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1、2020 届广州市天河区 2017级高三高考一模考试数学（理）试卷祝考试顺利一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合2|60Ax xx，集合|1Bx x，则()(RABIe)A3，)B(1，3C(1,3)D(3,)2（5 分）设复数z满足(2)34ziiig，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5 分）设等差数列na的前n项和为nS，若28515aaa，则9S等于()A18 B36 C45 D60 4（5 分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命
2、题正确的是()A若/m，/n，则/mnB若，则/C若/m，/n，且m，n，则/D若m，n，且，则mn5（5 分）2521(2)(1)xx的展开式的常数项是()A3B2C2 D3 6（5 分）已知1112xn，122xe，3x满足33xelnx，则下列各选项正确的是()A132xxxB123xxxC213xxxD312xxx7（5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍 如图，是利用算筹表示数1 9的一种方法例如：3 可表示为“”，26 可表示为“”现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1 9这 9 数字表示两位数的个数为(
3、)A13 B14 C15 D16 8（5 分）在矩形ABCD中，3AB，4AD，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为E，则(AE ECuu u r uuu rg)A725B1225C125D144259（5 分）函数2()(1)sin1xf xxe图象的大致形状是()ABCD10（5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A36 B24 C72 D144 11（5 分）已知函数()sin(2)6f xx，若方程3()5f x的解为1x，212(0)xxx，则12sin()(xx)A35B45C23D3312（5
4、分）已知函数244()()xf xklnxkx，4k，)，曲线()yfx上总存在两点1(M x，1)y，2(N x，2)y，使曲线()yf x在M，N两点处的切线互相平行，则12xx的取值范围为()A8(,)5B16(,)5C8,)5D16,)5二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13（5 分）已知数列na满足11a，111(*,2)nnaaanNn，则当1n时，na14 （5 分）设 当x时，函 数()sin3 cosf xxx取 得 最 大 值，则tan()415（5分）已知函数322()f xxaxbxa在1x处有极小值 10，则ab16（5 分）在三棱锥SABC
5、中，2SBSCABBCAC，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥SABC外接球的表面积是三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）在锐角ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且3cos2sin()102AA（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积3 3S，3b求sinC的值18（12分）在等比数列na中，公比(0,1)q，且满足42a，232637225aa aa a（1）求数列na的通项公式；（2）设2lognnba，数列nb的前
6、n项和为nS，当312123nSSSSn取最大值时，求n的值19（12 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为433的菱形，60BCD，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，/EFAB，FBFC，2 33EF（1）求证：OE平面ABCD；（2）若FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值20（12 分）某种规格的矩形瓷砖(600600)mmmm根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg都服从正态分布2(,)N，并把质量在(3,3)uu之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10 片进行检查，求至少有
7、1 片是废品的概率；（）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm、()b mm，则“尺寸误差”()mm为|600|600|ab，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2、0.2，0.5、0.5，1.0（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5 元、6.5 元、5.0 元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100 片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸 误差0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数10 30 30 5 10 5 10
8、（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（）记甲厂该种规格的2 片正品瓷砖卖出的钱数为（元)，求的分布列及数学期望()E（）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求 5 片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36 元的概率附：若 随机 变量Z服从 正态分 布2(,)N，则(33)0.9974pZ；100.99740.9743，40.80.4096，580.3276821（12 分）已知函数()1()af xlnxxa aRx（1）求函数()f x的单调区间；（2）若存在11,xxfxxx使成立，求整数a的最小值（二）选考题：共10
