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1、1 2019 年电大高数基础形考1-4 答案高等数学基础作业一第 1 章函数第 2 章极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等 A.2)()(xxf，xxg)(B.2)(xxf，xxg)(C.3ln)(xxf，xxgln3)(D.1)(xxf，11)(2xxxg设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（C）对称 A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D.xy下列函数中为奇函数是（B）A.)1ln(2xy B.xxycos C.2xxaay D.)1ln(xy下列函数中为基本初等函数是（C）A.1xy B.xy C.2xy D.0,10,1xxy下列极
2、限存计算不正确的是（D）A.12lim22xxx B.0)1ln(lim0 xx C.0sinlimxxx D.01sinlimxxx当0 x时，变量（C）是无穷小量 A.xxsin B.x1 C.xx1sin D.2)ln(x若函数)(xf在点0 x满足（A），则)(xf在点0 x连续。A.)()(lim00 xfxfxx B.)(xf在点0 x的某个邻域内有定义 C.)()(lim00 xfxfxx D.)(lim)(lim00 xfxfxxxx（二）填空题2 函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是|3x x已知函数xxxf2)1(，则)(xfx2-xxxx)211(lim11222
3、11lim(1)lim(1)22xxxxexx若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0 x处连续，则ke 函数0,sin0,1xxxxy的间断点是0 x若Axfxx)(lim0，则当0 xx时，Axf)(称为0 xx时的无穷小量（二）计算题设函数0,0,e)(xxxxfx求：)1(,)0(,)2(fff解：22f，00f，11fee求函数21lgxyx的定义域解：21lgxyx有意义，要求2100 xxx解得1020 xxx或则定义域为1|02x xx或在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：D A R
4、 O h E B C设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h，即 OE=h，下底 CD 2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得2222AEOAOERh则上底2222AERh3 故2222222hSRRhh RRh求xxx2sin3sinlim0解：000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx133122求)1sin(1lim21xxx解：21111(1)(1)11 1limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx求xxx3tanlim0解：000tan3sin31sin311li
5、mlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx求xxxsin11lim20解：22222200011(11)(11)limlimlimsin(11)sin(11)sinxxxxxxxxxxxx020lim0sin1 11(11)xxxxx求xxxx)31(lim解：1143331111(1)(1)1lim()lim()limlim33311(1)(1)3xxxxxxxxxxxexxxexexxx求4586lim224xxxxx解：2244442682422limlimlim54411413xxxxxxxxxxxxx设函数1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf
6、的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点1,1xx处讨论连续性（1）4 1111limlim1limlim11 10 xxxxfxxfxx所以11limlimxxfxfx，即fx在1x处不连续（2）221111limlim2121limlim111xxxxfxxfxxf所以11limlim1xxfxfxf即fx在1x处连续由（1）（2）得fx在除点1x外均连续故fx的连续区间为,11,高等数学基础作业二第 3 章导数与微分（一）单项选择题设0)0(f且极限xxfx)(lim0存在，则xxfx)(lim0（C）A.)0(f B.)0(f C.)(xf D.0cvx设)(xf在0 x可导，则hx
7、fhxfh2)()2(lim000（D）A.)(20 xf B.)(0 xf C.)(20 xf D.)(0 xf设xxfe)(，则xfxfx)1()1(lim0（A）A.e B.e2 C.e21 D.e41设)99()2)(1()(xxxxxf，则)0(f（D）A.99 B.99 C.!99 D.!99下列结论中正确的是（C）A.若)(xf在点0 x有极限，则在点0 x可导B.若)(xf在点0 x连续，则在点0 x可导 C.若)(xf在点0 x可导，则在点0 x有极限 D.若)(xf在点0 x有极限，则在点0 x连续（二）填空题5 设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则)0(f0设x
