《备战2020中考初中数学导练学案50讲—第31讲正多边形与圆(讲练版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2020中考初中数学导练学案50讲—第31讲正多边形与圆(讲练版).pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、备战 2020 中考初中数学导练学案50 讲第 31 讲正多边形与圆【疑难点拨】1.转化是“正多边形与圆”中的灵魂转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。关于正多边形与圆的计算问题。解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。正三角形、正六边形和正八边
2、形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。2.正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主。【基础篇】一、选择题：1.如图，O是正五边形ABCDE的外接圆，则AOB的度数是()A72 B60 C54 D362.（2017 山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）AB 2 CD1 3.若AB是O内接正五边形的一边，AC是O内接正六边形的一边，则BAC等于()A 120 B6 C
3、114 D114或 64.（2017 湖南株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A正三角形 B正方形C正五边形 D 正六边形5.（2017资阳）边长相等的正五边形和正六边形如图2434 所示拼接在一起，则ABC为（）.A 24 B 12 C 45 D 30二、填空题：6.如图，正六边形ABCDEF 内接于 O，O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为7.（2017 毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm28.（2017?玉林）如图，在边长为2 的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD 的周长是三、解答与计算
4、题：9.如图，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点求证：ABFBCG.10.如图所示，已知ABC是O的内接等腰三角形，顶角BAC 36，弦BD，CE分别平分ABC，ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形【能力篇】一、选择题：11.（2016四 川 泸 州）以 半 径 为 1 的 圆 的 内 接 正 三 角 形、正 方 形、正 六 边 形的 边 心 距 为 三 边 作 三 角 形，则 该 三 角 形 的 面 积 是（）ABCD12.（2017?黄石）如图，已知 O为四边形 ABCD 的外接圆，O为圆心，若BCD=120，AB=AD=2，则 O的半径长为（）AB C D13.（
5、2018四川宜宾 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O的半径为 1，若用圆 O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S的值是（）（结果保留根号）A2B C3 D4二、填空题：14.（2017 绥化）半径为2 的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为15.（2017 湖南岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值，设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6 时，=3，那
6、么当n=12 时，=（结果精确到0.01，参考数据：sin15=cos750.259）三、解答与计算题：16.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长17.如图，O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH 的外接圆(1)正方形 ABCD 与正六边形AEFCGH 的边长之比为21；(2)连接 BE，BE是否为O的内接正n 边形的一边？如果是，求出n 的值；如果不是，请说明理由18.如图 9，M，N分别是O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，正n边形ABCDEFG的边AB，BC上的点，且BMCN，连接OM，ON.(1)求图
7、中MON的度数；(2)图中，MON的度数是 _，图中MON的度数是 _；(3)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)【探究篇】19.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).(2)若ABC中AB8 米，AC6 米，BAC90，试求小明家圆形花坛的面积.20.如图，等边三角形ABC、正方形 ABCD、正五边形ABCDE 分别是O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点 M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P
8、.(1)求图中 APB 的度数(2)图中，APB的度数是 _，图中 APB 的度数是 _(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由第 31 讲正多边形与圆【疑难点拨】1.转化是“正多边形与圆”中的灵魂转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。在正多边形与圆的计算中，正多边形的边长、半径、边心距和中心角的有关计算问题，一般转化为解直角三角形问题。下面谈谈正多边形与圆中的转化思想。关于正多边形
9、与圆的计算问题。解决这类问题时，一般应找到由半径、边心距、边长的一半组成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形的问题来解决。正三角形、正六边形和正八边形的有关计算问题，实际上转化为特殊的直角三角形求解，应掌握这种转化思想。2.正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主。【基础篇】一、选择题：1.如图，O是正五边形ABCDE的外接圆，则AOB的度数是()A72 B 60 C 54 D 36 解析 O是正五边形ABCDE