9、 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos3sin(sin3cosxy为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()26（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PAPBg为定值 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数()|1|2|()f xxxmmR（1）若2m时，解不等式()3f x,；（2）若关于x的不等式()|2
10、3|f xx,在0 x，1上有解，求实数m的取值范围2020 届广州市天河区2017 级高三高考一模考试数学（理）参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合2|60Ax xx，集合|1Bx x，则()(RABIe)A3，)B(1，3C(1,3)D(3,)【解答】解：|23Axx，|2RAx x,e或3x，()|33RABx xIe，)故选：A2（5 分）设复数z满足(2)34ziiig，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：设复数zabi，(2)(2
11、)3423ziiaibibg，4a；4a，5b；复数45zi，45zi，复数z在复平面内对应的点位于第二象限故选：B3（5 分）设等差数列na的前n项和为nS，若28515aaa，则9S等于()A18 B36 C45 D60【解答】解：28515aaaQ，55a，9592452Sa故选：C4（5 分）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若/m，/n，则/mnB若，则/C若/m，/n，且m，n，则/D若m，n，且，则mn【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：在A中，若/m，/n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，则与相交或平行
12、，故B错误；在C中，若/m，/n，且m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，且，则线面垂直、面面垂直的性质定理得mn，故D正确故选：D5（5 分）2521(2)(1)xx的展开式的常数项是()A3B2C2 D3【解答】解：第一个因式取2x，第二个因式取21x，可得4451(1)5C；第一个因式取 2，第二个因式取5(1)，可得52(1)22521(2)(1)xx的展开式的常数项是5(2)3故选：D6（5 分）已知1112xn，122xe，3x满足33xelnx，则下列各选项正确的是()A132xxxB123xxxC213xxxD312xxx【解答】解：依题意，因为ylnx为(0,)
13、上的增函数，所以111102xnln；应为xye为R上的增函数，且0 xe，所以1220 xe，01e；3x满足33xelnx，所以30 x，所以30 xe，所以301lnxln，又因为ylnx为(0,)的增函数，所以31x，综上：123xxx故选：B7（5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍 如图，是利用算筹表示数1 9的一种方法例如：3 可表示为“”，26 可表示为“”现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1 9这 9 数字表示两位数的个数为()A13 B14 C15 D16【解答】解：根据题意，现有 6 根算筹，
14、可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合 1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7 中，每组可以表示2 个两位数，则可以表示2714个两位数；数字组合 3、3，7、7，每组可以表示 2个两位数，则可以表示224个两位数；则一共可以表示12416个两位数；故选：D8（5 分）在矩形ABCD中，3AB，4AD，AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为E，则(AE ECuu u r uuu rg)A725B1225C125D14425【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD中，3AB，4AD，则(0,3)A
15、，(0,0)B，(4,0)C，(4,3)D；直线BD的方程为34yx；由AEBD，则直线AE的方程为433yx，即433yx；由34433yxyx，解得36252725xy，36(25E，27)25所以36(25AEuuu r，48)25，64(25ECu uu r，27)25，所以36644827144()()2525252525AE ECuuu r uuu rg故选：D9（5 分）函数2()(1)sin1xf xxe图象的大致形状是()ABCD【解答】解：21()(1)sinsin11xxxef xxxeeg，则111()sin()(sin)sin()111xxxxxxeeefxxxxf
16、xeeeggg，则()f x是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，当1x时，f（1）1sin101eeg，排除A，故选：C10（5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A36 B24 C72 D144【解答】解：根据题意，把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到 2 位男生全排列后形成的3 个空中的 2 个空中，故有22232372A A A种，故选：C11（5 分）已知函数()sin(2)6f xx，若方程3()5f x的解为1x，212(0)xxx，则12sin()(xx)A35B
17、45C23D33【解答】解：因为0 x，112(,)666x，又因为方程3()5f x的解为1x，212(0)xxx，1223xx，2123xx，12112sin()sin(2)cos(2)36xxxx，因为12212,3xxxx，103x，12(,)662x，由113()sin(2)65f xx，得14cos(2)65x，124sin()5xx，故选：B12（5 分）已知函数244()()xf xklnxkx，4k，)，曲线()yfx上总存在两点1(M x，1)y，2(N x，2)y，使曲线()yf x在M，N两点处的切线互相平行，则12xx的取值范围为()A8(,)5B16(,)5C8,)
