dy3- v2 j11y e dy=-(4) dx63e/=
18、 sin却与7ty ,4 z.、ycos-ay =(2+)27Tyexdx.Inx .dx/二In xdx =2 In 2-1x 31 -e )ax = e y/e 82/= j dxj, e sin xdx = sin 1 cos 1rM fiTTY-sin + fitr r_ sin -dy x2ydy =x(e 3 .证明： f xdx - (b-a)2= ； JJ TTt + TTT- JJ dxdy=(b-a)2L L /(y)2laj)ta,b f(y) /U)a,bMa,b4 . f公，f(x)/(y)dy =gf/(x)dxF.左式=dy f(x)f(y)dx =/(y)/(x
19、)dy =g f f /(尤)/()dxdy =右式5 .证明：f f(x)dx2 (b-a).f2(x)dxJuJu左式=f f/a)/(y)dxd： JJ 2(x)+ /2(y)dxdy=右式L aJbAa另解：0ajxaj单元六：二重积分计算1 .利用对称性计算：(1) Jj (x + y)5db/+y2 Ml(2)in，dxdy,D :x= y2,x = 1 + /1-y2 d x7= JJ tc&Jydy = O /+ / 4 k=0y”奇函数=/=0 JJ (x+y)2da.用 y|:以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形./V2 ye(2)计算ey2da, O为丁=与
20、丫=/所围成的有界闭区域. D(3) ,d(T (a0)t其中。由圆心在点(a,。)，半径为a,且与坐标轴相切的圆的较 p V2a-x短一段弧和坐标轴所围的区域.=/4后)=厂一尸了“夜4急1*72a-x1* y/2a-x3(4) jj e-dxdyOJMO.1J(5) JjVxJxJy, D =(x,y)|x24-y2x D白；或yjrcosOrdr =白(6) xdxdy.。是以点0(0,0), A(l,2)和8(2,1)为顶点的三角形区域.DI xdx卜 dy + xdx2M *J 3dy=2(7) jj (|x|+|y|Wy 卜|+彻_fi fi-x 4,/=8 j xdx J 力=3
21、. jjcr + y)3dxdy,。由 x + y = l,x + y =2, y =0, y =2围成.DI = dy J-(x + y)3 Jx =- j(16-1)Jx = y4.jjA/xt/y,D 由孙= l,x = y 及 y =2围成.5.计算“sincdy,其中。是以直线y = x,y =2和曲线y =也为边界的曲边三角形.I = J dy sin-dx = f (ycosl-ycosy:，3 cos 6W6 = 8，cos6 ddd =争)t/y =cosl-sin4+sinl6.W+ylex+ydxdy.-X7.“分块”积分，(x,y) = xy2, ,计算 / = y)d
22、a,。由/一旷2=1产=04=2所围. y i d/ = 2 * ydyYdx = gy(1 + y2)1 dy = A(2575 -4扬(2)/(x,y) =lx2,0 y x rr. 99其它 ，求7(苍)山0九其中 = (%丁)旨+ ,222D 为无界域,/ = f x2dxydy =，(x4 -x3)dx = (3)Jf Jy-x2dxdy的，。工”2/ =L： yly-x2dy = g(f+(2-x2)W =|+(4) JJ |sin(x+ y)|t/xt/y0,尸冈0,4严严-x .“严./= dx sin(x + y)Jy- dx sin(x+y)dy =2%8 .设/()在0,
23、1上连续，。由x+y = l与x轴，y轴所围，证明:JJ7(x + y)df=叶(x)dxD左式=jdxf /(x + y)dy =dx f(u)du =dx =右式9 .极坐标计算U = dO2 JJ (x2+ y)da (x-l)2+y25l【/=另+；)/(x2+y2)dcr = x2+y2l jj(x2+ y2)clT,D: y =，2x-x2, y =,%=0所围.D“2nStt/=rydr =4(1- cos4 O)d0=(4) jj/x2+ y2dxdy ,):2xx2+y24.D. fv .n r22 f? jn f22 j r/41641632/=2(1d8+ dO rdr)