10、的外接圆，AOB360 572.2.（2017 山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）AB 2 CD1【考点】MM：正多边形和圆【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可【解答】解：如图所示，连接OA、OE，AB是小圆的切线，OE AB，四边形ABCD 是正方形，AE=OE，AOE是等腰直角三角形，OE=OA=故选 A3.若AB是O内接正五边形的一边，AC是O内接正六边形的一边，则BAC等于()A 120 B6 C114 D114或 6【解析】【分析】先根据题意画出图形，根据正多边形与圆的关系分别求出中心角AOC=60，AOB=72，再由等边对等角及三
11、角形内角和定理分别求出OAC=54，OAB=54，然后分两种情况进行讨论：AB、AC都在 OA同侧；AB、AC在 OA两侧【详解】如图，连接OA，OB，OC，AB是 O内接正五边形的一边，AC是 O的内接正六边形的一边，AOC=3606=60，AOB=3605=72，OA=OC=OB，OAB=54，OAC=60，若 AB与 AC在 OA的同侧，BAC=OAC-OAB=6，当 AB、AC在 OA两侧时，则BAC=OAC+OAB=54+60=114 BAC=6 或 114故选：D【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，等边对等角及三角形内角和定理，正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键4.（2017
12、 湖南株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A正三角形 B正方形C正五边形 D 正六边形【考点】MM：正多边形和圆【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论【解答】解：正三角形一条边所对的圆心角是3603=120，正方形一条边所对的圆心角是3604=90，正五边形一条边所对的圆心角是3605=72，正六边形一条边所对的圆心角是3606=60，一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选 A5.5.（2017资阳）边长相等的正五边形和正六边形如图2434 所示拼接在一起，则ABC为（）.A 24 B 12 C 45 D 30 解析 正六边形的一个内角16(6 2)1
13、80 120，正五边形的一个内角15(52)180 108，BAC 360(120 108)132.两个正多边形的边长相等，即 AB AC，ABC 12(180 132)24.三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键二、填空题：6.如图，正六边形ABCDEF 内接于 O，O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为3【考点】MM：正多边形和圆【分析】根据正六边形的性质求出BOM，利用余弦的定义计算即可【解答】解：连接OB，六边形ABCDEF 是 O内接正六边形，BOM=30，OM=OB?cos BOM=6=3；故答案为：37.（2017 毕节）正六边形的
14、边长为8cm，则它的面积为96cm2【考点】MM：正多边形和圆【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据COD 的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答【解答】解：如图所示，正六边形ABCD 中，连接OC、OD，过 O作 OE CD；此多边形是正六边形，COD=60；OC=OD，COD 是等边三角形，OE=CE?tan60=4cm，S OCD=CD?OE=84=16cm2S正六边形=6SOCD=616=96cm28.（2017?玉林）如图，在边长为2 的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD 的周长是8+8【考点】MM：正多边形和圆.【分析
15、】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD 一边的长，从而可以求得四边形ABCD 的周长【解答】解：由题意可得，AD=2+2=2+2，四边形ABCD 的周长是：4（2+2）=8+8，故答案为：8+8【点评】本题考查正多边形和圆，解答本三、解答与计算题：9.如图，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点求证：ABFBCG.证明：五边形ABCDE是正五边形，ABBCCD，ABCBCD.F，G分别是BC，CD的中点，BF12BC，CG12CD，BFCG.在ABF和BCG中，ABBC，ABFBCG，BFCG，ABFBCG.10.如图
16、所示，已知ABC是O的内接等腰三角形，顶角BAC 36，弦BD，CE分别平分ABC，ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形证明：ABC 是等腰三角形，且 BAC 36，ABC ACB 72.又BD平分 ABC，CE平分 ACB，ABD CBD BCE ACE 36，即BAC ABD CBD BCE ACE，BCADCDBEAE，A，E，B，C，D是O 的五等分点，五边形AEBCD 是正五边形【能力篇】一、选择题：11.（2016四 川 泸 州）以 半 径 为 1 的 圆 的 内 接 正 三 角 形、正 方 形、正 六 边 形的 边 心 距 为 三 边 作 三 角 形，则 该 三 角 形 的
17、面 积 是（）ABCD【考 点】正 多 边 形 和 圆【分 析】由 于 内 接 正 三 角 形、正 方 形、正 六 边 形 是 特 殊 内 角 的 多 边 形，可 构造 直 角 三 角 形 分 别 求 出 边 心 距 的 长，由 勾 股 定 理 逆 定 理 可 得 该 三 角 形 是 直 角三 角 形，进 而 可 得 其 面 积【解 答】解：如 图 1，OC=1，OD=1 sin30=；如 图 2，OB=1，OE=1 sin45=；如 图 3，OA=1，OD=1 cos30=，则 该 三 角 形 的 三 边 分 别 为：、，（）2+（）2=（）2，该 三 角 形 是 以、为 直 角 边，为 斜
18、 边 的 直 角 三 角 形，该 三 角 形 的 面 积 是=，故 选：D12.（2017?黄石）如图，已知 O为四边形 ABCD 的外接圆，O为圆心，若BCD=120，AB=AD=2，则 O的半径长为（）AB C D【考点】M6：圆内接四边形的性质【分析】连接BD，作 OE AD，连接 OD，先由圆内接四边形的性质求出BAD的度数，再由AD=AB可得出 ABD是等边三角形，则DE=AD，ODE=ADB=30，根据锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：连接BD，作 OE AD，连接 OD，O为四边形ABCD 的外接圆，BCD=120，BAD=60 AD=AB=2，ABD是等边三角形DE=A
