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1、分数运算的技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌 握些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。1 .凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运 算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、 商成为整数、整十数从而使运算得到简化。12317例1 （3彳+ 61+号+%）乂 （2 -）解，13217原式=（3 + 1）+ （65+ 叼）（2_元）= （5 + 15）x（2-）7= 20X 2-20X 20= 40-7 = 3314例2 4-X25 + 32-+4+0.25X125i4解：原式= 4x25+/25 + 32
2、+4 +亍+ 4+0.25x4x31=100+5 + 8 + +31 = 144772.约分法1x2x3+2x4x6+7x14x211x3x5 + 2x6x10 + 7x21x35._ lX2X3 + 2：X(lX2X3)+7：x(lX2 (1X3X5)_ (lX2X3)x(i + 2：+7：)=(lX3X5)X(i + 23 +73)_ 1X2X3 _ 2=1X3X5 =5例4 99X（1-1）x（i-1）x（i-1）x-x（i-A）o解：原式= 99X:x2x：xx = i。 n 54 yy3.裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵 消，则能大大简化运算。根据（其
3、中小提自然数），在计算若干个分数之和时, n x （n + d） n n + d2 6 12 20 30+42解:原式=一+一 +1x2 2x311113x4 4x5 5x6 6x711111111111+ + 22334455667“ 1 67 7例6 _r+_L+,+,。1x3 3x5 5x797x99解:122222 ,1x3 3x5 5x797x9911 1 1x fl + J1_?7 99x (1)2 99,1 98 49x = 2 99 992 , 3 3例7在自然数1100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数 的和等于1分析与解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1,而分
4、母不同的分数的和等于1,似乎无从下手。但是如果巧用=”来做，n n + 1 n(n +1)就非常简单了。因为1 = T + H + J +底，所以可根据题中所求，添上乙 乙 J J t I括号。此题要求的是10个数的倒数和为1 ,于是做成：,“ 1、/1、A 1、/1、/ 1、/1、/1、，1 1、= -2 + 2 - 3 + 3 - 4 + 4 - 5 + 5 - 6 + 6 - 7 + 7 - 8 + 8 - 91 1 1、9 10， 1011111111 1 1-+ + + + 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 7x8 8x9 9x10 101111111111=+ + +
5、 + - + - + + + + - 02 6 12 20 30 42 56 72 90 10所求的 10 个数是 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 10。1111.本题的解不是唯一的，例如由元+元=+而推知，用9和45替换答案中的10和30,仍是符合题意的解。4 .代数法例8 (1 + 2 + l + l)x(2 + l + l + l)-(i + l + l + l+l)x(l + l+l) , 2 3 4，3 4 5，, 2 3 4 5，3 4,分析与解；通分计算太麻烦，不可取。注意到每个括号中都有:+ ； + 1原式= (l+A)x(A+g)_(l +
6、 A + ；)xA 1 0 1 , 1 1= A+-+A2+-A-A-A2 -A = -o5 .分组法1 1 1- + - + - + 2 3 42 2+ + +4 5分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为20 11- + - + - += -xl + 2+ + (n - 1)n n n n2 1 + 37) x (n - 1) _ 口3 1) _ n 1n22n 2原式中分母为220的分数之和依次为2 2 3 4192,2,2,2, 12原式12 3 41921 / 、=-X (1 + 2 + 3 + 4 +19)= 2xi90 = 95o 2循环小数与
7、分数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小 数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的 分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数 呢？我们先看下面的分数。，八 1 mu 3 31717(1) - = 0.5, (-y) = 0.12, (= ) = 0.425；225S40、23 x5,、1513(2)- = 0,3, y = 0.714285, = 0.39；556767(3) (= -) = 0.83, (= _) = 0.382 85714 , 6、2x3，175 52x7，101101360(= 23 x5x9)02805。(
8、1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5,化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同，如40因为40=23*5,含有3个2, 1个5,所以化成的小数有三位。(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5o(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数 2或5,又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分 的位数与分母中含有2与5中个数较多的个数相同，如蒜，因为175=5?X7,含有2个5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：(1)如果分母只含有质因数2和5,那么这
9、个分数一定能化成有限 小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个 数的个数；(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定 能化成纯循环小数；(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数， 那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母 中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环 小数？能化成有限小数的，小数部分有儿位？能化成混循环小数的，不 循环部分有几位？5 431 23 100332亓 250 78 Tl7 850分析与解：上述分数都是最简分数，并且32=2% 21=3