18、5D16,)5【解答】解：函数244()()xf xklnxkx，导数2414()()1fxkkxxg由题意可得121()()(fxfxx，20 x，且12)xx即有221122444411kkkkxxxx，化为121244()()xxkx xk，而21212()2xxx x，2121244()()()2xxxxkk，化为12164xxkk对4k，)都成立，令4()g kkk，4k，)，24()10g kk，对4k，)恒成立，即()g k在4，)递增，()g kg（4）5，161645kk,，12165xx，即12xx的取值范围是16(5，)故选：B二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分
19、，满分 20 分13（5 分）已知数列na满足11a，111(*,2)nnaaanNn，则当1n时，na12n【解答】解：Q数列na满足11a，111nnaaa*(nN，2)n，则0112a，1222a，2342a，3482a，由此可得当1n时，12nna故答案为：12n14（5 分）设当x时，函数()sin3cosf xxx取得最大值，则tan()423【解答】解：()sin3cos2sin()3f xxxx；Q当x时，函数()f x取得最大值2,32kkz；26k，kz；313tan()tan(2)tan()2346446313k故答案为：2315（5 分）已知函数322()f xxaxb
20、xa在1x处有极小值 10，则ab15【解答】解：2()32fxxaxbQ，Q函数322()f xxaxbxa在1x处有极小值 10，f（1）0，f（1）10，320ab，2110aba，解得4a，11b或3a，3b，当4a，11b时，2()3811(31)(1)fxxxxx，此时1x是极小值点；当3a，3b时，22()3633(1)fxxxx，此时1x不是极小值点4a，11b，15ab故答案：1516（5 分）在三棱锥SABC中，2SBSCABBCAC，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥SABC外接球的表面积是133【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD设G为ABC的中心，O
21、为三棱锥SABC外接球的球心连接OG，OG，OS取SD的中点E，连接OE则OD为棱锥SABC外接球的半径OEDG为矩形22221139(3)(3)326ODDGDE三棱锥SABC外接球的表面积239134()63故答案为：133三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）在锐角ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且3cos2sin()102AA（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积3 3S，3b求sinC的值【解答】解：（1）3c
22、os2sin()102AAQcos2cos10AA，可得：22coscos0AA，解得：1cos2A，或cos0A，ABCQ为锐角三角形，1cos2A，可得：3A（2）113sin3 3222ABCSbcAbcQg，可得：12bc，又3b，可得：4c，在ABC中，由余弦定理可知，22212cos1692342512132abcbcA，13a，在ABC中，由正弦定理可知：sinsinacAC，可得：34sin2 392sin1313cACag18（12分）在等比数列na中，公比(0,1)q，且满足42a，232637225aa aa a（1）求数列na的通项公式；（2）设2lognnba，数列n
23、b的前n项和为nS，当312123nSSSSn取最大值时，求n的值【解答】解：（1）232637225aa aa a，可得2223355352()25aa aaaa，由42a，即312a q，由01q，可得10a，0na，可得355aa，即24115a qa q，由解得1(22q舍去），116a，则15116()22nnnag；（2）22loglog 2nnba55nn，可得219(45)22nnnSnn，92nSnn，则127941222nSSSnn221917117289(4)()2244216nnnnn，可得8n或 9 时，1212nSSSn取最大值 18则n的值为 8 或 919（12
24、 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为433的菱形，60BCD，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，/EFAB，FBFC，2 33EF（1）求证：OE平面ABCD；（2）若FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值【解答】证明：（1）如图，取BC中点G，连接FG，OG，因为FBFC，所以FGBC，又因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，FG平面FBC，所以FG平面ABCD，O，G分别为BD，BC中点，所以/OGAB，12OGAB因为2 3132EFAB，/EFAB，所以四边形EFGO为平行四边形，所以/OEFG，所以OE平面AB
25、CD（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，显然二面角QBCA为锐二面角，设该二面角为，向量(0nr，0，1)是平面ABC的法向量，设平面QBC的法向量(vxr，y，1)，由题意可知sin602FGOEBF，所以(2C，0，0)，(0B，2 33，0)，(0E，0，2)，(1Q，0，1)所以(1BQuuu r，233，1)，(3CQu uu r，0，1)，则00v BQv CQuu u rrguu u rrg，即2 3103310 xyx，所以1(3vr，33，1)，所以|13 13cos|131313n vnvr rgrr20（12 分）某种规
26、格的矩形瓷砖(600600)mmmm根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg都服从正态分布2(,)N，并把质量在(3,3)uu之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10 片进行检查，求至少有1 片是废品的概率；（）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm、()b mm，则“尺寸误差”()mm为|600|600|ab，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2、0.2，0.5、0.5，1.0（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格
