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1、专题1列方程解应用题例1一个两位数，个位与十位上数字之和为9,如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，则所得到的新的两位数比原来的两位数大9。求原来的两位数。思路点拨：设原来的两位数的十位数字为x,则个位数字为9-x,这个两位数就为10x+(9-x),新的两位数的十位数字为(9-x),个位数字为xo新两位数为10(9x)+x,该题的等量关系式为：新的两位数一原来的两位数=9。解答：设十位上的数字为x,则个位上的数字为9x,那么，就得到10X (9x)+x10x+(9x)=99010x+x10x9+x=981-18x=9X=4【跟踪练习1】一个两位数，它的十位数字比个位数字少3,且十位数字与个
2、位数字之和是这个两位数的；,求这个两位数。例2甲、乙两个数，甲数X以乙数商2余17。乙数的10倍除以甲数商3余45。求甲、乙二数。思路点拨：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数X商+余数。如果设乙数为x,则根据甲数除以乙数商2余17,得甲数=2x+17。又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3(2x+17)+45,列出方程。解答：设乙数为x,则甲数为2x+17,那么10x=3(2x+17)+4510x=6x+51+454x=96X=242x+l 7=2X24X17=65。答：甲数是65,乙数是24。【跟踪练习2被除数与除数的和是50,如果被除数与除数都减去7,那么被除数是除数的3
3、倍，原来的被除数是 o例3兄妹二人同时离家云上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即回家去取，往回走了180米和妹妹相遇。他们家离学校有多远？思想占据：从图2-1中可看出，如果设他们家到学校的距离为x米，那么哥哥走了(x+180)米，而妹妹走了(x-180)米。哥哥的速度是每分钟90米,妹妹的速度是每分钟60米，而他们同时从家中出发，所用时间相等。因此，利用关系式：时间里.可砒中方聂(x-180)米:学校180米图27解答：设他们家离学校X米远，则x+180_ x-18090=6060(x+180)=90(x-180)60x+60X180=90x-90X1
4、803x =15X180x =900答：他们家离学校900米。【跟踪练习3有人用车把米从甲地运到乙地，装米的重车日行50里(1里=500米)，空车日行70里，5日往返3次。两地相距多少里？(选自九章算术)例4一家三口人，年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍，问三人各是多少岁？思路点拨：设儿子的年龄是x岁，则妈妈的年龄是4x岁，爸爸的年龄是(4x+2)岁。解答：设儿子的年龄是x岁，则x+4x+(4x+2)=74x=8妈妈的年龄：4x=4X8=32爸爸的年龄：4x+2=4X 8+2=34【跟踪练习4】玲玲今年9岁，父亲39岁，再过年，父亲的年龄正好是玲玲的2倍。例5一个机
5、床厂，今年第一季度生产车床198台，是去年同期产量的2倍多36台，去年第一季度产量是多少台？思路点拨：设去年第一季度的产量为x台，那么它的2倍就是2*台，又因为去年第一季度产量的2倍加上36台跟今年第一季度的产量198台相等。根据这个等量关系就可以列方程。解答：设去年第一季度的产量为x台，则2x+36=1982x=198-36x=81答：去年第一季度的产量是81台。【跟踪练习5】已知篮球、足球、排球平均每个36元，篮球比排球每个多10元，足球比排球每个多8元，每个足球多少元？例6“六一”儿童节，几位同学一起去郊外登山。男同学都背着红色的旅行包，女同学都背着黄色的旅行包。其中一位男同学说，我看到
6、的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍。另一位女同学却说，我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍。如果这两位同学说得都对，那么女同学的人数是。思路点拨：首先找出题中的等量关系，因为两位同学看到的旅行包都不包括自己背的。所以女同学要有x人，男同学有就2(x7)人或L5x+1人，根据题意即可列出方程。解答:2(x-1)=1.5x+l2x-2=l.5x+l2x-l.5x=2+l0.5x=3X=6答：女同学有6人。【跟踪练习6某乡有5个饲养场，每个饲养场养鸡的只数相等，如果每个饲养场都卖出600只鸡，那么这五个饲养场剩下的鸡，恰好与原来两个饲养场养鸡的只数相等。原来每个饲养场各养鸡（）只。例