10、X7, 250=2X53, 78=2X3X13,117=33X13 , 850=2 X 52X 17,根据上面的结论，得到：京能化成五位有限小数，总能化成三位有限小数。32250（，格能化成纯储环小数。好化成混循环小数，且不循环部分有一修总能化成混循环小数，且 不循环部分有两位将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们 可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的 方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解 将循环小数化成分数的方法。1.将纯循环小数化成分数。例2将0.5化成分数。例3将0.382化成分数。解：0.5X10 = 5.5,解：
11、0.382X1000 = 382,382,0.5=05。0.382= 0.382。将上两式相减，得将上两式相减，得0.5X (10-1) =5, 0.382 X (1000-1) =382,0 5X 9 = 5,0.382 X 999 = 382, 5-3820.5 = -0,382 = -9999从例2,例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9, 9的个数与循环节的位数相同。cr 757 19 八 一 , 144 16例如：0.7 = -, 0.57 = = , 0144 = 9992.将混循环小数化成分数。
12、例4 0.18 X 100 = 18.8,0.18X10=1.8o将上两式相减，得0.18 X (100-10)=18-1,0.18X90=17,- 170.18 = o 90例5 0.257 X1000 =257.57,0.257 X10 = 2.57将上两式相减，得0.257 X (1000-10)=255,0.257 X 990=255,)255 170.257 = 990 66从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。混循环小数化成分数的方法:分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字 所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字 是9,末几位数
13、字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数 与不循环部分的位数相同。136-1 1353990990 221745-17 1728 4899009900 275掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数 的运算了。例6计算下列各式：(1) 0.291-0.192+0.375+0.5265(2)0.330 X0.1860291 192 -1 375 526-5999 - 990 + 999 + 990291 + 375 521-191 +999990666 330 2 1 + =+ _ = I999 990 3 3330 186-1 330X1855X=999990999
14、X 990 81工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这 类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多 内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率X工作时间，工作时间=工作量4工作效率，工作效率=工作量+工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示， 也可以是部分工程量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成工程的三分 之一表示为工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。 单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/
15、天”，或“工作 量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、 乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工 作效率是；同理，乙队的工作效率是荒。两队合干的工作效率是（需+卷）。 由“工作量=工作效率X工作时间”，50天的工作量是,11、8 1 1 5（ + ） x50= + =k100 150，2 3 6剩下的工作量是（-3。由“工作时间=工作量+工作效率”，剩下的工0作量由乙队干还需51,、（1-6）+150 =25 （天）例2某项工程，甲单独做需3
16、6天完成，乙单独做需45天完成。如 果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做 了 18天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作 甲、乙两队合干需多少天？ ”这样一来，问题就简单多了解：（1-2x18）+得+ %=0-I,）+ 20 = |x20 = 12 （天）。答：甲队干了 12天。例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。 开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完 成这一工程。问：甲队实际工作了儿天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6天，去掉乙、丙两队6天 的工作量，剩
17、下的是甲队干的，所以甲队实际工作了口-弓+/6 +93 （天）。例4 批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如 果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零 件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，1 + （ + ） = 12 （时）o20 30再求出每小时张比王多做的零件数，60+12 = 5（个）。最后求出这批零件的总数，5+（-1） =300 （个）。例5 水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空 池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放 水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积
18、有半池水？分析与解：以满池水为单位1。1时放水管可使水增加;，排水管可使水 减少T，同时开1时，可使水增加放水管打开1时后，池内已经有; 的木，与半池水还差（g-；）,所以要达到半池水，还需/ 1、/ 1、321 竹（2-5 （5-7） = l0T 35 =54 （时）例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分 钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西 又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所 以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回， 路上耽误10分钟，再加上取东西的5分
