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1、球的表面积与体积（一）教学目标1知识与技能（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.（2）培养学生空间想象能力和思维能力.2过程与方法通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.3情感、态度与价值让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：球的表面积与体积的计算难点：简单组合体的体积计算（三）教学方法讲练结合教学过程教学内容师生互动设计意图新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固探索新知1球的体积：343VR2球的表面积：24SR师：设球的半径为 R，那么它的体积：343VR，它的面
2、积24SR现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什加强对公式的认识培养学生理解能力么特点？生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径 R的三次函数，球的表面积是半径 R的二次函数.师(肯定)：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.典例分析例 1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的23；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.证明：（1）设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为R，高为 2R.因为343VR球，2322VRRR圆柱，教师投影例 1 并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有
3、关量的关键性要素是球的半径）本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.所以，23VV球圆柱.（2）因为24SR球，2224SRRR圆柱侧，所以，S球=S圆柱侧.例 2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）A6:13 B5:14C 3:4 D7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆 O内切于梯形 ABCD.设球的半径为 R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为 r1+r2.AOB=90，OE AB(E为切点)，教师投影例 2 并读题，师：请大家思考
4、一下这道题中组合体的结构特征.生：球内切于圆台.师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和圆台的轴截面.师：圆台的高与球的哪一个量相等？生：球的直径.师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.师：简单几何体的切接问题，通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.R2=OE2=AE BE =r1r2.由已知 S球S圆台侧=4R2(r1+r2)2=3 4(r1+r2)2=216.3RV球V圆台=32211 22431()23Rrr rrR=22222121 22216()3
5、RRrrr rRR6.13故选 A.例 3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果 PA、PB、PC两两垂直且 PA =PB =PC =a，求这个球的体积.解：PA、PB、PC两两垂直，PA =PB =PC =a.以 PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.又P、A、B、C四点是球面上四点，球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径.包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.教师投影例 3 并读题
6、，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于 PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P ABC可以看成一个正方体的一本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要323,2Ra Ra.33443()332VRa332a角，四点 P、A、B、C在球上，所以此球可视为 PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.应用球的性质，可在以后讨论.随堂练习1（1）将一个气球的半径扩大1 倍，它的体积扩大到原来的几倍？（2）一个正方体的顶点都
7、在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.（3）一个球的体积是 100 cm2，试计算它的表面积(取 3.14，结果精确到 1cm2，可用计算器).参考答案：1（1）8 倍；（2）336a cm（3）104.学生独立完成巩固所学知识归纳总结1球的体积和表面积2等积变换3轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.课后作业1.3 第三课时习案学生独立完成固化练习提升能力备用例题例 1已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC =BC =6，AB =4，求球面面积与球的体积【分析】可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心
8、的线段垂直于截面小圆平面【解析】如图，设球心为O，球半径为R，作OO1平面ABC于O1，由于OA=OB=OC=R，则 O1是ABC 的外心设 M是 AB的中点，由于 AC =BC，则 O1CM 设 O1M =x，易知 O1M AB，则 O1A=222x，O1C=CM O1M =2262 x 又O1A=O1C 2222262xx解得7 24x则 O1A=O1B=O1C=9 24在 RtOO1A中，O1O =2R，OO1A=90，OA =R，由勾股定理得2229 2()()24RR解得3 62R故234454,27 63SRVR球面球例 2如图所示棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，
9、PD=a，PA=PC=2a，且 PD是四棱锥的高（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解（2）四棱锥的外接球的球心到 P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可球心 O在过底面中心 E且垂直于底面的垂线上【解析】（1）设此球半径为 R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R 3111333PABCDABCDVSPDa a aa，21122PADPDCSSa aa
10、，212222PABPBCSSaaa，SABCD=a2VP ABCD=VS PDA+VS PDC+V S ABCD+VS PAB+Vs PBC，311()33PADPDCPABPBCABCDaR SSSSS，322222111122()332222aRaaaaa，所以231(22)33Raa，222(1)2222aRaa，即球的最大半径为2(1)2a（2）法一：设 PB的中点为 F因为在 RtPDB 中，FP=FB=FD，在 RtPAB中，FA=FP =FB，在 RtPBC 中，FP=FB =FC，所以 FP=FB=FA =FC =FD 图 43 9 BACDPF图 4310 所以 F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径法二：球心 O在如图 EF上，设 OE =x，EA =22a，222212REAOEaxOA又22221()()22aOPaxDEaxax得即球心 O在 PB中点 F 上【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法