7、7甲方每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲、乙从A地，丙从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲。求A、B两地的距离。思路点拨：由于路程=速度X时间，现已知速度求距离，故可以直接设距离为x,也可设时间为x,现用两种方法解之。解答：解法一设乙、丙相遇用了 x分钟，则甲、丙相遇时用了（x+2）分钟，故A、B两地的距离等于乙、丙相遇时乙、丙所行程的和，也等于甲、丙相遇时甲、丙所行路程的和。乙、丙相遇时，乙、丙所行路程的和：（60+70） x=130x甲、丙相遇时，甲、丙所行路程的和：（50+70） X （x+2）=120x+240所以有方程130x=120x+240解这个方程得
8、x=24,即乙、丙24分钟相遇。所以A、B两地距离：130X24=3120（米）答：A、B两地的距离为3120米。解法二设A、B两地的距离为x米。则乙、丙相遇所需时间为x+（60+70）分钟，甲、丙相遇所需时间为x+（50+70）分钟，由此得方程120130解这个方程，在原方程左右两边同时乘以120X130,得130x-120x=2X 120X13010x=31200x=3120答：A、B两地的距离为3120米。【跟踪练习7】两条公路成十字交叉，甲双十字路口南1200米处向北直行,乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发10分钟，两人与十字路口的距离相等；出发后100分钟，两人与十字路口的距离再
9、次相等，此时他们距离十字路口多少米？专题2工程问题例2某项工程，甲队单独做需36天完成，乙队单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合作，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？思路点拨：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后两队合干需多少天完成任务？”解答：（1-2 X18）+（4+）453645913=7 x20=12（天）答：甲队干了12天。【跟踪练习2一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？例3一项工程，甲单独做要12天完成，乙单独做要10天完成，
10、现在甲、乙合作经过8天完成任务。已知这段时间甲休息了2天，那么乙休息了几天？思路点拨：先求出甲、乙合作8天要超额完成任务的几分之几，超额数减去甲2天的工作量，所得之差除以乙的工作效率就是乙休息的天数。解答:舄+12）X8-1-12 X2= K =3（天）答：乙休息了3天。【跟踪练习3】甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？例4一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需多少天完成？思路点拨：设这一件工程总量为L则甲、乙的工作效率之和是：,乙
11、、丙的工作效率之和是:,甲、丙的工作效率之和是2,从而甲、乙、丙的工作效 yio率之和是（:+白）4-2,根据“工作总量+工作效率=工作时间”的关系 o y io式求出合作完成所需的时间。【解答】14-（:+：）4-2=5（天）。69153125答：甲、乙、丙三人合作需片7天。J1【跟踪练习4某工程，乙单独做所需的天数为甲、丙合做所需天数的2倍，丙单独做所需的天数为甲、乙合做所需天数的3倍，已知三个合做5天可以完成工程，甲、乙、丙单独做各需多少天？例5有两个同样的仓库A和B,搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时,乙需要12小时，丙需要15小时，甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运，中途丙又