27、分别为7.5 元、6.5 元、5.0 元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100 片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸 误差0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数10 30 30 5 10 5 10（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（）记甲厂该种规格的2 片正品瓷砖卖出的钱数为（元)，求的分布列及数学期望()E（）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求 5 片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36 元的概率附：若 随机 变量Z服从 正态分 布2(,)N，则(33)0.997
28、4pZ；100.99740.9743，40.80.4096，580.32768【解答】解：（）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(3,3)uu之内的概率为 0.9974，则这 10 片质量全都在(3,3)uu之内（即没有废品）的概率为100.99740.9743；则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为10.97430.0257；（3 分）（）（）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；则的可能取值为 15，14，12.5，13，11.5，10元；（4 分）计算(15)0.7
29、0.70.49P，(14)0.70.220.28P，(12.5)0.70.120.14P，(13)0.20.20.04P，(11.5)0.20.120.04P，(10)0.10.10.01P，得到的分布列如下：15 14 13 12.5 11.5 10 P0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01（6 分）数学期望为()150.49140.28130.0412.50.1411.50.04100.01E7.353.920.521.750.460.114.1（元)；（8 分）（）设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有n片“优等”品，则有5n片“一级”品，由已知7.56.5(5)36
30、nn，解得3.5n，则n取 4 或 5；故所求的概率为44550.80.20.8PC0.40960.327680.73728（12 分）21（12 分）已知函数()1()af xlnxxa aRx（1）求函数()f x的单调区间；（2）若存在11,xxfxxx使成立，求整数a的最小值【解答】解：（1）由题意可知，0 x，2221()1axxafxxxx，方程20 xxa对应的14a，当140a,，即14a时，当(0,)x时，()0fx,，()f x在(0,)上单调递减；（2 分）当104a时，方程20 xxa的两根为1142a，且114114022aa，此时，()f x在114114(,)22
31、aa上()0fx，函数()f x单调递增，在114114(0,),(,)22aa上()0fx，函数()fx单调递减；（4 分）当0a,时，11402a，11402a，此时当114(0,),()02axfx，()f x单调递增，当114(,)2ax时，()0fx，()f x单调递减；（6 分）综上：当0a,时，114(0,)2ax，()f x单调递增，当114(,)2ax时，()f x单调递减；当104a时，()f x在114114(,)22aa上单调递增，在114114(0,),(,)22aa上单调递减；当14a时，()f x在(0,)上单调递减；（7 分）（2）原式等价于(1)21xaxln
32、xx，即存在1x，使211xlnxxax成立设21()1xlnxxg xx，1x，则22()(1)xlnxg xx，（9 分）设()2h xxlnx，则11()10 xh xxx，()h x在(1,)上单调递增又h（3）332130lnln，h（4）4422220lnln，根据零点存在性定理，可知()h x在(1,)上有唯一零点，设该零点为0 x，则0(3,4)x，且000()20h xxlnx，即002xlnx，0000021()11minx lnxxg xxx（11 分）由题意可知01ax，又0(3,4)x，aZ，a的最小值为 5（12 分）（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23
33、题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程 22（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos3sin(sin3cosxy为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()26（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PAPBg为定值【解答】解：（1）由2222(cos3sin)(sin3cos)4xy，得曲线22:4Cxy直线l的极坐标方程展开为31cossin222，故l的直角坐标方程为340 xy（2）显然P
34、的坐标为(0,4)，不妨设过点P的直线方程为cos(4sinxttyt为参数），代入22:4Cxy得28 sin120tt，设A，B对应的参数为1t，2t所以1 2|12PAPBt tg为定值 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数()|1|2|()f xxxmmR（1）若2m时，解不等式()3f x,；（2）若关于x的不等式()|23|f xx,在0 x，1上有解，求实数m的取值范围【解答】解：（1）若2m时，|1|22|3xx,，当1x,时，原不等式可化为122 3xx,解得43x，所以413x剟，当11x时，原不等式可化为122 3xx,得0 x,，所以10 x,，当1x时，原不等式可化为122 3xx,解得23x,，所以x，综上述：不等式的解集为4|03xx剟；（2）当0 x，1时，由()|23|f xx,得1|2|32xxmx,，即|2|2xmx,，故2 22xxmx剟得223xmx剟，又由题意知：(2)(23)minmaxxmx剟，即32m剟，故m的范围为 3，22020届广东省广州市天河区2017级高三高考一模考试数学（理）试卷