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1、影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。本文先建立了模型 1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。而后就 怎样选择一个好位子 的问题，建立模型 2，分析了讲堂中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。模型 2 作了巧妙的假设，提出了基本视效 的概念将目标化为单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位
2、满意度高，反之，满意度低。模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。因此模型也更加可信。关键词多 目 标 规 划视 角仰 角几 何基 本 视 效m a t l a b一、问题的背景看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。-1-数学模型期末论文二、问题的提出有效视角是指人的有效
3、视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90，垂直70，考虑双眼余光时的视角大约为水平180，垂直90。观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。经医学实验得知：10以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。20以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。*030，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30之外视力就下降很低了。但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令
4、人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么 曲项向天，
5、着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。考虑到讲堂的 400 个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约2*0 个座位，两侧约各 200 个。由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近 200 个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3 级。-2-数学模型期末论文屏幕座位三、模型的建立模型 1：寻找最优位置显然，最优的位置一定位于讲
6、堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的范围就缩小了，只用考虑一列 14 个座位。1)模型的假设A.假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为的倾斜面（如下图所示）观众屏幕座位B.不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度-3-数学模型期末论文相同。C.不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。D.只从中间部分的座位选择。*.忽略观众头顶到眼睛的距离。F.忽略观众两眼间的距离。*.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。下图为敬文讲堂侧面简图屏幕线a*LH1H-hlds1D敬文讲堂侧视图2)参量变量H：屏幕上边缘到地面的高度h：屏幕的高
7、度H1:最后一排距地面的高度：观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角：观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角：近似座位面与水平面所夹的二面角*：第一排座位与屏幕的水平距离D：最后一排座位与屏幕的水平距离*1：观众眼睛到屏幕的水平距离l：观众所处的座位面上的点到水平面的距离*：观众眼睛到水平面的距离a：观众平均坐高线：观众眼睛所在位置构成的直线-4-数学模型期末论文经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有 14 排13 列，座位与座位之间左右间隔 0.54 米，前后间隔 1 米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：H4h*D18d4a1.1*1312.1*an3/143)
8、模型的求解因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。为达到 视角尽可能大，仰角尽可能小 的目的，就是在线上选择合适的点使得角（+）尽量大，但角尽量小。由于和的变化范围都在-90-90之间，所以可以用函数 arctan 来衡量角的大小。如图 所 示，tan=H-L,tan=L-(H-h)L+h-HH-L。所 以=arc*an，s1s1*1s1=arctanL+h-H（注 意，L+hH 时 为 正），那 么，问 题 进 一 步 转 化 为s1H-LL+h-HH-Larc*a*+arctan尽量大，而 ar*ta*尽量小。而后一目标可简化为s1s1s