8、xxfe5e)e(2，则xxfd)(lndxxx5ln2曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是21k曲线xxfsin)(在)1,4(处的切线方程是)41(2222xy设xxy2，则y)ln1(22xxx设xxyln，则yx1（三）计算题求下列函数的导数y：xxxye)3(xxexexy212323)3(xxxylncot2xxxxyln2csc2xxyln2xxxxy2lnln232cosxxyx4)2(cos3)2ln2sin(xxxxyxxxxxysinln2xxxxxxxy22sincos)(ln)21(sinxxxylnsin4xxxxxylncossin43xxxy3sin2xx
9、xxxxxy2233ln3)(sin)2(cos3xxyxlntanexxexeyxx1costan2求下列函数的导数y：21exy2112xxeyx3coslnxy32233tan33cossinxxxxxyxxxy87xy8187xy3xxy6)211()(31213221xxxyxyecos2)2sin(xxeey2ecosxy22sin2xxexeynxxyncossin)sin(sincoscossin1nxxnnxxxnynn2sin5xy2sin25cos5ln2xxxyxy2sinexxey2sin2sin22exxxy222)ln2(xxxexxxxyxxxyeeexexxe
10、eexexexyxx)ln(在下列方程中，是由方程确定的函数，求：yxy2ecosyexyxyy22sincosyexxyy22cossinxyylncosxyxyyy1.cosln.sin)lnsin1(cosxyxyyyxyx2sin2222sin2.cos2yyxyxyyyxyyyxyxyxysin22)cos2(2227 22cos2sin22xyxyyyxyyyxyln1yyy1yyy2elnyxyyyyexy21)2(1yeyxyyyxsine12xxeyyyeyy.sin.cos2yeyyeyxxcos2sin3eeyxyyyeyexy2323yeeyyxyxy252ln25ln
11、5yxyy2ln215ln5yxy求下列函数的微分yd：xxycsccotdxxxxdy)sincoscos1(22xxysinlndxxxxxxdy2sincoslnsin1xxy11arcsin8 dxxxxdxxxxxxdy2222)1(11)1()1()1()11(11311xxy两边对数得：)1ln()1ln(31lnxxy)1111(31xxyy)1111(11313xxxxyxyesin2dxeedxeeedyxxxxx)2sin(sin233etanxyxdxexdxxedyxx2222sec33sec33求下列函数的二阶导数：xxylnxyln1xy1xxysinxxxysi
12、ncosxxxycos2sinxyarctan211xy22)1(2xxy23xy3ln322xxy2233ln23ln3422xxxy（四）证明题设)(xf是可导的奇函数，试证)(xf是偶函数9 证：因为 f(x)是奇函数所以)()(xfxf两边导数得：)()()()1)(xfxfxfxf所以)(xf是偶函数。高等数学基础作业三第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数)(xf满足条件（D），则存在),(ba，使得abafbff)()()(A.在),(ba内连续 B.在),(ba内可导 C.在),(ba内连续且可导 D.在,ba内连续，在),(ba内可导函数14)(2xxxf的单调增加区间是
13、（D）A.)2,(B.)1,1(C.),2(D.),2(函数542xxy在区间)6,6(内满足（A）A.先单调下降再单调上升 B.单调下降 C.先单调上升再单调下降 D.单调上升函数)(xf满足0)(xf的点，一定是)(xf的（C）A.间断点 B.极值点 C.驻点 D.拐点设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，),(0bax，若)(xf满足（C），则)(xf在0 x取到极小值 A.0)(,0)(00 xfxf B.0)(,0)(00 xfxf C.0)(,0)(00 xfxf D.0)(,0)(00 xfxf设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，且0)(,0)(xfxf，则)(xf在此
14、区间内是（A）A.单调减少且是凸的 B.单调减少且是凹的 C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的（二）填空题设)(xf在),(ba内可导，),(0bax，且当0 xx时0)(xf，当0 xx时0)(xf，则0 x是)(xf的极小值点若函数)(xf在点0 x可导，且0 x是)(xf的极值点，则)(0 xf 0 函数)1ln(2xy的单调减少区间是)0,(函数2e)(xxf的单调增加区间是),0(若函数)(xf在,ba内恒有0)(xf，则)(xf在,ba上的最大值是)(af函数3352)(xxxf的拐点是 x=0 （三）计算题求函数2(1)(5)yxx的单调区间和极值10 令)2)(5(2)5
