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1、实变函数论课后答案第一章3（p20-21）第一章第三节1.证明0,1上的全体无理数构成一不可数无穷集合.证明：记0,1上的全体有理数的集合为12,nQr rrLL.0,1全体无理数的集合为R，则 0,1QRU.由于Q是一可数集合，R显然是无穷集合（否则0,1为可数集，QRU是可数集，得矛盾）.故从 P21 定理 7 得 0,1QRRU:.所以R，R为不可数无穷集合.2.证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必存在超越数（即非代数数）.证明：记全体整系数多项式的全体的集合为zP，全体有理多项式的集合为QP.则上节习题3，已知QP是可数集，而zQPP，故zP至多是可数集，z
2、QPP，而zP显然为无穷集合，故zP必为可数集.,0zz mmPPU.任取一,0,zfPm有,z mfP.f的不同零点至多有m个，故全体,z mfP的零点的并至多为无数.（,;0z mfPz fzU至多为可数集，所以全体代数数之集,0;0z mmfPz fzUU也是至多可数集.又,1;1,2,nNnxnL是可数集，110nxxn.带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.3.证明如果a是可数基数，则2ac.证明：一方面对于正整数N的任意子集A，考虑A的示性函数10AAAnnAnnnA当当2NAN的子集所构成的集令0.1,2AAJ AxL则0,1J Ax若J AJ B，则,1,2,ABnn
3、nL故AB（否则0000,10ABnA nBnn）故2N与0,1的一个子集对等（20,1N）另一方面，0,1x.令0;,xAr rx rR（这里0R为0,1中的全体有理数组成的集合）若,0,1xy x y，则由有理数的稠密性，xyAAxA是0R这一与N对等的集合的子集.故0,1与0R的全体子集组成的集合的一个子集对等（00,1R的全体子集组成集的势，即0,120,1N）也就与2N的一个子集对等.由 Berrstein 定理0,12N:所以2ac.4.证明如果ABcU，则,A B中至少一个为c.证明：EABcU，故不妨认为,;01,01Ex yxy，,A B为E的子集.若存在x，01x使得,;0
4、1xAEx yy.则由于xEc（显然0,1xE:）故Ac，而,AE AEc.由 Berrsrein 定理Ac.若,01,xxxEA，则从xEEABU知,;01xBEBx yyII所以,xx yB，则显然,;01xx yx具有势c故易知cBEc由 Berrsrein 定理Bc证毕5.设F是0,1上全体实函数所构成的集合，证明2cF证明：0,1的子集A，作A的示性函数10AxAxxA则映射AAxa规定了0,1的所有子集的集合到0,1上全体实函数所构成的集合的一个对应，且若A，B0,1使得,0,1ABxxx成立则必有AB所以0,12与F的一个子集对等.反过来，任取fxF，,;0,1fAt ftt，fA是f在2R中的图象，是2R中的一个子集.且若,f gF，使fgAA则0,1t，,fgt f tAA表明10,1t使11,t f tt g t1,tt ftg tt故fg.所以F与2R的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从20,1R:知20,122RF即F与0,12的一个子集对等.所以由 Berstein 定理0,122cF.