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1、第1页，共 4 页重庆一中高 2020 级高三下学期期中考试理 科 数 学 试 题 卷第 I 卷（选择题)一、选择题：（本大题12 个小题，每小题 5 分，共 60 分,每小题有且只有一个选项是正确的）.1.已知集合0 1 2 3A，2|230,Bx xx则()RABU e=（）A.(-1,3)B.(-1,3 C.(0,3)D.(0,3 2已知复数z满足i zza i（i为虚数单位），且2z，则正数a的值为（）A.2B.1C.2D.123.已知某超市2019 年中的 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示,则下列说法中，错误的是（）.注：收益=收入-支出A.该超市在2019 年的 12 个
2、月中，7 月份的收益最高；B.该超市在2019 年的 12 个月中，4 月份的收益最低；C.该超市在2019 年 7 月至 12 月的总收益比2109 年 1 月至 6 月的总收益增长了90 万元；D.该超市在2019 年 1 月至 6 月的总收益低于2109 年 7 月至 12 月的总收益.(3 题图)4.冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4,2,1)，最终都会归入“4 21”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪.右边程序（4 题图）框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i（）A.4B.5C.6D.75.在正方体1111ABCDA B C
3、 D中，,E F分别是11,AD C D的中点，O为正方形ABCD的中心，则（）第2页，共 4 页A.直线1,EF OD是异面直线，且1EFODB.直线11,ODB B是异面直线且11ODB BC.直线1,EF OD是相交直线，且1EFODD.直线11,ODB B是相交直线且11ODB B6.等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知2533a aa，且4a与79a的等差中项为2，则5S（）A.1123B.112 C.12127D.121 7.空间直角坐标系中的点(,)P x y z满足,x y z2,4,6，则恰有两个坐标相同的点P有（）A.18个B.12个C.9个D.6个8.“3a”是“1
4、x为函数321()(3)12f xxaxax的极小值点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.函数22()41xxxf x的图像大致为（）A B C D 10.函数()2sin(),(0,)f xx的部分图像如右图所示,且()f x的图像过(,1),(,1)2AB两点,为了得到()2sing xx的图像，只需将()f x的图像（）A.向右平移56B.向左平移56C.向左平移512D.向右平移51211已知,O F分别是双曲线)0,0(1:2222babyaxC的中心和右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于BA,两点（BA,异于原点O），
5、若3ABb，则双曲线C的离心率e为（）A.2B.3C.2 33D.212.已知四棱锥PABCD的棱长都是12，,E F M为,PA PC AB的中点，则经过,E F M的平面截四棱锥PABCD所得截面的面积为（）A.54 2B.45 2C.72D.96第 II 卷（非选择题)第3页，共 4 页二、填空题：（本大题 4个小题，每小题5 分，共 20 分）.13.若(,2),(1,1)axbxrr，若()()ababrrrr，则x14.在第 35 届全国中学生数学冬令营中，某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图05()，89，,xyx yN如下图：已知甲校成绩的中位数、平均分都比乙校成绩的中位数
6、、平均分少1 分，则xy_.15.设数列 na满足*112(1),2nnaannNa，则数列(1)nna的前40 项和是 _.16.已知抛物线22(0)ypx p的焦点F，过其准线与x轴的交点E作直线l，(1)若直线l与抛物线相切于点M，则EMF=_.(2)设6p，若直线l与抛物线交于点,A B，且ABBF，则AFBF=_.三.解答题：（本大题6 个小题，共70 分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17.（本小题满分12 分）设函数2()sin(2)2cos6f xxx.(1)求()f x的单调增区间；(2)在ABC中，若5()2
7、64Af，且102,10,cos4CDDABDABDuuu ruuu r，求BC的值.18.（本小题满分12 分）某次数学测验共有12 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分，不选或选错得0 分.在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9 道题能选对；其余3 道题无法确定正确选项，在这3 道题中，恰有2 道能排除两个错误选项，另 1 题只能排除一个错误选项.若考生甲做这3 道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x(1)求55x的概率；(
8、2)求x的分布列和数学期望19.（本小题满分12 分）如图，在由三棱锥EADF和四棱锥FABCD拼接成的多面体ABCDEF中，AE平面ABCD,平面BCF平面ABCD，且ABCD是边长为2 3的正方形，BCF是正三角形.(1)求证：AE P平面BCF；第4页，共 4 页(2)若多面体ABCDEF的体积为16，求BF与平面DEF所成角的正弦值.20.（本小题满分12 分）已知椭圆C：2221(0)3xybb的右焦点为F，过F作两条直线分别与圆O：222(0)xyrr相切于,A B，且ABF为直角三角形.又知椭圆C上的点与圆O上的点的最大距离为31.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)若不经过点F的
9、直线l：ykxm（其中0,0km）与圆O相切，且直线l与椭圆C交于,P Q，求FPQ的周长.21.（本小题满分12 分）已知函数121()(1),02xf xxaexax x(1)若()f x为单调增函数，求实数a的值;(2)若函数()fx无最小值，求整数a的最小值与最大值之和.请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10 分）选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，直线1l的参数方程为4xtykt，(t为参数)，直线2l的普通方程为1yxk，设1l与2l的交点为P，当k变化时，记点P的轨迹为曲线1C.在以原点O为极点，x轴正半轴
