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1、2019-2020 年四川省广安市广安中学高二上学期9 月月考数学（文）一、单选题1如图，长方体1111ABCDA B C D中，13,2,1ABBCBB，则线段1BD的长是（）A14B2 7C28 D3 2【答案】A【解析】利用体对角线公式直接计算即可.【详解】2221194114BDABADAA，故选 A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.2如图，O AB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的周长为()A102 13B3 2C10 D12【答案】A【解析】OAB为直角三角形，且6OA，4OB，从而可计算OAB的周长.【详解】因为45A O B，所以90AOB，因为3A O，
2、4B O，所以6AO，4BO，故36162 13AB，所以周长为642 13102 13，故选 A.【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题.3已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（）A.相交的直线B.平行的直线C.异面的直线D.垂直的直线【答案】B【解析】根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案【详解】由题意，直线l是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面内肯定不存在与直线l平行的直线故答案为：B【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题4如图
3、，在正方体中，为的中点，则在该正方体各个面上的正投影（实线部分）可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P，A，C 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即得到在各个面上的投影【详解】从上下方向上看，P AC 的投影为 图所示的情况；从左右方向上看，P AC 的投影为 图所示的情况；从前后方向上看，P AC 的投影为 图所示的情况；故选：A【点睛】本题考查平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图的关键点，如顶点等，再依次连接即可得在平面上的投影图5设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为若，则若，则若，则若，则A.
4、1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】根据面面垂直的定义判断 错误，由面面平行的性质判断错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定 正确【详解】如图正方体，平面是平面，平面是平面，但两直线与不垂直，错；平面是平面，平面是平面，但两直线与不平行，错；直线是直线，直线是直线，满足，但平面与平面不垂直，错；由得，过作平面与平面交于直线，则，于是，正确只有一个命题正确故选 A【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系对一个命题不正确，可只举一例说明即可对正确的命题一般需要证明6三棱锥PABC中，,PAPBPC PO平面,ABC O为垂足，则O是ABC的（）A重心B内心C外心D垂心【答
5、案】C【解析】连接,OA OB OC，可证OAOBOC即O是ABC的外心.【详解】如图，连接,OA OB OC，因为PO平面ABC，AO平面ABC，所以POAO，同理POBO，因为PAPB，POPO，所以Rt POBRt POA，所以OAOB，同理OAOC，故O是ABC的外心.故选C.【点睛】在三棱锥PABC中，如果PAPBPC，那么P在平面ABC内的射影为ABC的外心，如果,PABC PBAC，则那么P在平面ABC内的射影为ABC的垂心.7如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A.34B.2C.3D.4【答案】C【解析】以OB所在直
6、线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得【详解】由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球的半径为1，故半球的表面积为：22223rr故答案为：C【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8已知直三棱柱111ABCA B C的所有棱长都相等，M为11AC的中点，则AM与1BC所成角的余弦值为()A153B53C64D104【答案】D【解析】取AC的中点N，连接1C N，则1/AMC
7、 N,所以异面直线AM与1BC所成角就是直线AM与1C N所成角，在1BNC中，利用余弦定理，即可求解【详解】由题意，取AC的中点N，连接1C N，则1/AMC N,所以异面直线AM与1BC所成角就是直线AM与1C N所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,2 2,3C NBCBN，设直线AM与1C N所成角为，在1BNC中，由余弦定理可得222(5)(2 2)(3)10cos4252 2，即异面直线AM与1BC所成角的余弦值为104，故选 D【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题9如图
8、，在正方体1111ABCDA B C D中，F是棱11A D上的动点下列说法正确的是（）A对任意动点,F在平面11ADD A内不存在与平面CBF平行的直线B对任意动点,F在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C当点F从1A运动到1D的过程中，二面角FBCA的大小不变D当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变大【答案】C【解析】不论F是在11A D任意位置，平面CBF即平面11A D CB，再求解.【详解】因为AD在平面11ADD A内，且平行平面CBF，故A错误；平面CBF即平面11A D CB，又平面11A D CB与平面ABCD斜相交，所以在平面ABCD内不存在与平