19、D=1，ODE=ADB=30，OD=故选 D【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键13.（2018四川宜宾 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O的半径为 1，若用圆 O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S的值是（）（结果保留根号）A2B C3 D4【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识【分析】根据正多边形的定义可得出ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值【解答】解：依照题意画
20、出图象，如图所示六边形ABCDEF 为正六边形，ABO为等边三角形，O的半径为1，OM=1，BM=AM=，AB=，S=6SABO=61=2故答案为：2故选 A。【点评】本题考查了正多边形和圆、二、填空题：14.（2017 绥化）半径为 2 的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：【考点】MM：正多边形和圆【分析】根据题意可以求得半径为2 的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值【解答】解：由题意可得，正三角形的边心距是：2sin30=2=1，正四边形的边心距是：2sin45=2，正六边形的边心距是：2sin60=2，半径为2 的圆内接正三角形，正四边形
21、，正六边形的边心距之比为：1：，故答案为：1：15.（2017 湖南岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值，设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6 时，=3，那么当n=12 时，=3.10 （结果精确到0.01，参考数据：sin15=cos750.259）【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r，d=2r，进而得到=3.10【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成
22、如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为 30，即 O=30，ABO=A=75，作 BC AO于点 C，则 ABC=15，AO=BO=r，BC=r，OC=r，AC=（1）r，Rt ABC中，cosA=，即 0.259=，AB0.517r，L=120.517r=6.207r，又 d=2r，=3.10，故答案为：3.10【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆三、解答与计算题：16.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的内接正三角形ACE的面积为48 3
23、，试求正六边形的周长解：如图，连接OA，作 OH AC于点 H，则 OAH 30.在RtOAH 中，设 OA R，则 OH 12R，由勾股定理可得AH OA2OH2R2（12R）2123R.而ACE的面积是 OAH面积的 6 倍，即 612123R12R48 3，解得 R8，即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.17.如图，O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH 的外接圆(1)正方形 ABCD 与正六边形AEFCGH 的边长之比为21；(2)连接 BE，BE是否为O的内接正n 边形的一边？如果是，求出n 的值；如果不是，请说明理由解：BE是O 的内接正十二边形的一边，理由：连接OA
24、，OB，OE，在正方形ABCD 中，AOB 90，在正六边形AEFCGH 中，AOE 60，BOE 30.n3603012，BE是正十二边形的边18.如图，M，N分别是O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，正n边形ABCDEFG的边AB，BC上的点，且BMCN，连接OM，ON.图 2439(1)求图中MON的度数；(2)图中，MON的度数是 _，图中MON的度数是 _；(3)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)解：(1)方法一：如图，连接OB，OC.图正三角形ABC内接于 O，OBM OCN 30，BOC 120.又BM CN，OB OC，OBM O
25、CN，BOM CON，MON BOC 120.方法二：如图，连接OA，OB.图正三角形ABC内接于 O，ABBC，OAM OBN 30，AOB 120.BM CN，AM BN.又OA OB，AOM BON，AOM BON，MON AOB 120.(2)90 72(3)MON 360n.【探究篇】19.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).(2)若ABC中AB8 米，AC6 米，BAC90，试求小明家圆形花坛的面积.(1)【答案】用尺规作出两边的垂直平分线(2
26、分)作出圆(3 分)O即为所求作的花园的位置(2)【答案】BAC90，AB8 米，AC6 米，BC10 米ABC外接圆的半径为5 米(5 分)小明家圆形花坛的面积为25 平方米.(6分)20.如图，等边三角形ABC、正方形 ABCD、正五边形ABCDE 分别是O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P.(1)求图中 APB 的度数(2)图中，APB的度数是 _，图中 APB 的度数是 _(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由解：(1)点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在圆周上逆时针运动，BAMCBN.又APNBPM，APNBPMABNBAMABNCBNABC60，APB120.(2)90 72(3)能推广到一般的正n边形的情况问题：正n边形ABCD内接于O，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆周上逆时针运动，AM，BN相交于点P，求APB的度数结论：APB的度数为所在多边