9、*-Ls1尽量小，即尽量大。s1H-L用数学语言写为：s1f1(s)=*-*H-LL+h-Hf2(s)=ar*tan+arctans*s1F（s）=*1(*1),f2(s1)T在解的可行域 R 内,求多目标的极值问题可记为：m*x F(s1)s1R这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用 化多为单的方法。下面就用 主目标优化法 对模型进行求解。所谓 主目标法 就是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束条件。进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进-5-数学模型期末论文电影院看电影的原因，而通过调
10、整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。查资料知，当仰角不大于20时，短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。也就是说，视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。所以 f*(*1)为主要目标，f1(s*)降为约束条件f2(s1)tan(2*)。那么问题转化为一个非线性规划：max*2(s1)d s*D*1(s1)t an(*0)在求 f2(s1)极值时，利用 f2(s1)=0,即：H-LL+h-H(ar*ta*)(arctan)=0s1s1H L*2s1s12 01(*
11、L)21(L h H)2s12s12*HH L h 0s1(H*)22s1(L h H)22将 L=（*1-d）*tan+a=(s1-4)*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得3(s1 4)2.93(s1 4)0.11*14 0s1(3(s1*)3(s*4)2 2.9)2s1(*.1)21414用*at*ab 解得 s1=1.62234*-L*+*-H画出 f=(arcta*)(arctan)的图像（见下图）s1s1H-LL+h-*由图像看出 f*(s)=arctan+a*ctan的导数值恒负s1s1-6-数学模型期末论文-0.*1-0.02-0.03-0.04-0.05-0.0*-0
12、.07-*.08-0.09-0.1-0.114*810*21*16进一步，算出各排的视角值排数12*4567视角 35.81*31.*2*26.98823.7*1.03*8.84617.042排数891*11121314视角 15.53314.25713.16712.2*511.40510.68610.*5以及各排的仰角值排数*2*4*67仰角*8.679*0.85*4.80520.07816.331*3.*1310.*42排数8910111*1314仰角 8.78*7.*6145.58874.32043.21772.2*091.39*7视角是依排数递减的，再由约束条件*2(s1)tan(20
13、)，所以应该坐在第*排中央的位子。这是一个有效解。即在所有可行解中找不到比它更好的解。-*-数学模型期末论文4)模型的分析*-LL+h-*f=(arctan)(*rctan)在求导时没有在 4，17 的区间内出现理想s*1零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第 5 排中央，这是一个有效解。下面关心此模型用在正规电影院的情形。广州最豪华的飞扬影城设计采用国际标准，屏幕高 10 米，宽 14 米。而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到最后一行的坡度
14、高达 4.*米。它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从一到十四排的视角为：排数123456*视角 40.66543.8*744.9*344.79643.*7642.276*0.521排数8*10111213*视角 38.65736.7*934.94233.1823*.516*9.*5128.491仰角为：排数1234567仰角 70.1*4*5.06760.*9155.29*0.7294*.43242.425排数8910111213*4仰角 38.71*5.29632.15829.28526.65624.*5222.052得到在此电影院观影，最优位置为第*4 排中央的位置，这主要是由它宽
15、大的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传：最后一排的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种 空中看电影 的感觉。这点验证了模型的合理性。上述数据摘自新快报文章-到天河城 空中看电影。模型 2：寻找好位置最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的位子可以达到一个也算不错的观影效果。-8-数学模型期末论文下图为敬文讲堂俯视图：w屏幕座位区s2W敬文讲堂俯视图这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐
16、在最佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角越大越好，斜角越小越好。于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考虑到对称性，我们只讨论最中间一列位置和它左边区域的位置。而同时讨论水平视角、水平斜角、垂直视角、垂直仰角，就是说有四个目标要优化，无疑使问题得讨论非常复杂，在衡量目标的主次上也会比两两比较困难。所以，为化简问题，我们将四个目标化简为 1 个-基本视效 。定义为：人直视屏幕时，屏幕在人的视野中所占比例。1)模型的假设A.人的观影感受