9、面CBF垂直的直线，故B 错误；平面CBF即平面11A D CB，平面11A D CB与平面ABCD是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF即平面11A D CB，点D到平面11A D CB的距离为定值，故D 错误.故选 C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF的确定.10如图所示：在正方体1111ABCDA B C D中，设直线1A B与平面11A DCB所成角为1，二面角1ADCA的大小为2，则12，为（）A30 45oo，B45 30oo，C30 60oo，D60 45oo，【答案】A【解析】连结 BC1，交 B1C 于 O，连结 A1O，则BA
10、1O 是直线 A1B 与平面 A1DCB1所成角 1，由 BCDC，B1CDC，知BCB1是二面角A1 DCA 的大小 2，由此能求出结果【详解】连结 BC1，交 B1C 于 O，连结 A1O，在正方体ABCD A1B1C1D1中，BC1B1C，BC1DC，BO平面 A1DCB1，BA1O 是直线 A1B 与平面 A1DCB1所成角 1，BO12A1B，130；BCDC，B1CDC，BCB1是二面角A1DCA 的大小 2，BB1BC，且 BB1 BC，245 故选：A【点睛】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题11如图，网格纸上的小正方形的边长为1
11、，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A32 B16 C323D803【答案】D【解析】根据三视图可知几何体为一个三棱柱111ABCA B C切掉一个三棱锥111CA B D，分别求解出三棱柱和三棱锥的体积，作差即可得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱111ABCAB C切掉一个三棱锥111CA B D如下图所示：则D为1AA中点1 1114 44322ABCA B CV，11111164 24323CA B DV所求几何体体积：11111116803233ABCA B CCA B DVVV本题正确选项：D【点睛】本题考查多面体体积的求解问题，关键是能够通过割补
12、的方式来进行求解.12如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，动点 E 在线段11A C上,F，M 分别是 AD，CD 的中点,则下列结论中错误的是()A11/FMACBBM平面1CC FC三棱锥BCEF的体积为定值D存在点E，使得平面BEF/平面11CC D D【答案】D【解析】根据空间中的平行与垂直关系，和三棱锥的体积公式，对选项中的命题判断其真假性即可【详解】对于 A，连接 AC，易知：11/,/,FMAC ACAC故11/FMAC，正确；对于 B，易知：,90CDFBCMCFDBMCDCFBMC，1,BMCF BMCC,故BM平面1CC F，正确；对于 C，三棱锥BCEF
13、的体积等于三棱锥EBCF的体积,此时 E 点到平面BCF 的距离为 1，底面积为12，故体积为定值，正确；对于 D,BF 与 CD 相交，即平面BEF与平面11CC D D始终有公共点，故二者相交，错误；故选：D【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系的判断和棱锥的体积计算问题，涉及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点（棱锥的顶点）在直线上，而直线与平面（棱锥的底面）平行，这样不论动点怎样移动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值，考查学生的空间想象能力，是综合题二、填空题13已知球的表面积为4，则该球的体积为_【答案】43【解析】先根据球的表面积公式24SR求出半径，再根据体
14、积公式343VR求解.【详解】设球半径为R，则244SR，解得1R，所以34433VR【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.14如图，有一圆锥形粮堆，其正(主)视图是边长为6m 的正ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_m.【答案】3 5【解析】圆锥的底面半径为3m，周长是6 m,展开图中大圆半径为6m，则圆心角为66，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度。则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，BAP=90。在圆锥侧面展开图中2236453 5BP.故小猫经过的最短距离是3 5m.故答案是：3
15、5.15如图，二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且1ABACBD，则CD的长等于 _【答案】2【解析】由已知中二面角 l 等于 120，A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面、内，ACl，BD l，且 ABACBD1，由22()CDCAABBD，结合向量数量积的运算，即可求出CD 的长【详解】A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面、内，ACl，BDl，又二面角 l的平面角等于 120，且 ABACBD1，0CA ABAB BD，CADB，60，1 160CA BDcos22()CDCAABBD2222422=CAABBD
16、CA ABAB BDCA BD|2CD故答案为：2【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用22()CDCAABBD，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键16如图，在棱长为1的正方体1111DABCA B C D中，点,E F分别是棱1,BC CC的中点,P是侧面11BCC B内一点，若1A P平行于平面AEF,则线段1AP长度的取值范围是_.【答案】3 2542，【解析】【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C的中点,M N，连接MN，连接1BC，因为,MN E F为所在棱的中点，所以11/,/MNBCEFBC，所以/MNEF，又MN平面,AEF E