10、为极轴的极坐标系中，直线3l的方程为:sin()24.(1)求曲线1C的普通方程；(2)设点A在3l上，点B在1C上，若直线AB与3l的夹角为4，求AB的最大值.23.（本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲已知0a，0b，23ab(1)求22ab的取值范围；(2)求证：3381416a bab重庆一中高 2020 级高三下学期期中考试理科数学参考答案一.选择题：BACBCD ABACCB;第5页，共 4 页二.填空题：13.114.815.84016.（1）4；（2）12解：(1)2311cos2()sin(2)2cossin2cos226222xf xxxxx 2 分()sin(2)1
11、6fxx 4 分222,26263kxkkxkkZ 5 分()fx的单调增区间为,63kkkZ 6 分（2）由5()264Af115cossin44AA 7 分在ABD中，由正弦定理可得：2sinsinBDADADAABD,2CDDAuuu ruuu r可得4DC 8 分11015610cos44448BDC 10 分在BCD中，由余弦定理可得：210161021043668BCBC 12 分18.解：(1)能排除 2 个选项的试题记为A类试题；设选对一道A类试题为A，则1()2P A 1 分能排除 1 个选项的试题记为B类试题；设选对一道B类试题为B，则1()3P B 2 分该考生选择题得5
12、5 分的概率为：A对 2 道，B对 0 道,则概率为222122()2312C 3 分A对 1 道，B对 1 道,则概率为122112()2312C 4 分则221(55)12123P x 5 分(2)该考生所得分数45,50,55,60 x 6 分022121(45)()236P xC;12022212115(50)()()232312P xCC;022111(60)()2312P xC;9 分（每个概率各1 分）X的分布列为：x45 50 55 60 P 16512131121511155455055606123123Ex.12 分（其中分布列1 分，期望表达式1 分，计算期望1 分）19
13、.证明：（1）设点O为BC中点，BCF是正三角形第6页，共 4 页OFBC，平面ABCD平面BCF，平面ABCD I平面BCFBC,则OF平面ABCD 2 分AE平面ABCDAEOFP，4 分OF平面BCF,AE平面BCFAE P平面BCF 6 分（2）ABCDEFFABCDEADFFABCDFADEVVVVV2111(23)3(2 3)2 316332AE2AE 7分由题意可知，建立如图直角坐标系，8 分ABCD是边长为2 3的正方形，BCF是正三角形.则(23,0,0)(0,2 3,0),(0,0,2)DBE，,(3,23,3)F，(3,2 3,3),(2 3,0,2)DFDEu uu r
14、uuu r 10 分设平面DEF的法向量为(,)nx y zr，则00DFnDE nu uu r ruuu rr(1,1,3)nr，11 分又(3,0,3)BFuuu r,若BFu uu r与平面BEF所成角为，则4 32 5sin552 3n BFnBFruuu rruuu r 12 分20.解：（1）最大距离为31311arr；2 分ABF为直角三角形22crc；3 分又2231bcb；4分圆O的方程为：221xy；椭圆C的方程为：2213xy 5 分（2）ykxm与圆相切：则221mk；6 分设11(,)P xy，22(,)Q xy,由2213xyykxm得222(13)6330kxkm
15、xm 7 分由0，得2231km（），且2121222633,1313kmmxxx xkk 8 分222222312 612 313131kmkkPQkkk 10 分21222 612()2 331kkPFQFae xxk 11 分第7页，共 4 页FPQ的周长为2 3PQPFQF 12 分21.解：(1)1112()()()(1)()0,1,xxfxxa exaxaefxxxa 1 分函数()f x为单调函数1a 3 分经检验，1a，()f x为增函数，故1a适合题意4 分（也可分类讨论）(2)令12()0,1fxxa x，（）当0a时，则(0,1)()0 xfx()f x在(0,1上为减函
16、数(1,)()0 xfx()fx在1,)上为增函数当1x时，()fx有最小值1(1)2f.故0a不适合题意5分（）当1a时，则(0,1)()0 xfx()f x在(0,1上为增函数(1,)()0 xfx()fx在1,)上为增函数()fx在(0,)上为增函数，()fx无最小值，故1a适合题意6分（）当1a时，则(0,1)()0 xfx()f x在(0,1上为增函数(1,)()0 xafx()f x在,1a上为减函数(,)()0 xafx()f x在,)a上为增函数7 分则()f x无最小值，故(0)()ff a21121111(1)022aaaaeeaeae 8 分?(?)=?-1-12?2-(
17、?+1)?-1,?1?(?)=?-1-?-?-1由?(?)=?-1-1 0在(1,+)上恒成立?(?)=?-1-?-?-1在(1,+)上为增 9 分且?(1)=-?-1 0?(?)=0存在唯一的实根?1(1,2)?(?)在(1,?1)上为减；?(?)在(?1,+)上为增 10 分且?(1)=?-42?0,?(2)=?-2-3?0?(?)=0存在唯一的实根?2(2,3),?-1-12?2-(?+1)?-1 0?2 11 分()fx无最小值，21aa,?2(2,3)，综上，21aa，?2(2,3)，aZQ，?+?=1+2=3 12分第8页，共 4 页22.解：（1）直线1l可化为：(4)yk x，
18、代入2l，消去k可得：222(4)40yx xxyx 4分由直线12,l l斜率存在且不为零，则0y，曲线1C的普通方程为：2240(0)xyxy 5 分（2）3:sin()24l为2yx 6分设点B到直线3l的距离为d，则AB与3l的夹角为42ABd 7 分max422 222d 9 分max42 2AB 10 分【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程互化，长度最值.23.解：（1），302b，2 分，4 分当，时，的最小值为，22995ab；5 分（2），当且仅当时，取等号，7 分，9 分时，的最大值为，10 分0a0b23ab320ab222222699(32)51295()555abbbbbb65b3325ab22ab950a0b23ab32 2ab908ab322ab334a bab22(4)ab ab2(2)4ab abab22819(94)94()4()168ababababab98ab334a bab81163381416a bab