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1、2019-2020 学年北京市西城区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1下列各角中，与27角终边相同的是（）A63B153C207D3872圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A20 cm2B10 cm2C28 cm2D14 cm23（）AsinBcosC sinD cos4设 （，），且，则 （）A或B或C或D或5设，均为单位向量，且，则|+2|（）A3BC6D96下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）Aysin2xBycos2xCytan xDysin7向量，在正方形网格中的位置如图所示，则，（）A45B60C120D1358设
2、 ，（0，），且 ，则下列不等关系中一定成立的是（）Asin sinBsin sinCcos cosDcos cos9将函数f（x）sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（）ABCD10棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则 y 与 x 的函数图象为（）ABCD二、填空题共6小题，每小题4 分，共 24 分。11已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为12在平面直角坐标系xOy 中，角 和角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称 若，则 sin 13向量，满足|1，?
3、1若（），则实数 14已知正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是；球的表面积是15已知函数f（x）给出下列三个结论：f（x）是偶函数；f（x）有且仅有3 个零点；f（x）的值域是 1，1其中，正确结论的序号是16设函数，若对任意的实数x 都成立，则 的最小值为三、解答题共6小题，共76 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17已知，且（）求tan的值；（）求的值18如图，正三棱锥PABC 的底面边长为2，侧棱长为3（）求正三棱锥PABC 的表面积；（）求正三棱锥PABC 的体积19在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，
4、c，且，（）求sinB 的值；（）若，求 ABC 的面积20已知函数（）求f（x）的定义域；（）求f（x）在区间上的最大值；（）求f（x）的单调递减区间21如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为 CC1的中点（）在图中作出平面AD1E 和底面 ABCD 的交线，并说明理由；（）平面AD1E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比22如图，在扇形OAB 中，AOB120，半径OAOB2，P 为弧 AB 上一点（）若OAOP，求的值；（）求的最小值参考答案一、选择题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1下列各角中，与27角终边相同
5、的是（）A63B153C207D387【分析】写出与27终边相同角的集合，取k 值得答案解：与 27角终边相同的角的集合为|27+k?360，k Z，取 k1，可得 387与 27角终边相同的是387故选：D2圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（）A20 cm2B10 cm2C28 cm2D14 cm2【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可解：圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为S侧2 2520（cm2）故选：A3（）AsinBcosC sinD cos【分析】直接利用诱导公式得答案解：cos 故选：B4设 （，），且，则 （）A或B或C或D或【分析】由
6、已知角及范围，结合特殊角的三角函数即可求解解：因为（，），且，则 或故选：A5设，均为单位向量，且，则|+2|（）A3BC6D9【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可解：，均为单位向量，且，则|+2|故选：B6下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）Aysin2xBycos2xCytan xDysin【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论解：在区间（0，）上，2x（0，），ysin2x 没有单调性，故排除A在区间（0，）上，2x（0，），ycos2x 单调递减，故排除B在区间（0，）上，ytan x 单调递增，且其最小正
7、周期为，故 C 正确；根据函数以为最小正周期，y sin的周期为4，可排除D故选：C7向量，在正方形网格中的位置如图所示，则，（）A45B60C120D135【分析】可作，然后根据余弦定理即可求出cosA0，从而可得出B，进而得出的值解：如图，设网格 的一个单位 长度 为1，则，由余弦定理得，A90，且 AB AC，B45，故选：D8设 ，（0，），且 ，则下列不等关系中一定成立的是（）Asin sinBsin sinCcos cosDcos cos【分析】根据正弦函数以及余弦函数在（0，）上的单调性求解即可解：因为，（0，），且 ，而 ysinx 在（0，）上有增有减；ycosx 在（0，）
8、上单调递减；故 sin与 sin大小关系不确定，cos cos成立；故选：C9将函数f（x）sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（）ABCD【分析】由图可知，g（）f（），根据函数图象的平移变化法则可知g（x）sin2（x），于是推出g（）sin2（），即或，k Z，再结合，解之即可得的值解：由图可知，g（）f（）sin（2），因为 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，所以g（x）sin2（x），所以 g（）sin2（）sin（），所以或，k Z，解得 或，k Z，因为，所以 故选：C10棱锥被平行于底面的
9、平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则 y 与 x 的函数图象为（）ABCD【分析】设棱锥的体积为V，则 yVx，即 y 是关于 x 的一次函数，且单调递减，故而得解解：设棱锥的体积为V，则 V 为定值，所以 yVx，即 y 是关于 x 的一次函数，且单调递减，故选：A二、填空题共6小题，每小题4 分，共 24 分。11已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解解：由弧长公式可得l r故答案为：12在平面直角坐标系xOy 中，角 和角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称 若，则 sin【分析】由题意可得sin s