19、钟，等于比乙晚出发15分钟。 我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙 先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工 程问题的解法来解答。解,（-本15） +焉+加| +15（分）。答：甲再出发后15分钟两人相遇。工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂 的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活 运用基本的分析方法，问题也不难解决。例1 -项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如 果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少 天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工
20、作效率，为了求出甲、乙的工作效率， 我们先画出示意图：甲5天乙2法/KI111乙20天乙8天从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等， 即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量 替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程完成，即乙的工作效率为又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的1为甲、乙合做这一工程，需用的时间为1+焉+加=4 （天）例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后甲队做4天，共完成这项工程的当，如果把其余的工程交给乙队单独做，那 15么还要几天才能完成？分析与解：题
21、中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作的工作效率是但甲、乙两队一天也没有合作过。为了解决这个问题，我 0们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙做3天”，这样，就可以把合作的工作效率!用上了。再单独612甲、乙两队合作4天完成的工程量是：X4 =9，乙再做3天就可完成工 65程量的葛，由此求出乙的工作效率为电令（7-4）4剩下的工程乙队还需干（1-|）+5=2 （天）。例3单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超 过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由 乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完 成？分
22、析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚 好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的3倍时间是甲的2 因为单独做，乙比甲多用3 + 2=5 （天），所以甲需要5+g-l）=（天）9乙需要10+5=15 （天）甲、乙合作需要1+ （m + 石）=6 （天）。例4放满一个水池的水，若同时打开1, 2, 3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2, 3, 4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打 开1, 3, 4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1, 2, 4号阀门， 则30分钟可以完成。问：如果同时打开1, 2, 3, 4号阀门，那么多少 分钟可以完成？分析与
23、解：同时打开1，2, 3号阀门1分钟，再同时打开2, 3, 4 号阀门1分钟，再同时打开1, 3, 4号阀门1分钟，再同时打开1, 2, 4号阀门1分钟，这时，1, 2, 3, 4号阀门各打开了 3分钟，放水量等 于一.iiii4池水的A + 3 + 2 + 白。所以同时打开1，2, 3, 4号阀门，放满一池水需1 + （ + + + ） +3Lk20 21 28 30，=1+（工 + 3） = 1+行=18 （分）。 618例5某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四 小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按 一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个
24、小队干一天地轮 流干，那么工程由哪个队最后完成?分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是ill7（- + -+-）-2 = ,四个小队各干了6天即24天后，还剩下工程量的o 10 1D4o711.X6 = -o又因为一、二、三小队合干需8天，即一、二、三小队各干4oO1天完成工程量的：，所以工程由三小队最后完成。 O例6甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人 一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲 的顺序轮流去做，则比计划多用:天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则比原计划多用;天。己知甲单独做完这件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一
25、起做这件工作，要用多少天才能完成？分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无 论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的 工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见 下图虚线右边）甲乙丙丙甲乙乙丙甲甲乙丙B甲丙甲乙乙丙甲；乙由最后一轮完成的工作量相同，得到甲+乙=乙+丙+g甲，乙+丙+g甲=丙+甲+g乙。13由式得到：丙=（甲；由式得到：乙=甲。甲、乙、丙三人合 做一天等于甲做1+:=（天），推知三人合做需用巧用单位“1”在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1” o在许多分数应用 题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用
26、单位“1”， 能使解答的思路更清晰，方法更简捷。例1小明看一本故事书，第一天看了全书的还少5页，第二天看了全书 的士还多3页，还剩206页。这本故事书一共有多少页？分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位“1”。如果第一天多看5页，那么正好看了全书的；如果第二天少看3页， 那么正好看了全书的此时应当剩(206-5 + 3)页，其对应的分率为(1-卷-5) ,由此可求出全书的页数。1117解 (206 -5+3) + (1 -冠-)=204 = 240 (页)。答：这本故事书共有240页。例2 一本文艺书，小明第一天看了全书的;，第二天看了余下的;，第 三天看了再余下的g
27、,还剩下80页。这本书共有多少页？分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页 数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现 了 3个不同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分 率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，那么第一天看后剩下(14)。再把第一天看后余下的部分看成“1”，求出第 二天看后余下的部分是全书的(11)X (1一；)。最后把第二天看后余下的部分看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的12 4 4 _ x X =一 2 3 5 15也就是说，剩下的80页对应的分率是，所以全书有480- =