24、=2(-+)=-(5) y.d(r,D:x2+ y21.米+yr 居r(cosO + sin。).居/八.八/=d0 j ；rdr = I2(cos+ sin-l)t/=2J8s+sinr2(6) 十)dxdy,。由 y = x 与 y =/所围/=.现勺/力=: j2H5扪=3(2血-1)(7) xydxdy, D:x2+ y21, y 0.自f2cos r9/= V d0r3 sincosJr =bj16ex +y 1 x2+ v20,y 0,x + y 1. n x+yr r fv，八 r /”,cos。-sin。、.1,cos。-sin。、，1 x2 JZ1/= r dO |cos+s
25、,ncos()rdr =- I2cos()()d0人上cosO + sin。2小 cos0+sincosO + sin。1居/COsO-sin。、，/C0s6-sine、1.,2 cos()d()=sinl 14小 cosO + sin。 cosO + sin。212. /连续，且/(x,y)= jy+jj/(x,y)dcr,):OWxW2,OK y Wl,求 JJ用(7DDa y)da, a = Jj(孙+)dxdy =1+2= q =113. D :x2+ y2 Ky,xN0 J 连续，且/(x,y)= y/l-x2-y2，/(必小,求/(兑) nnJJ/(w, vV/wrfv, a =x
26、=a = F(1-cos，8)d8=f(x,y)= y-x2-y2J单元七：二重积分应用1 .求z?=29被平面x + y = l,x =0,y =0所截得的曲面面积.2 .球面x2+ y2+ z2=/含在柱面/+/2=(0匕/?=/3a x2+y2b2 JQ2-Y _ y223 .求由ZW6-x2-y2,zN也2+y2及2+ y2 wi所确定的立体的体积yjx2 + y2 )dxdy -d(6 - Mr =等n：2x + z + l = 0,V= fj (2x-x2-y2x2+y22x4 .记口为Z = f + y2在点(_1,0,1)处的切平面，立体。由z =(l+x2+ y2)及平面门所
27、围，求。的体积.八 ficosO、.加)dxdy = Rd。(2rcos0-r)rdr =22第六讲：无穷级数单元一：收敛定义00001 .若lim=0,且(%_+“2)收敛，证明：级数也收敛.=i“1S2n - a，S2n+= S2n + u2n+ fa +=4=S2 .设：。一=d (常数)，lima=+8,证明级数：V收敛.1 /1I Un 二(q+m 一勺 氏田+吁1n+ian+2 n in3 . an = j x2(l-x)ndx,证明:收敛，并求和.( +2)( +3). k s =_-(+1)(+2)(+3)2x3+8.+x.1- r1另解：f/(1一外公=dx =n=ln=l1
28、Ofoo4 .a“收敛，又收敛,证明:Z。收敛. n=ln=0S；=-(&+4+!)= nan- S_15 .设抛物线y = F上的点Q0,是这样得到的：0,(1,1),过0作抛物线切线交x轴于鸟,过鸟作y轴平行线交抛物线于。2,再过必作抛物线的切线得巴，这样无限作下去,又耳为(1,0)点，求获.=1x X c x1n4Q(x，y),Xi=X=i,x=-=r，0=券=x=t =t，Z2=、1 ， Z44= J单元二：数项级数审敛1 .若lim匕且收敛，问:“是否收敛？否!反例:“=印，匕=9+2XT8”,l=1=|Jn yin n2 .设：=Ftanxdx,(l)求 W(a+a“+2)的值;证
29、明:任意义，级数收敛.凡+限而=1;。的“贵号，点收敛n h3 .。“0,40,且满足：3W(=1,2,)，证明: an么+00+00+00400若Z勿收敛，则%收敛；若Z。“发散，则W发散.anatbn=1=1n=1n=l4 .设同 W 1(=0,1,2,),|a一_，!；。，|(=2,3,4,)，证明：(1)级数(。“一。,1)绝对收敛；(2)数列6,收敛.n=l5.若级数 f a“发散，则必有:n=la：(-i)-4 发散n=lC:lima =0“TOOD(1)I，|00 Illi6.设 4=(一1严+( = 1,2,),则卜一列级数收敛的是C000084：2(一1尸“；8：Z”“2；C
30、: Z(a.+|+a”)；n=ln=ln=loo：匕,4+1 n=l7 .设a为常数，则级数任詈 n=l CA:绝对收敛;8 :条件收敛;C：发散;。：收敛性与。的取值有关8.考察下列正项级数的敛散性2 (4)n=1(2n-l)!3” 加(。(1 +。)(2 +。)( +。)(5) ，( 0)”=1nla+X Inn(6)y.Sdnn)n= : 0vq1 散，q1 敛9.考察下列交错级数的敛散性00(1)Z(一D tan(J2 +21)”=itan(A/2 +47)=tan(J2 + 4 - )乃=tan /:条件收敛yjn2 +2 +n 2(2)设 a0, (l)n(l sin cos ).