12、转向帮助乙搬运，最后，两个仓库同时搬完，再帮助甲、乙各多少时间？思路点拨：设搬运一个仓库的工作量为“1”，从整体上看，相当于共同完成的工作量为“2”。解答：三人同时搬运了：2舄毛毛）=8（小时）丙帮甲搬了：（1-2X8）4=3（小时）丙帮乙搬了：8-3=5（小时）答:丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。【跟踪练习5】甲、乙两人加工相同数量的零件，甲每小时加工自己的任务端,乙每小时加工自己任务的M甲、乙同时开始加工，甲完成任务后立即帮乙加工，直到完成任务，甲帮乙加工了多少小时?例6一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时两人如此交替
13、工作，问完成任务时需共用多少小时？思路点拨：把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。解答：需循环的次数为1+*脸）/7（次）7个循环后剩下的工作量是1111一（斤不）X7=1Z loob余下的工作量还需甲做的时间为白子.= I （小时）ob 12 o完成任务共用的时间为2X7+1=14：（小时）答：完成任务时需共用14-小时。【跟踪练习6打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小地，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时如此交替下去，打印这部稿件共要多少小时？9例7一项工程，甲、乙合作26$天完成。如
14、果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？思路点拨：由题意可推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数,否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式完成所用的天数为奇数，两种轮流方式做的情况表示如下:甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙T甲竖线左边所做的天数为偶数，谁先做没关系。从竖线右边可以看出，乙做天等于甲做半天，即甲的效率是乙的2倍。解答：甲每天能做这项工程的221263 Xr=15甲单独做完成的时间=40（天）答：这项工程由
15、甲单独做要40天才能完成。【跟踪练习7】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做,恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3o甲、乙每天各做多少个？例8一个水池，地下水人四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的。当这个水池水满时，打开A管，8h可将水池排空；打开B管，10h可将水池排空；打开C管，12h可将水池排空。如果打开A、B两管，4h可将水池排空，那么打开B、C两管，将水池排空需要多少时间？思路点拨：设这个水池的容量是“1”。A管每小时排水量是：1+每小时渗入水;OB管每小时
16、排水量是需每小时渗入水;A、B两管一起打开，每小时排水量是:+每小时渗入水。因此，每小时渗入水是:-（：+白）=白。4 o 1U 4U解答：打开B、C两管，将水池排空需要：【跟踪练习8】一个蓄水池底部有一道裂缝，满池水50小时全部漏完。有甲、乙两个进水管，水池蓄满水后，经过40小时，开始打开两个进水管，10小时后水池注满。经过8小时，打开乙管，再过6小时后水池注满。如果把水放掉，把池底裂缝堵好，甲、乙两管分别注水，各需几小时把水池注满？例9（第六届“华罗庚金杯”邀请赛试题）甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可以注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时后，剩下的