17、F平面AEF，所以/MN平面AEF；因为11/,AANE AANE，所以四边形1AENA为平行四边形，所以1/A NAE，又1A N平面AEF，AE平面AEF，所以1/A N平面AEF，又1A NMNN，所以1/A MN平面AEF，因为P是侧面11BCC B内一点，且1/A P平面AEF，则P必在线段MN上，在直角11A B M中，2221111151()22A MA BB M，同理，在直角11A B N中，求得152A N，所以AMN为等腰三角形，当P在MN中点O时，1A PMN，此时1A P最短，P位于,M N处时1AP最长，222211523 2()()244AOA MOM，1152A
18、MA N，所以线段1A P长度的取值范围是3 2542，.【考点】点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题17已知一圆锥的母线长为10cm，底面圆半径为6cm.（1）求圆锥的高；（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.【答案】（1）8（2）36【解析】(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾
19、股定理，由题意即可求出结果;(2)先设圆锥内切球半径为r,由题意可得2221068rr，求出r,再由球的表面积公式即可得出结果.【详解】（1）据题意知，圆锥的高221068hcm（2）据（1）求解知，圆锥的高为8cm，设圆锥内切球的半径为r，则2221068rr，所以3rcm所以所求球的表面积22244336Srcm.【点睛】本题主要考查简单几何体的计算公式，属于基础题型.18 已知三棱锥PABC中，ABAC，ABAP.若平面分别与棱PAPBBCAC、相交于点,E F G H且PC平面.求证:（1）EHFG；（2）ABFG.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用线面平行
20、的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出EHFG；（2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出ABFG.【详解】证明（1）因为PC平面，平面平面PACEH,PC平面PAC，所以有PCEH,同理可证出PCFG,根据平行公理，可得EHFG；（2）因为ABAC，ABAP，APACA,AP AC平面PAC，所以AB平面PAC,而PC平面PAC,所以ABPC,由（1）可知PCFGEH,所以ABFG.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.19如图，在四棱锥P-A BCD 中，底面 ABCD
21、为平行四边形，平面PAD 平面 ABCD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点.（1）求证：PEBC；（2）求证：EF平面 PCD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1)先证明PE平面ABCD，PEBC 即得证.(2)取PC中点G，连接,FG GD.证明EFGD，再证明EF平面 PCD.【详解】（1）PAPD，且E为AD的中点，PEAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD.BC面ABCD，PEBC.（2）如图，取PC中点G，连接,FG GD.,F G分别为PB和PC的中点，FGBC，且12FGBC.四边形ABCD为平行四边形，且E为A
22、D的中点，1,2EDBC DEBC，EDFG，且EDFG，四边形EFGD为平行四边形，EFGD.又EF平面PCD，GD平面PCD，EF平面PCD.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.20在三棱锥SABC中，,SAAC SAAB ACBC，且5ACBC,5 5SB（1）证明：SCBC；（2）求二面角SBCA的大小【答案】（1）证明见解析；（2）60.【解析】（1）可证 BC 平面 SAC，从而得到BCSC.（2）可证SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角利用解直角的方法可求60SCA.【详解】（1）因为,SAAC SAAB A
23、CABA，所以SA平面ABC，因为BC平面ABC，故SABC，因为,CABC SAACA，故 BC 平面 SAC，因为SC平面 SAC，故 BCSC.（2）BCAC，SCBC，SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角在Rt SCB中，5BC，5 5SB故2210SCSBBC，在Rt SCA中，5,10ACSC，51cos102ACSCASC，因为090SCA，60SCA，即侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角的大小为60【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间
24、直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.21如图，直三棱柱111ABCA B C中，D是BC的中点，四边形11ABB A为正方形。（1）求证：1/AC平面1AB D；（2）若ABC为等边三角形,4BC，求点B到平面1AB D的距离。【答案】（1）见解析；（2）4 55【解析】（1）连接1BA交1AB于E，连接DE；根据三角形中位线可得1/DEAC，再利用线面平行的判定定理可得结论；（2）利用体积桥：11A BB DBAB DVV构造关于所求距离的方程，解方程求得结果.【详解】（1）如图，连接1BA，交1AB于点E，再连接DE由已知得，四