10、in（），由此能求出结果解：在平面直角坐标系xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，sin sin（）sin，故答案为：13向量，满足|1，?1若（），则实数 1【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于的方程，解之即可解：（），（）?0，即 10，解得 1故答案为：114已知正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是2；球的表面积是12【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积解：正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则：（2r）2 22+22
11、+2212，解得 r，故球的直径为2球的表面积为S故答案为：215已知函数f（x）给出下列三个结论：f（x）是偶函数；f（x）有且仅有3 个零点；f（x）的值域是 1，1其中，正确结论的序号是【分析】判断函数的奇偶性判断；求出函数的零点判断；函数的值域判断 解：函数f（x），f（x）是非奇非偶函数，所以 不正确；f（x）0，可得 x，x 0，x，所以函数有且仅有3 个零点；所以 正确；函数 f（x），f（x）的值域是 1，1，正确；正确结论的序号是：故答案为：16设函数，若对任意的实数x 都成立，则 的最小值为2【分析】由题意可得f（x）的最小值为f（），可得+2k，k Z，解方程可得 的最小
12、值解：若对任意的实数x 都成立，可得 f（x）的最小值为f（），可得+2k，k Z，即有 26k，k Z，由 0，可得 的最小值为2，此时 k0故答案为：2三、解答题共6小题，共76 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17已知，且（）求tan的值；（）求的值【分析】（）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin，再由商的关系求得tan；（）直接利用二倍角的正弦及余弦求解解：（），且，sin，则 tan；（）sin，cos，18如图，正三棱锥PABC 的底面边长为2，侧棱长为3（）求正三棱锥PABC 的表面积；（）求正三棱锥PABC 的体积【分析】（）取BC 的中点 D，连接 PD，利
13、用勾股定理求得PD，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥PABC 的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥PABC 的表面积可求；（）连接AD，设 O 为正三角形ABC 的中心，则PO底面 ABC 求解 PO，再由棱锥体积公式求解解：（）取BC 的中点 D，连接 PD，在 Rt PBD 中，可得PD正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，正三棱锥PABC 的侧面积是正三棱锥的底面是边长为2 的正三角形，则正三棱锥PABC 的表面积为；（）连接AD，设 O 为正三角形ABC 的中心，则PO底面 ABC且 OD在 Rt POD 中，PO正三棱锥PABC 的体积为19在 ABC 中，角 A，B，C
14、所对的边分别为a，b，c，且，（）求sinB 的值；（）若，求 ABC 的面积【分析】（）先根据求得 cosA 的值，再由得到，然后根据两角和与差的公式可求得sinB 的值（）由C可求得sinC 的值，进而根据正弦定理可求得a，c 的关系，再由可求出 a，c 的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案解：（）因为，所以由已知得所以（）由（）知C，所以 sinC且由正弦定理得又因为，所以 c5，所以20已知函数（）求f（x）的定义域；（）求f（x）在区间上的最大值；（）求f（x）的单调递减区间【分析】（）由分母不为0，结合辅助角公式和正弦函数的图象可得所求定义域；（）运用二倍角公式和余弦函数的图象
15、和性质，可得所求最大值；（）由余弦函数的递减区间，解不等式可得所求减区间解：（）由sinx+cosx0，可得sin（x+）0，所以 x+k，k Z，即 xk，k Z，所以 f（x）的定义域为x|xk，k Z；（）f（x）cosxsinxcos（x+），因为 0 x，所以x+，则 x+，即 x0 时，f（x）取得最大值1；（）由ycosx 的减区间为 2k，2k+，k Z，可得 2k x+2k+，且 xk，k Z，即为 2k x2k+，k Z，所以 f（x）的减区间为（2k，2k+），k Z21如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为 CC1的中点（）在图中作出平面AD1E 和底面 A
16、BCD 的交线，并说明理由；（）平面AD1E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比【分析】（）在正方形DCC1D1中，直线D1E 与直线 DC 相交，设D1EDCF，连接 AF，可证 F 平面 ABCD 且 F 平面 AD1E，得到平面AD1E平面 ABCD AF；（）设BCAF G，连接 GE，证明 EGAD1，则平面AD1E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGEDAD1设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2求出棱台CGEDAD1的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案解：（）在正方形DCC1D1中，直线D1E 与直线 DC 相交，设 D1EDCF
17、，连接 AF，F DC，DC?平面 ABCD，则 F 平面 ABCD，F D1E，D1E?平面 AD1E，F 平面 AD1E平面 AD1E平面 ABCD AF（）设BCAF G，连接 GE，由 E 为 CC1的中点，得G 为 BC 的中点，EGAD1，则平面AD1E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGEDAD1设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2另一部分几何体的体积为两部分的体积比为7：1722如图，在扇形OAB 中，AOB120，半径OAOB2，P 为弧 AB 上一点（）若OAOP，求的值；（）求的最小值【分析】（）先通过倒角运算得出POB30，APB120，再在 POB 中
18、，由 余 弦 定 理 可 求 得，然 后 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 定 义，代入数据进行运算即可得解；（）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设P（2cos，2sin），其中，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有 的式子表示出，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解解：（）当OAOP 时，如图所示，AOB 120，POB120 90 30，OPB，APB 75+45 120，在 POB 中，由余弦定理，得PB2OB2+OP22OB?OPcosPOB 22+22 222cos30，又，（）以 O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A（2，0），AOB 120，OB2，B（1，），设 P（2cos，2sin），其中，则（22cos，2sin）?（1 2cos，2sin）22cos+4cos22sin+4sin2 2cos 2sin+2 4sin（）+2，sin（），当，即时，取得最小值为2