17、只与视觉感受与颈部舒适度有关。B.忽略人头顶到眼镜的距离，忽略人两眼之间的距离。-9-中轴面数学模型期末论文C.人的有效视野为椎定为20的正 4 棱锥，人只能看见以其眼睛为锥定，锥角为20的 4 棱锥范围内的事物。且忽略围墙和屋顶的阻挡作用（如下图所示）观众L2屏幕座位*.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中垂线上。2)比模型 1 增加的参量、变量w：屏幕宽W：一排座位的总宽度s*：观众眼睛到讲堂中轴面的距离：屏幕所在的区域?：屏幕所在的平面：观众眼睛所在的平面S：视线*棱锥在平面的投影与区域重合部分的面积SP：视线锥在屏幕所在平面的投影面积L2：观众眼
18、睛距屏幕中截面的高度k:基本视效值S SP/测量得 *=3 米W=7 米-10-数学模型期末论文3)模型的解释此模型将人的视线看成光线，于是眼睛被看成一个特殊的光源，只能射出一个正 4 棱锥形的光束，锥角固定为2*。那么，看电影的问题就转化成投影问题。即光源垂直地向屏幕所在的平面?发射光线，最终在?平面上得到一个正方形光区，那么屏幕与光区重合部分在光区中所占比例越大，基本视效越好。依据此思想，建立 3 维直角坐标系，分析此问题。s1*P*os2?*2i如上图，以屏幕的中心为坐标原点 O,建立O；i,j,k 单位右手标架。使向量i,j张成平面?，空间中任一点 A（s*，s1，L2）关于单位右手正
19、交基 i,j,k 的分量就为三元有序实数组（s2，s1，L2）。其中 s2 的几何意义为观众眼睛到讲堂中轴面的距离，s1 的几何意义为观众眼睛到屏幕的水平距离，L*的几何意义为观众眼睛距屏幕中截面的有向高度。观众的眼睛 P 在平面上移动，由模型 1的假设面可以参数化：r=r(s2,s1)=(*2,s1,*-h/*-(s1-d)ta*)，那么当观众眼睛在面上移动时，以 P 为定点的 4 棱锥在空间内做平移运动，图中阴影部分为 4 棱锥在?平面的投影与区域的重合部分，则随点 P 的运动，阴影与投影部分的面积及其二者的比例比值 k 也会发生变化。-11-数学模型期末论文4)模型的求解为使基本视觉效果
20、L2达到最好，则只需在面x1x21.5上找一点 P，使得其对应的*1k 值最大。左图为 s2oL2y2(*2,L*)平面图：*.5空间内一点 P（s2,s1,*2）s2o-1.*在 该 平 面 的 投 影 点 为屏幕（s2,L2），由于只考虑讲堂最中间一列位置和它左-1.*(s*,L2)边 区 域 的 位 置，所 以0 s*3.5,4 s1 17,-1.4 L2 1.5。且投影点只在、象限运动。以 P 点为顶点的上述 4 棱锥在此平面截出一个正方形，其边长为*s1*t*n(10)=1.4*s1,其到屏幕上、下、左、右边的距离为：1.5-L2，L2+*.5，|1.5-s2|,s2+1.5其中,L
21、2=(s1-d)*a*+*-h/2+(*-h)=(s1-4)*3/14+1.*-2.5由此可以给出阴影部分面积计算方法：图中标明了 4 个变量 x1,x2,y1,y*,为正数，表示分别表示投影点到阴影部分，左、右、上、下 4 边的距离：x1=*in|1.5-s2|,0.699*s1x2=mins2+*.5,0.6997*s1y1=min1.5-L2,0.6997*s1*2=m*nL*+1.5,0.6997*s1当 s2 1.5 时阴影部分的面积为 S=（x1+x2）(y1+y2)当 s2*.5 时阴影部分的面积为 S=（x2-x*）(y1+y*)4 棱锥在屏幕所在平面的投影面积为S=（1.4*
22、s1）2P-12-数学模型期末论文S则基本视效 k=SP用 Matlab 软件可计算出有 14 排*3 列，282 个座位的 k 值,下表为中央一列和他右侧共 98 个座位的基本视效值，表格安排与座位安排相同：0.5*094*.570940.42*480.184210000.678370.678370.4*7520.2429*.018352000.749990.700140.4932*0.*63*0.079406*0.80*14*.6*280.50883*.31938*.1299300*.839510.6927*0.*19020.3*5310.1716000.822310.6859*0.*2*
23、040.366150.2*6250.0463600.72*7*.6*7*.506180.36526*.224340.08342300.5*89*0.569*70.45351*.337050.22*580.104*200.503280.503280.410630.312770.21491*.*17050.0191920.4*8830.428830.375070.29169*.2*8310.124*20.041539*.3*9*60.369760.345120.273220.20133*.129430.0*7*340.32210.32210.3195*0.25693*.1*430.131670.0
24、690360.28309*.283*90.283090.2*24*0.18740.132*50.0773040.*50770.2*0*70.*077*.2*9*0.18073*.131*7*.*832*5并画出 14 排*3 列，*82 个座位 k 值的三维图形，可更直观的看出各个座位的观影适合程度，图形中方格的分布与敬文讲堂俯视图中座位的分布相同。其中越突出的地方越适合观影：-1*-数学模型期末论文从上面表格及图形可看出，前 9 排靠近中央的座位都比较适合观影，其中 3到 7 排中央 3 列的座位观影满意度更佳。因此在敬文讲堂看电影时，可优先选择这些位子。且最佳的那 *5 个位子满意度相差不