15、(2)1(2xxxxy5,2 xx驻点列表：极大值：27)2(f极小值：0)5(f求函数223yxx在区间3,0内的极值点，并求最大值和最小值令：）xxy驻点(10226)3(f最大值2)1(f最小值试确定函数dcxbxaxy23中的dcba,，使函数图形过点)44,2(和点)10,1(，且2x是驻点，1x是拐点解：bacbadcbadxbb26041201024844241631dcba求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短解：上的点是设xyyxp2),(2，d 为 p 到 A点的距离，则：xxyxd2)2()2(222102)2(12)2(22)2(222xxxxxxxd令。
16、Axy的距离最短到点上点)0,2()2,1(22圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大设园柱体半径为R，高为 h，则体积hhLhRV)(222LhhLhLhLhhV：33303)2(2222令。LRhLR时其体积最大当32,3332X)2,(2(2,5)5),5(y+极大-极小+y上升27下降0上升2)1(6)3(3)0(fff11 一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小设园柱体半径为R，高为 h，则体积2222222RRVRRhShRV表面积33222042VRRVRVRS：令34Vh答：当32VR34Vh时表面积最大。欲做一个底为
17、正方形，容积为立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省解：设底连长为x，高为 h。则：225.625.62xhhx侧面积为：xxxhxS250422令51250250232xxxxS答：当底连长为5 米，高为米时用料最省。（四）证明题当0 x时，证明不等式)1ln(xx证：由中值定理得：)0(1111)1(1ln)1ln()1ln(xxxx）xxxxx时当0()1ln(1)1ln(当0 x时，证明不等式1exx)1()(xexfx设0)0()(00(01)(fxfx）xexfx单调上升且时当时当证毕即)1(,0)(xexfx高等数学基础作业四第 5 章不定积分第 6 章定积分及其应用（一）单项
18、选择题若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（D）A.xln B.21x C.x1 D.32x下列等式成立的是（D）12 A)(d)(xfxxf B.)()(dxfxfC.)(d)(dxfxxf D.)(d)(ddxfxxfx若xxfcos)(，则xxfd)(（B）A.cxsin B.cxcos C.cxsin D.cxcosxxfxxd)(dd32（B）A.)(3xf B.)(32xfx C.)(31xf D.)(313xf若cxFxxf)(d)(，则xxfxd)(1（B）A.cxF)(B.cxF)(2 C.cxF)2(D.cxFx)(1由区间,ba上的两条光滑曲线)(xfy和)(xgy以
19、及两条直线ax和bx所围成的平面区域的面积是（C）A.baxxgxfd)()(B.baxxfxgd)()(C.baxxgxfd)()(D.baxxgxfd)()(（二）填空题函数)(xf的不定积分是dxxf)(若 函 数)(xF与)(xG是 同 一 函数 的 原 函 数，则)(xF与)(xG之 间有 关 系 式）cxGxF常数()()(xxded22xexx d)(tancxtan若cxxxf3cosd)(，则)(xf)3cos(9x335d)21(sinxx3若无穷积分1d1xxp收敛，则0p（三）计算题cxxdxxxx1sin)1(1cosd1cos2cexdexxxxx22decxxdx
20、xxx)ln(ln)(lnln1dln1cxxxxdxxxxxx2sin412cos212cos212cos21d2sin13 e11e121)ln3(21)ln3d()ln3(dln3exxxxxx414141212121de21022102102102eeedxexexxxxxx41221ln2dln2112e1exdxxxxxxeeeeeexedxxxxxxx1121e1212111ln1dln（四）证明题证明：若)(xf在,aa上可积并为奇函数，则0d)(aaxxf证:aaaaaaaadttfdttfdttfdxxftx)()()()(令0)()()(aaaaaadxxfdxxfdxxf证毕证明：若)(xf在,aa上可积并为偶函数，则aaaxxfxxf0d)(2d)(证：aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(aaaxftftfxxftx000)(dt)(dt)(d)(,是偶函数则令证毕aaaaaaaxxfxxfxxfxxfxxfxxf00000d)(2d)(d)(d)(d)(d)(证明：aaaxxfxfxxf0d)()(d)(证：aaaaaaxxfxxfxxfxxfxxf0000d)(d)(d)(d)(d)(=aaaxxfxfxxfxxf000d)()(d)(d)(证毕