28、300 （页）。例3学校图书室里的故事书占图书总数的I,最近化肥厂工会又给学校送 5来400本故事书，这时图书室里的故事书占现有图书总数的求图书室原来共有多少本图书？分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，;是以原来的图书总数为单位“1 ”，工是以后来的图书总数为单位“1 ”，53这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。本题中故事书、图书总数都发生了变 化，而其它书的本数没有变，可以以书占全部图书的;，故事书相当于其它书的= 4 （倍）o同样可得，故55 52事书增加后加，相当于其它书的。=2（倍）。所以其它书有5
29、5其它书的本数为单位“1根据原来“故事书占全部图书的，”，可知其它1，一、400 （2 -1） = 800 （本），图书室原来共有图书3800（1-） = 2000 （本）。1例4甲组人数比乙组人数多%后来从甲组调9个人到乙组，此时乙组人数比甲组多问：原来甲、乙组各有多少人？分析与解：与例3类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、 乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。14由原来“甲组人数比乙组多3 ”，推知甲组人数是乙组的三，所以原来444甲组占两组总人数的46 +1） W。再由后来“乙组人数比甲组多推知乙组人数是甲组的（ 所以后来 甲组占两组总人数的1-I+4+1）=义。j
30、 j 14甲组调走的9人对应的分率是号-5），两组总人数是4 59 +（1-/） = 42 （人）o原来甲组有42*亍=24 （人），乙组有42-24 = 18 （人）。例5公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在 后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了 10分钟，小轿 车追上了货车；又过了 5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货 车追上客车？分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”， 设这段距离为单位“1” o由“走了 10分钟，小轿车追上了货车”，可 知小轿车比货车每分钟多行这段距离的?；由“又过了5分钟，小轿车追上了客车”，可知小轿车（10
31、+5）分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段 距离的货车比客车每分钟多行这段距离的（R-），所以货车追上客车还需 1515 101+。-5-15=15 （分）o 例6甲、乙两班共有84人，甲班人数呜与乙班人数用共有57人。求两班各有多少人?分析与解：甲班人数的;与乙班人数的：，等于两班总人数的?，是84 4443 , 、53 - .X 9 = 63（人）。对比“甲班人数的与乙班人数的:共有57人”，得到（63-57）4 84人对应的分率是这是以甲班人数为单位“1”。所以甲班有 4 o3 51（63-57） + 勺-） = 6+亘=48 （人）,乙班有84-48=36 （人）。比和比例比
32、的概念是借助于除法的概念建立的。两个数相除叫做两个数的比。例如，5+6可记作5： 6。比的前项除以后项的商，叫做这个比的比值。如，5+6 = =就是5： 6的 0比值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3 ： 7=9 ： 21o判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这 两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a ：b=c : d,那么 aX d=bX co两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a ： b ： co 连比中的“：”不能用“ + ”代替，不能把连比看成连除。把两个比化 为连比，关键是使
33、第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两 项化成它们的最小公倍数。例如，甲：乙=5 ： 6,乙：丙=4 ： 3,因为6, 4=12,所以5 ： 6=10 ： 12, 4 ： 3=12 ： 9,得至!I甲：乙：丙=10 ： 12 ： 9O例 1 已知 3 : (x-l)=7 ： 9,求 x。解：7X(x-l)=3X9,x-l=3 X 9 + 7,6x = 3X9 + 7 + l = 4。例2六年级一班的男、女生比例为3 ： 2,又来了 4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。分析与解：原来共有学生44-4=40 （人），由男、女生人数之比为3： 2知，如果将人数分为5份，那么
34、男生占3份，女生占2份。由此求 出男生人数=40X | = 24 （人），女生人数=40X 5 = 16 （人）。女生增加4人变为16+4=20 （人），男生人数不变，现在男、女生 人数之比为24 ： 20=6 ： 5o在例2中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例 分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总 份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求 得各个分量。例3配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1 ： 2 ： 12, 现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。分析：总
35、量是2700千克，各分量的比是1 ： 2 ： 12,总份数是 1+2+12=15,各分量在总量中所占的分率分别是5，卷和解：生石灰 2700 X 1 + 212 = 180 （千克）， 2硫磺粉 2700 X + 2 + 2 = 360 （千克），12水 270X 1 + 2 + 12=216。（千克）。答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180, 360和2160千克。在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15,每份的量是2700 + 15=180 （千克）， 然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1, 2, 12,就可以求
36、出各个分量。例4师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒 弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零 件？分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作 效率之比是:：1=5： 3。工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与 91 j徒弟分别完成总量的义和捻，师傅比徒弟多加工零件53400X（-） = 100 （个）。例5某小学四、五、六年级共有学生697人，已知六年级学生的机等于五年级学生的|,六年级学生的;等于四年级学生的问：四、五、六年级各有多少学生？分析与解：以六年级学生人数为1,则五年级学生人数为四年2 5 4127级学生人数为+