17、由乙管注水9小时。将池注满，甲管的注水时间是多少？思路点拨：通过“甲管注水速度是乙管的一半”这个条件我们可以看出：乙管的工作效率是甲管工作效率的2倍。也就是说：1个乙管等于2个甲管。因此，甲、乙两管相当于1+2=3（个）甲管。甲、乙同时注水12小时可将游泳池注满，则甲管单独注水需12X3=36（小时）方能注满，而乙管单独注满水池则需36X：=18（小时）。所以此题就可以看成是乙管单独注水9小时后，剩下的由甲管单独注水，还需几小时注满水池。解答:S2x（T）xI=18（小时）答：甲管的注水时间是18小时。【跟踪练习9放满一个水池的水，如果同时开放号阀门，15小时可以放满；如果同时开放号阀门，10
18、小时可以放满；如果同时开放号阀门，12小时可以放满；如果同时开放号阀门，8小时可以放满。问：如果同时开放5个阀门，几小时可以放满这个水池？例10某工厂的一个生产小组生产一批零件，当每个工人在自己原工作岗位工作时，9小时可完成这项工作；如果交换A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成该项生产任务；如果换C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前完成小时完成该项生产任务；如果同时交换A和B、C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少分钟完成该项生产任务？思路点拨：题中所给的几种情况，都是由于工作效率改变了，工作时间也相应变化，但工作总量却没有改变。因此可以先求
19、出各种情况下的工作效率，然后再研究工作时间的变化。解答:设工作问题为单位“1”，则原来全部工作效率为:。A与B交换，全部工作效率为:,由于其他工人的效率不变，所以A与B的工作效率提高了:一 OO：=5。同理，C与D交换后，他们两人的工作效率也提高了5。若A与B、C与D同时交换，他们四人的工作效率提高了5+5=/全组人每小时完成1 x _ Ar9+36=360因此，完成这项任务，全组人需要：1/=7：（小时）比原来提前了：9-7-=1-（小时）=1小时48分=108（分钟）答：可以提前108分钟完成该项生产任务。【跟踪练习10】加工一批零件，甲单独做需75小时完成，乙单独做需50小时完成。已知每
20、小时乙比甲多做12个零件，如果甲的工作效率提高50%,而乙每小时原来多做8个零件，那么两人合作这批9零件的7需要多少小时？O专题3分数的应用例2学校图书室里的故事书占总数的六一”期间，妇联又赠送给学 D2校600本故事书，这时图书室里的故事书占现有图书总数的彳o求图书室原来O共有多少本图书。32思路点拨：题中?是以原来的图书总数为单位“1”，是以后来的图书总 bo数为单位“1”，单位“1”不统一，就要想办法统一单位“1”，从题目可以看出：故事书、图书总数都发生了变化，而其他书的本数没有变，可以以其他书的本数为单位“1”，根据故事书占总数的V,故事书相当于其他书的33,同000 Z理，故事书增加
21、后，相当于其他书的2倍。解答:其他书的本数=600+(2-11)=1200(本)图书室原来共有图书312004-(1-)=3000(本)答：图书室原有图书3000本。7【跟踪练习2】红星小学五年级学生中，男生占色,后来又转来了15名男生，这样男生占五年级总人数的孩，五年级原有学生多少人？例3某车间原有男工人数是女工人数的11倍，后来又调来2名女工，现在男工人数是女工人数的11倍，这个车间有男工多少人？思路点拨：与11虽然都是以女工人数国单位“1”的，但女工人数发生了变化，所以前后两个女工人数并不是同一个数量。由于男工人数没有发生变化，所以可以用转化的方法，求出原来女工人数是男工人数的几分之几，
22、调来2人后女工人数又是男工人数的几分之几，进而得到调来的2名女工是男工人数的几分之几，求出男工人数。14由“原来男工人数是女工人数的1-倍“知原来女工人数是男工人数的目，同样知，调来2名女工后，女工人数是男人数的a ,故调来的2名女工相当于65 454男工人数的（髀焉），所以男工人数有2+（1高）=60（人）。6 5655 41解答：24-（-）=24-=60（人）。6 530答：这个车间有男工60人。【跟踪练习3】甲数是乙数、丙数、丁数之和的;,乙数是甲数、丙数、丁数之和的，丙数是甲数、乙数、丁数之和的;o已知丁数是260,求甲数、乙数、丙数、丁数的和。4例4学校阅览室里有36名学生在看书，