25、多，选择时不必过度苛求。而对于相对较偏的位子，靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的视觉效果。5)模型的分析我们定义 基本视效 这一标准来衡量座位的优良是有其合理性的。因为观众在观看电影时，视野中屏幕所占的比例越大，视觉效果越好，它与专业上所说的视角越大，视效越好是同理的，只不过一个用的是角度的度量，一个用的是比例系数的度量。当观众的基本视效较小时，他总会通过扭转颈部的方法使基本视效最大化。例如，坐在第一排的观众没有谁是不仰头看电影的，而坐在边上的观众也都不是直视前方的。因此，这一模型就是将视角和仰角整合成一个变量，基本视效 值 k 小既意味着视角不够大，也暗含着，你需要更大地扭转颈部来达到满意的
26、视效，从而要影响观影的舒适度。这样，模型就很好地把一个多目标规划变成了一个单目标的规划。而假设人的水平和垂直有效视角均为20，将人的有效视觉区域看成一个 4棱锥，虽然看似荒唐，但对问题的解决上是不存在太大影响的，因为这是一个比较问题，只需比较座位之中哪个的 基本视效 最大。而采取20，而不是其他角度，是与医学上认为，2*以内能正确识别图形等信息，并称为有效视野相符合的，后来带入程序也验证采用其他角度建立模型，得到的结果并不满意。从模型 2 的结果，光看中央一列的基本视效*值，正好是第 *排达到最优，与模型 1 的结果一致，可以说相互作了验证，模型是合理的。四、参考文献刘来福，曾文艺.数学模型与
27、数学建模.北京师范大学出版社席少霖，赵凤治.最优化计算方法.上海科学技术出版社范玉妹，徐尔，周汉良.数学规划及其应用（第 2 版）.冶金工业出版社-14-数学模型期末论文欧阳崇森.实用最优化技术.湖北科学技术出版社清源计算机工作室.Ma*lab 基础及其应用.机械工业出版社五、心得体会经过了两周的奋战，终于完成了这篇凝聚了自己心血的论文。一周的选题，大海捞针，头晕眼花，一周的写论文，反复推敲，辛酸苦辣。最后近 20 页沉甸甸、思想不是 *trl+C 加 Ct*+V 的论文，还是带给自己非凡的满足感。选题时阶段，无论何时何地，都在想眼前的东西，可不可以建模分析一下，道边的垃圾桶、教九楼的电梯、耳
28、中的音乐、超市发的商品价格最后选择了看电影的题目，还算比较适合自己的能力。初次接触这种多目标规划的题目，首先联想到了微观经济学中学到的效用函数 的概念，后来查找资料，真的有类似的分析方法-权重法。但仔细思考，发现此种方法的主观性太大，不易把握，所以换了一个角度思考，使得模型的准确性更高。特别是模型*的建立，将它转化成一个单目标规划，依据了医学的一些基本原理，提出了大胆的假设，可以说尽量少的掺杂主观成分。开始，模型 2 是用圆锥形来做的，后来在计算上过于复杂，因而改用 4 棱锥。在角度的选择上也费了不少心思，最后还是发现用医学上的有效视野的角度数最合适。模型的结果还是和平时的经验比较符合的，因此
29、对于模型 2 这个灵感迸发，还是十分满意的。写论文过程中，每晚对着电脑，有一种探索的感觉，不知道模型是否合理，所有努力是否会付之东流，只是一步步地前进着，期待着一个满意的结果。其中也出现了反复，因为忘了一种的情况的讨论，而怀疑整个模型的正确性，一时间万念俱灰，因为打错了一个字母，对着短短的程序发了一下午呆，欲哭无泪。所以作完了这次论文，也使自己充分领悟了细心的重要性。总之，感谢这学期开设的数学模型课，让我们体验到了数学的魔力与探索的乐趣，让我对着家教的学生可以讲出数学的万般用处，感谢老师和助教的辛勤辅导，让我们的建模和建算机能力都有了提高。最后对于论文中众多的不足之处，还恳请老师指正。-15-
30、数学模型期末论文附录：附 Matl*b 程序如下：模型 1 程序：建立 M-文件function f=f(s)f=(3*(s-4)/14-3.*)/(s2+(3*(s-4)/14-3.2)2)-(3*(s-4)/14-0.2)/(s2+(3*(s-4)/14-0.2)2)fz*ro(f,4)fplot(f,4,17)建立 M-文件function y=*(x)y=atan(4.3-(x-4)*3/14+1.1)./x)+atan(x-4)*3/14+1.1)-1.*)./x)func*ion y2=y2(x)y2=atan(4.3-(x-4)*/14+1.1)./x)s=4:1:*7；y=y(
31、*);y=y.*180/*.1*Colu*ns 1 through 735.815631.*272*.987823.699*21.029618.846*17.0420Columns 8 through 1415.533214.2*213.166612.225211.*05410.685810.0496y1=*1(s)y1=y*.*180/3.14Columns 1 t*rough 738.679430.858924.80502*.077716.*313*3.313110.8424Columns 8*hrough*48.78987.06*45.58874.32*43.21*72.25*91.39
32、6*建立 M-文件function y3=y3(x)-16-数学模型期末论文y3=a*an(12-(x-4.5)*0.3214+1.1)./x)+a*an(*-4.5)*0.3214+1.1)-3.2)./*)y3=y3(s)y3=Columns 1 th*ough 70.7094*.76510.78490.78*40.76360.73750.*069Columns 8 throu*140.67440.641*0.60950.57880.*4980.52250.4970模型 2 程序：tan(1*3.*4/180)a*s=*.1762k=;s2=linspace(0,3.5,*);s1=4:1:17;fo*i=1:14for j=1:7a=s1(i)b=*2(j)c=(*-4)*/*4+1.1-2.5x1=0.1762*a*2=0.176*ay1=0.1762*y2=0.176*aifabs(1.5-b)x1x1=abs(1.5-b)*nd*f*+1.5x*-17-数学模型期末论文x2=b+1.5e*dif1.5-cy1y1=1.5-ce*di*c+1.5y*y2=1.5+cendif*x=resha*e(k,7,14);*=x*=*i*l*(x)k=y,x*a*3(k)-19-