37、5=各年级人数比为 3 7 657六年级：五年级：四年级=1 ： - ： - = 12 ： 15 ： 14o 46按比例分配得到六年级学生人数=697 * 2 + ； + 14 = 204 （人），15五年级学生人数=697 X= 255 （人），12 + 15+14四年级学生人数=697 X . 一 = 238 （人）。例6某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量 之比是5 ： 6,小客车与小轿车之比是4 ： 11,收取小轿车的通行费比大 客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。分析与解：大客车、小轿车通过的数
38、量都是与小客车相比，如果能 将5 ： 6中的6与4 ： 11中的4统一成4, 6=12,就可以得到大客车： 小客车：小轿车的连比。由 5 ： 6=10 ： 12 和 4 ： 11=12 ： 33,得到大客车：小客车：小轿车=10 ： 12 ： 33o以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收 取小轿车的通行费比大客车多10X33-30X10=30 （元），所以这天通过 的车辆共有210 + 30=7 （组）。这天通过大客车=10X7=70 （辆），小客车=12X7=84 （辆），小轿车=33X7=231 （辆）。百分数百分数有两种不同的定义。（1）分母是100的分数叫做百分
39、数。这种定义着眼于形式，把百 分数作为分数的i种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的 数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分 数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分 号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三 者的关系如下：比较数+标准数=分率（百分数），标准数X分率=比较数，比较数小分率=标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数 有关的应用题。例1纺织厂的女工占全厂人数的80%,一车间的男工占全厂男工的25%。问：-车间的男工占全厂人数的百分之儿?分析
40、与解：因为“女工占全厂人数的80%”，所以男工占全厂人数 的 1-80%=20%。又因为“一车间的男工占全厂男工的25%”，所以一车间的男工占 全厂人数的20%*25%=5%。例2学校去年春季植树500棵，成活率为85%,去年秋季植树的成 活率为90%。已知去年春季比秋季多死了 20棵树，那么去年学校共种 活了多少棵树？分析与解：去年春季种的树活了 500X85% =425 （棵），死了 500-425=75 （棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=55 （棵），活了 55 4- （1-90%） X90% =495 （棵）。所以，去年学校共种活 425+495=920 （棵）。例3 一次考试
41、共有5道试题。做对第1, 2, 3, 4, 5题的人数分别 占参加考试人数的85%, 95%, 90%, 75%, 80%。如果做对三道或三 道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之儿，所以不 妨设总量即参加考试的人数为100o由此得到做错第1题的有100义（1-85%） =15 （人）； 同理可得，做错第2, 3, 4, 5题的分别有5, 10, 25, 20人。总共做错 15+5+10+25+20=75 （题）一人做错3道或3道以上为不及格，由75 + 3=25 (人)，推知至多 有25人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是7
42、5%。例4育红小学四年级学生比三年级学生多25%,五年级学生比四年 级学生少10%,六年级学生比五年级学生多10%。如果六年级学生比三 年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125%, 五年级是三年级的125%X (1-10%),六年级是三年级的125%X (1-10%) X (1+10%) o因为已知六年级比三年级多38人，所以可根 据六年级的人数列方程。解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：xX125%X (1-10%) X (1+10%) =x+38,xX 125% 义90% X 110%=x+38,1.2375x=
43、x+38,0. 2375x=38, x=160o三年级有160名学生 四年级有学生160X125%=200 （名）。五年级有学生200X （1-10%） =180 （名）。六年级有学生160+38=198 （名）。160+200+180+198=738 （名）。答：三至六年级共有学生738名。在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题我们都知道，将糖溶于 水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量 不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖 （溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫 糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒
44、精溶液二 者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本 关系：溶液重量=溶质重量+溶剂重量，溶质含量=溶质重量+溶液重量， 溶液重量=溶质重量+溶质含量,溶质重量=溶液重量X溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶质含量）是菽=1o%。例5有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,需要再加入多少克糖?分析与解：在600克含糖量为7%的糖水中，有糖（溶质）600X7%=42 （克）。设再加x克糖，可使其含糖量加大到10%。此时溶质有（42+x）克,溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程42 + x际川42 + x=（60
45、0 + x） X10%,42 + x = 60 + 0.1x,0.9x = 18,x = 20o需要再加入20克糖。例6仓库运来含水量为90%的一种水果100千克，一星期后再测,发现含水量降低到80%。现在这批水果的总重量是多少千克?分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重100X (1-90%) =10 (千克)。一星期后含水量变为80%, “果”与“水”的比值为果 _1-80% _ 1禾=80%因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为所以总重量是10+40=50 （千克）。商业中的数学市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西 的经历，都知道商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商 品的成本、利润等听起来有些陌生的名词。这讲的