25、边形11ABB A为正方形，E为1AB的中点D是BC的中点1/DEA C又DE平面1AB D，1AC平面1AB D1/A C平面1AB D.（2）在直三棱柱111ABCA B C中，平面XUI平面ABC,且BC为它们的交线又ADBCAD平面11BCC B设点B到平面1AB D的距离为h，由等体积法可得：11A BB DBAB DVV即111 11 1=3 23 2BBBD DAAD DBh即4 233 2 5 h4 55h即点B到平面1AB D的距离为4 55【点睛】本题考查线面平行关系的证明、点到平面距离问题的求解；在求解点到面距离时，经常采用体积桥的方式，将问题转化为三棱锥高的问题的求解，
26、利用体积桥构造方程求得距离.22如图，在三棱锥BACD中，1ABBDCD，3AC，BEAC，CDDE，30DCE.（1）求证：平面BED平面ACD；（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）23【解析】（1）要证平面BDE 平面 ACD，需证 BE面 ACD，由数量关系可得BEDE，则可求证（2）用等体积方法求出C 到面 ABD 的距离，则可求直线AC 与平面 ABD 所成角的正弦值【详解】（1）由已知得2 33CE，3633DEAEBE，又222BEDEBD，BEDE.又BEAC，BE面ACD，BE面BDE，面BDE面ACD.（2）设C到平面ABD的距离为h，由B
27、ACDCABDVV，得1133ACDABDSBESh，则36643334ACDABDSBEhS.设AC与平面ABD所成角为，则2sin3hAC，AC与平面ABD所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了线面角的求法，利用等体积法求三棱锥的高是解题的关键，是基础题23如图，直三棱柱111ABCA B C中，090BAC，ABAC，,D E分别为1AA、1B C的中点.（1）证明：DE平面11BCC B；（2）已知1B C与平面BCD所成的角为030，求二面角1DBCB的余弦值.【答案】（1）见证明（2）22【解析】解法 1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法
28、向量平行证明线面垂直；（2）设ADa，利用1B C与平面BCD所成的角为030得到a的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法 2：（1）取BC中点F，连接AF、EF，易证AF平面11BCC B，再证明DEAF,可得DE平面11BCC B（2）设ADa，利用1B C与平面BCD所成的角为030得到a的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法 3：（1）同解法 2（2）设12AAa，利用三棱锥1BBDC等体积转化，得到1B到面BCD的距离，利用1B C与平面BCD所成的角为30得到1BC与d的关系，解出a，在两个平面分别找出,DF EF垂直于交
29、线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法 1：（1）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz设1AB，ADa，则1,0,0B，0,1,0C，11,0,2Ba，0,0,Da，11,0,2Ba，1 1,2 2Ea，1 1,02 2DE，1,1,0BC，11,1,2BCa因为0DE BC，10DE BC，所以DEBC，1DEB C，BC面11BCC B，1BC面11BCC B，1BCB CB于是DE平面11BCC B（2）设平面BCD的法向量000,nxyz，则0n BC，0n BD，又1,1,0BC，1,0,BDa，故000000 xyxaz，取01x，得11,1
30、,na因为1B C与平面BCD所成的角为30，11,1,2BCa，所以1cos,sin30n B C，11n B CnBC222121242aa，解得22a，1,1,2n由（1）知平面1BCB的法向量1 1,02 2AF，2222211222cos,=21111+2+22n AFn AFnAF，所以二面角1DBCB的余弦值为22解法 2：（1）取BC中点F，连接AF、EF,ABACAFBC，1BB平面ABC，AF平面ABC1BBAF，而BC平面11BCC B,1B B平面11BCC B,1BCB BBAF平面11BCC BE为1B C中点，1EFBB，112EFBB，EFDA，EFDA，四边形
31、ADEF为平行四边形，AFDEDE平面11BCC B（2）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz设1,0,0B，0,1,0C，11,0,2Ba，则0,0,Da，11,0,2Ba，1 1,02 2F设平面BCD的法向量000,nxyz，则0n BC，0n BD，又1,1,0BC，1,0,BDa，故000000 xyxaz，取01x，得11,1,na因为1B C与平面BCD所成的角为30，11,1,2BCa，所以1|cos,)|sin30n BC，11n B CnB C222121242aa，解得22a，1,1,2n由（1）知平面1BCB的法向量1 1,02 2A
32、F，2222211222cos,=21111+2+22n AFn AFnAF所以二面角1DBCB的余弦值为22解法 3：（1）同解法2（2）设1ABAC，12AAa，则2BC，22AF,21BDDCa，22212DFADAFa212122BDCaSBC DF，11122BCBSBBBCa，D到平面1BCB距离22DE，设1B到面BCD距离为d，由11BBDCDBCBVV得11133BCBBDCSDESd，即21212123232aad2221ada因为1B C与平面BCD所成的角为30，所以12222sin3021daB Cda，而在直角三角形1B BC中2221142BCBBBCa，所以22242221aaa，解得22a因为AF平面11BCC B，BC平面11BCC B,所以AFBC，EF平面11BCC B，BC平面11BCC B所以EFBC，所以BC平面DEFA，DF平面DBC,EF平面1B BC所以EFD为二面角1DBCB的平面角，而22DAAF,可得四边形DAFE是正方形，所以45EFD，所以二面角1DBCB的余弦值为22【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.