23、其中女生占W ,后来又有几名女9生来看书，这时女生人数占所有看书人数的卷o问后来又有多少名女生来看书？思路点拨：女生人数在变，总人数在变，但男生人数始终未变，抓住这一不变量即可找到解题的突破口。男生人数占原来36名学生4的(1-弓)，这可求出男生人数；再利用男生人数占后来的分率，求出后来的总人数。4Q解答：36 X (1-)4-(1-)-36=36X1-36=38-36=2(名)。y iy答：后来又有2名女生来看书。【跟踪练习4一块西红柿地今年获得丰收。第一天收下全部的I ,装了3筐还余12kg,第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐。这块地共 O收了多少千克西红柿？例7耕一块地，第一天耕的比这
24、块地的1多2公顷，第二天耕的比剩下的地的;少1公顷，这时还剩下38公顷没有耕。这块地共有多少公顷？思路点拨：把这块地的公顷数看做“1”公题中的数量关系可用线段图表示，如图4-1。第一天第一天耕完后，剩下的公顷数是(38-1)第二天1公顷图4-14-(1-1)=74(公顷)，再用类似的思路求出这块块共有多少公顷。解答：(38-1)4-(1-1)-374-1=74(公顷)，(74+2)4-(1-1)O2=76+-=114(公顷)。答：这块地共有114公顷。2【跟踪练习7某商店有一批布，第一天卖出g ,第二天卖出第一天剩下的7，第三天补进第二天剩下的;，这时还有698米，原来有布多少米？ I乙例9某
25、市数学竞赛，共有407人参加决赛。获奖的男生、女生人数正好同图4-216人样多。没有获奖的女生占参赛女生的:，没有获奖的男生有16人，参赛男生有多少人?思路点拨：以女生人数为单位“1”,依题意画线段图，如图4-2所示。如果男生少16人参赛，参赛人数407-16=391人相当于女生参赛人数的o391人除以对应率1-,商是女参赛选手人数，进而求出男生参赛人数。1O解答：女参赛选手人数：(407-16)4-(1+1-)=3914-1-=207(人) yy男参赛选手人数：207X （1-：）+16=200（人）y答：参赛男生200人。2【跟踪练习91水果店来苹果和梨共1300千克，苹果卖出*,梨卖出2
26、0千克后，剩下的梨和苹果的质量恰好相等。原来运来苹果和梨各多少千克？例10（全国预赛试题）甲、乙、丙、丁四人共同生产一批零件，甲生产91的占其他三人生产总数的残，乙生产的占其他三人生产总数的;丙生产的,4、占其他三人生产总数的五o已知丁生产了60个，那么甲、乙、丙三人共生产零件多少个?解答：甲、乙、丙生产的零件分别占总数的2_2_11413+2=15*4+1=5* H+4415914甲、乙、两共生产了总数略+广运3i。三人共生产零件6。+（1-333-）X-=60X-=90（个）0bZ答：甲、乙、丙三人共生产零件90个。【跟踪练习10（吉林省竞赛试题）甲、乙两个盒子共装了400多个球。如果甲给
27、乙x个，甲比乙少白；如果乙给甲x个，乙比甲少白o则原来甲盒中有多少个球，乙盒中有多少个球？4例11纺织工厂第一车间的人数比第二车间的人数的募少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，这时第一车间的人数是第二车间人数的7 o原4来两个车间各有多少人？第一车间人数是第二车间人数的几分之几？思路点拨：把第二车间人数看做单位“1”，题中的数量关系可用线段图表30人示如图4-3所第一车间i 第二车间L 第一车间i从图中可看出，原第一车间人数加30是两车间总人数与30人的和的4Q 3=;现第一车间人数是两车间人数的急=不。根据现第一车间人数与原第一车间人数相差10人，可列方程。解答：设两个车间的总人数为
28、X人。4、3-（x+30）-30=- x-10y（解得：x=420即可求出两个车间的人数问题。第一车间人数为：420X -10=170（人）第二车间人数为：420-170=250（人）171704-250=Zb答：第一车间原来有170人，第二车间原来有250人。第一车间人数是第17二车间人数的去。【跟踪练习11】隆盛杂货店运来一级茶叶和二级茶叶一批，其中二级茶叶的重量是一级茶叶的,一级茶叶的买进价是每千克20元，二级茶叶的买进价的是每千克18元，如果现在照买进价各加价出售，当二级茶叶全部卖完 O时，一级茶叶还剩1,共盈利480元，该杂货店运来多少二级茶叶？专题4百分数应用例3一桶汽油，第一次用