31、l-sin-cos- = - + 0(-)条件收敛n n n nOPfn=l(-1 1_3+(-2) n313+(-2“-条件收敛 n_1-1(4)设为等差数列,d HO, sn=ay+a2+-+ an,问:2口一是否收敛(说明理由，=1a1112s.+(+l)d,=-j-:绝对收敛，na+ n(n + l)d +的敛散性10.考察级数f=f=r t=2V2-12V2+12V3-12V3+11 122yfn -1 1n +1 4/7 1fa发散=原级数发散 ”=2( = 1,2,-),求证：(-1)+， x收敛.”2“ = ln(l + -), Z(U2n_1-u2n 二iR 1)=Z匚一 l
32、n(l +上)收敛必 .0 n Z (T严/收敛 n=l +0012.设1.(1)证明：方程。)= 0有唯一的正根不(2)若 S“ =彳+为 +证明 S = limS 存在，且；一一.8a a -Ja【Z,(o)=-I/(5) 0/(X) = 3/+ 废 0n 0 y ；,收敛，= T；n=n=l a4 - 1又：( = (1 (： )2(11)=a a a3 a a4n t n单元三：募级数1.求事级数的收敛半径:(1)VX*占2+(-3)lliml = -x2 /? = “T8300n=l(2n)! 2n-i2(2 + 2)(2 + l) , 2 . n 1=JT2 hm-_- = 4x2
33、 R = -*( + l厂22.若的收敛半径为R n=l8则(-1)%尤一2的收敛半径为: n=l+8+83. Za“x的收敛半径为3,求Zq(x-l)Z的收敛区间. n=ln=l|x-l|xe(-2,4)4.求基级数的收敛域：尸地14 + 1) n=l+811(2)y(i+)%n=i2n+8 n 、，A(3)Zj-=2 In n皿+2)|x +(+ l)ln(+ l)|x +11(l +-+-)|x|，+llim= W n x g (-1,1)%+啊ln72-kr，+，.lim11=|x|=xe-l,l)n- ln(/?+ l)- x5 .将下列函数展开成x的幕级数，并指明展开式成立的范围(
34、1) /(x)=(l + x)ln(l 4-x).工(-nn+,工(_1V+,/(x)= l + ln(l + x)= l + yx=/(x)= x + Y-xn+l,xe(-l,ln“=| n(n +1)(x) =1 - cos 2x-2-(-Dn (2)!(2x)2=00In=(_)+少-1(2)！ ”，xe(F+Q0)l/(x)= sin%./(x)= ln(l + x2)Jx.oo ( i n+lao / i n+l(x)=(Z1sli-0a=EdL_x2叫 xe_U ，占占(2+ l)_z、1+ x 1.1+ x(4) J (x)= arctan+In1 x 21 x(X)=3.r4
35、n =/(x)=x4n+1, xe(-l,l)1-x MM4+ l14- X1(5) f(x)=-或：/(x)=(l + x)(-)(1-x)l-x/(X)=22-=2( J x)- J xn = J (2n + l)x, xe(-l,l)(l-x)， l-xn=0n=0n=06 .将/(x)= ln(3x x2)在x = l处展开为某级数r-1f-iy,+l2n -1-lx-lx2fl+l,/(x)= l +2y -4x2n, x七2+1八， ，-4219 .求基级数的收敛域及和函数9=0,6),S(x)= f(q)= ln(l 7)=?77t 3/?普333_ in-l_oo_/_ in-l(2) Vx2n. Q =-1,1, S(x)= x Vx2nl =xarctanx7T 2-ltt 2n-l(3(一？r=-V2,V2,x2-l /,S(O = y(-一=”5+1)=i n + l1 zi 、f + ln(l f)l t2x22=-ln(l-r)+=1+ln(l 7)=1+ln(2-x )ttx -1+8，曾18122(4)Z C =(-00,4-oo), s(x)=(Z-；/)=(x/)，=(l +2x2)e=o ！=o！ f：竽2-。=(-，S(X)=(fg/T)=(幸+)=广=l Z”=1 NZ X X )+OQ之M=1X(Aln(l x)800100fl