29、了全桶的20%,第二次用了20kg,第三次用了前两次的和，这时桶里还剩下8kg汽油。问这桶汽油有多少千克？思路点拨：由已知条件，第三次前两次的和，就是全桶的20%加上20kg,因此前三次共用了两个20%和两个20kg,桶内还剩8kg汽油，这说明两个20%,两个20kg,再加上一个8kg就是整桶汽油的质量。由已知三次共用汽油是两个全桶的20%再加上两个20kg,桶内还剩8kg,因此20X2+8=48(kg),相当于全桶的1-40对60%。解答：(20X2+8)-r (l-20%X2)=80(kg)答：整桶汽油质量为80kg。【跟踪练习3】李刚看一本书，第一天看了全书的，第二天看了24页,第三天看
30、了前两天看的总数的150%,这时还剩下全书的!没有看。全书共有多少页？例4小明家电热水器贮满了水。一天晚上，小明妈妈用去了20%,水上明的爸爸又用去了18L,小明用去了剩下水的10%,最后剩下的水只有贮存量的一半还少3L。问小明家的电热水器贮水量是多少升？思路点拨：小明的妈妈用的水是20%,小明的爸爸用水量是18L,小明的爸爸、妈妈用水后剩下贮水量的80%少18Lo这样小明的用水量是(80%X10%)=8%少(18X10%)=1.8Lo 三人用水的总量是20%+8%再加(18-1.8)=16.2(L),三人用水的总量也应该是50%多3LO (本题关键是小明用水的理解与处理)解答：(1-2解)X
31、 10%=8%,18X10%=1.8(L),(18-1.8-3)4-50%-(20%+8%)=13.24-22%=60(L)o答：这个电热水器贮水量是60L。【跟踪练习4】某次会议，昨天参加会议诉男代表比女代表多700人，今天男代表减少了10%,女代表增加了5%,共1995人出席会议。那么昨天参加会议的人有多少人？【跟踪练习5】某商品按定价的80%(八折)出售，仍能获得20%的利润，定价时，期望的利润百分数是多少？例6某工厂一车间人数占全厂的25%,二车间人数比一车间少!，三车间人数比二车间多云,三车间是156人，这个工厂全厂共有多少人？思路点拨：本例中除全厂外，还有两个单位“1”：一个是一车
32、间另一个是二车间。但通过转化可能统一到全厂为单位“1”上来。进而直接求出全厂人数。解答：131564-25% X (1-) X (1+)1510=600(人)【跟踪练习6兴趣小学四年级学生比三年级多25%,五年级学生比四年级少10%,六年级学生比五年级多10%,如果六年级学生比三年级多38人，那么三至六年级共有学生多少人？例7某班有学生48名，女生占全班人数的37.5%,后来又转来了若干名2女生，这时女生人数恰好是全班人数的：，问共转来了多少名女生？5思路点拨：我们可抓住“变中不变”的量，即男生人数前后不变，抓住了这个不变量，问题便容易解了。首先求出男生占全班人数的几分之几，再求全班的男生人数
33、，然后求转来几名女生后男生占全班人数的几分之几。接着，可以求出现在全班人数，最后求转来了几名女生。(1)原来班级里有男生48X (1-37.5%)=30(名)；9 Q(2)转来几名女生后男生占全班的分率为1-7= i ;(3)现在全班有301=50(名)同学；(4)转来女生人数50-48=2(名)。【解答】z 、,2、48 X (1-37.5%)-r (1-)-4855 3=48X-4-48=50-48=29(名)8 5答：又转来了2名女生。【跟踪练习7有一堆糖果，其中奶糖45%,再放入16块水果糖后，奶糖就只占25%,那么这堆糖中有奶糖多少块？例8一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20乐可
34、以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%,则可提前40分钟到达；那么甲、乙两地相距多少千米?思路点拨：根据公式“距离=速度X时间”，当距离一定时，速度与时间成反比。车速提高20%时，即为原速度的（1+20%）= I o在同一距离中所花时间5RR1为原时间的I,提前的1小时恰好占原来所花时间的（1-1）=*。这就可666以求出按原来速度行驶所花的时间为1+（=6（小时）。6同样道理，当车速提高25%时，新车速与原车速的比是（1+25%）；1=5：4,如果车从甲地出发时就用这个速度，那么全程所花时间为原441时间的7,全程可提前6X （1-）=1-（小时）。555
35、9 1OR现在只提高40分，即a时，少提前1-=-（小时），这是因为从甲35315地出发行驶的120千米是按原速度行驶的。这一段路（120千米）若按速度提高O25%行驶，可提前不小时，据此可解。10解答：以原速度行驶全程所花时间为1511+（1一5二）=1+（1_7）=1+鼻=6（小时）。1+20%66车速提高25%时，全程可提前6X (1-15%)=6X5=15(小时)。现设全程为x千米，则6 - 5x=270答：全程为270千米。【跟踪练习8】去年实验小学参加各种体育兴趣小组的同学中，女生占总数的o今年全校的学生数与去年一样，参加各种体育兴趣小组的学生比去年增加了20%,其中女生占总数的1
36、o那么，今年女生参加各种体育兴趣小组的人数比去年增加百分之多少？例10（“希望杯”邀请赛试题）小红和小明帮刘老师修补一批破损图书，小红修补了破损图书的40%少2本。小明修补了破损图书的;多3本。刘老师修补了20本。问：小红、小明一共修补图书多少本?思路点拨：可知小红和小明一共修补破损图书为：40%-2+；+3=40%+25%+1=65%+1,则这批破损图书一共有(20+1)4-(1-65%)=60(本)。再减去刘教师修补的图书20本，则为小红和小明一共修补的图书。解答:(20+1)-V-E1-(；+40%)-20=214-1-65%-20=21+35%-20=60-20=40(本)答：小红、小
37、明一共修补图书40本。【跟踪练习101A种酒精中纯酒精的含量为40%, B种酒精中纯酒精的含量为36%, C种酒精中纯酒精的含量少为35%O它们混合得到了纯酒精的含量为38.5%的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么A种酒精有多少升？例11某班男生数占全班的40乐后来又转出10名女生，这时男生人数占全班的50%。这个班原有男生多少人？思路点拨：根据前后男生人数不变这一等量关系列出方程来解。解答:设班里共有学生x人，则后来有(x-10)人。40%x=50%(x-10)4x=5x-50X=50男生人数：50X40%=20(人)答：这个班原有男生20人。【跟踪练习11】筑路队4天修完一条路
38、，第一天修了全长的32%,后3天修的长度比为6：7：4,最后一天比第一天少修8千米。这条公路全长多少千米？专题5时钟问题例1现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？思路点拨：3点时分针指12,时针指3,分针在时针后5X3=15格，每分钟分针比时针多走（1-5）格，要使分针与时针重合，也就是分针 bU14比时针要多走15格，需要15+（1-）=16（分钟）1L41. k14解答：15+（1-）=16（分钟）L 41.1.4答：3点16吉分时时针与分针第一次重合。【跟踪练习1】现在是5点钟，再过多少分钟，时针与分针第一次重合？例2在4点与5点之间，钟面上的时针与分针在什么时刻垂直？思路点拨：分针
39、在时针的后面相隔15小格。4点钟分针与时针相隔5X4=20小格，分针只要比时针多走20-15=5小格就行了。每分钟分针比时针多走（1-白）小格，由追及问题计算方法，得出第一次垂直的时1.乙间。分针超前时针15小格，就是分针比时针多走20+15=35小格，再根据追及问题的计算方法，求出第二次垂直的时间。解答：5X4=20（小格）i5（20-15）4-（1-）=5（分钟） J.乙 X12（20+15）-r（l-）=38（分钟）L 4JL 1.R9答：在4点与5点之间，4点5五分和4点38分时分针与时针垂直。【跟踪练习2】深夜12：00到中午12：00之间，钟表上的分针和时针几次成直角？例34小时1
40、5分时，钟面上时针与分钟的夹角是多少度？思路点拨：4时15分，分针指着3,但时针的位置很难确定，所以我们从4时整考虑。4时时，时针指着4,过15分，分针走了15小格，时针从4开始顺1 RR时针方向旋转了15X=2（个）小格，即6X?=7.5（度），时针位置确定后不可求解。解答：6X5+6X （15X）=37.5（度）。答：4时15分钟面上时针与分针的夹角是37.5%【跟踪练习3】在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为12（?例4小明做作业用了不到了1小时的时间，当他做士完作业看表时，发现分针与时针正好和开始做作业时交换位置。问小时做作业用了多少时间？思路点拨：根据题意，
41、小明做作业不到1小时，所以开始做作业时，时针在分针后后面，到做完作业，时针就旋转到开始时分针的位置，而分针旋转到原来时针的位置，如图6-1所示，时针与分针总共旋转了一周。根据路程+速度和=时间即可求出本题的解。15解答：604-（1+&）=55（分钟）答：小时做作业用了55名分钟。1.0例5小朋家的挂钟走起来每小时慢1.5mino早上8点小朋把钟对准了标准时间，那么，这只钟走到中午12点的时候，标准时间是几点几分？【思路解析】这里慢1.5分实际上是指：小朋家挂钟与准确的钟相比较，准确的钟1小时走60小格，而小朋家挂钟只有58.5个小格。当准确钟走到12点时，小朋家挂钟离12点还有1.5X4=6
42、个小格，但是小朋家的挂钟再走这6小格，准确的钟则要走的比6小格多（准确钟的速度较快）。这需要求出小朋的挂钟走6小格时，准确的钟要走多少小格。解答：解：设小朋的挂钟走6小格时，准确的钟走x小格。258.5：60=6： x x=6-9答：标准时间是12点6分。【跟踪练习51小明晚上9点整将手表对准，可早晨8点到校时却迟到了 lOmin,那么，小明的手表每小时慢几分钟?例6小明家有两旧挂钟，一个每天快20min,一个每天慢30min。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？【思想解析】由时钟的特点知道，每隔12h,时针与分针的位置重复出现,所以快钟和慢钟分别
43、快或慢12h的整数倍时，将重新显示标准时间。解答：快钟快12h,需经过（60X12）4-20=36（天）即快钟每经过36天显示一次标准时间。慢钟慢12h,需经过（60X12）4-30=24（天）即慢钟每经过24天显示一次标准时间，24与36的最小公倍数是72,所以两个钟同时再次显示标准时间，至少要经过72天。【跟踪练习6甲表每小时比标准时间快Imin,乙表每小时比标准时间慢2mino若将两表同时调到标准时间，结果在24h内，甲表显示9点整时，乙表恰好显示8点整。将两表同时调准的时刻是多少？例7一只钟的时钟与分针均指在4和6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？思路
44、点拨：因为当时的时刻可以是4点多，也可以是5点多，如果此时是5点多：5点整时，时针指5,分针指12。从5点整一/102到现在的“5在时针与分针的正中央”，分针走/的格数多于20格少于25格，时针走的格数不足 o ：5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数,所以时针与分针在这段时间内共走25格。因此,从5点整到图6-3钟面上这种状态共用了25+（1崂）=23话（分钟）。图6-3如果此时是4点多：4点整，时针指4,分针指12。从4点整到现在，“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25,少于30,时针走不足5格。由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格。又由
45、于时针的速度是分针的白,所以从4点整到图6-4钟面上这种状态共用了：30+（1+*）=27卷（分钟），所以这时9是4点27逅分。解答：如果是5点多，用25+（喘）=23表（分钟）1 Q如果是4点多，用30+（1-h）=27-（分钟）91答：这时可能是4点27运分，也可能是5点23逼（分钟）。【跟踪练习7现在是3点整，再过多少时间，时针和分针恰好在“3”字两边，并且与“3”字距离相等？例8一只旧钟的分针和时针每65分钟重合一次。问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分？思路点拨：因为分针与时针每重合一次，分针比时针比多60小格,每分钟分针比时针多走系格，则604-H =652（分），即标准钟J.4JL /J.乙J. J.每65。分时针、分针重全一次，旧钟每65分重合一次，显然旧钟快。本题难点在于从旧钟两针的旋转速度（每标准分旋转多少个小格），进面推算出旧钟的分针24标准小时旋转多少个小格，它与标准钟的分针用24标准时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读书。解答：设旧钟分针每标准分走x小格。那么，每1个小格用工标准分。旧 X钟分针走60个小格，时针走5个小格，时针速度总是分针的白,所以旧钟时针速度为上X （格/标准分钟）。每次重合耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超