高中数学第2章圆锥曲线2.5圆锥曲线的几何性质学案北师大版选修4-1.pdf

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1、精品教案可编辑5圆锥曲线的几何性质1.了解圆锥曲线的形成过程.2.理解圆锥曲线的统一定义.3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.基础初探 教材整理圆锥曲线的统一定义抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹,此时定点称为焦点,定直线称为准线.当e 1 时,轨迹为抛物线;当 0e1 时,轨迹为椭圆;当e 1 时,轨迹为双曲线.1.平面内若动点M到两定点F1,F2的距离和为定值m(m0),则动点M的轨迹是()【导学号:96990050】A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都有可能【解析】当m|F1F2|时,轨迹为椭圆;当m|F1F2|时,轨迹为线段;当

2、m|F1F2|时,轨迹不存在.【答案】D2.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分,则它的离心率为()精品教案可编辑A.2 B.3C.62D.23【解析】由题意知2a2c2c3,c2a23,eca3.【答案】B质疑手记 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问 1:解惑:疑问 2:解惑:疑问 3:解惑:小组合作型 圆锥曲线的几何性质如图2-5-1所示,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆内部一点,且F1AF1F2,椭圆的长轴长为8,焦距为4,M为椭圆上任意一点,求AM2MF2的最小值.图 2-5-1精品教案可编辑【精彩点拨】设法将AM,2MF2转化到一条直线上,才能利

3、用所学的求最值的基本思路,否则不易求.【自主解答】如图所示,l1,l2为椭圆的准线,过M作MNl2于N.eca2c2a4812,MF2eMN12MN,AM2MF2AMMN,故AM2MF2的最小值为A到l2的距离,AF1F1F2,即求F1到l2的距离.延长F1F2交l2于Q,F1Qca2c242210,故AM2MF2的最小值为10.1.本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距离,而转化的依据是圆锥曲线的统一定义.2.两线段和或差的最值问题一般转化成直线上的线段和、差的最值问题;曲面上(球面除外)的最值问题也是转化为平面上的最值问题.再练一题 1.已知双曲线左右两个焦点分别为F1,F2,P

4、是双曲线左支上一点,P点到左准线的距离为d,若d,PF1,PF2成等比数列,求双曲线离心率e的取值范围.【解】如图所示,由题知PF1dPF2PF1e,PF2ePF1,由PF2PF1 2a,精品教案可编辑PF12ae1,根据PF1F1A,2ae1ca,(e1)2 2,1 2e 1 2,又e1,1e 1 2,即双曲线的离心率e的取值范围是1e 1 2.圆锥曲线方程点M(x,n)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:xa2c的距离的比是常数ca(ca0),求点M的轨迹方程.【精彩点拨】表示出点M到定点F和定直线l的距离,直接列关系式求解.【自主解答】设d是点M到直线l的距离.根据题意,所求轨迹就是

5、集合PM|MF|dca,由此得xc2y2xa2cca.化简,得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).设c2a2b2,就可化为x2a2y2b21(a 0,b0).1.解答本题时化简是关键.2.平面直角坐标系也是解决几何问题的重要工具.通过平面直角坐标系可对几何元素进行精品教案可编辑定量的分析.再练一题 2.在平面内,两个定点的距离为8,动点M到两个定点的距离的和为10,求动点M的轨迹方程.【解】以两点的连线段所在的直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立直角坐标系.则由椭圆的定义知,所求动点的轨迹为椭圆.设所求椭圆方程为x2a2y2b21,2a 10,2c 8,a5,c4,则b29,故所求椭圆的方

6、程为x225y291.利用 Dandelin双球研究圆锥曲线问题一个顶角为60 的圆锥面被一个平面所截,如图2-5-2所示,Dandelin双球均在顶点S的下方,且一个半径为1,另一个半径为5,则截线的形状是什么曲线?其离心率是多少?图 2-5-2【精彩点拨】解答本题可先在所给的几何图形中找到椭圆的元素,再利用相应关系研究截线的性质.【自主解答】Dandelin双球均在顶点S的同侧,所以截线为椭圆.设A,B分别是该椭圆的长轴的两个端点,F1,F2分别是其焦点,O1,O2分别为 Dandelin双球中小、大球的球心,C,D分别为截面圆与母线的切点.精品教案可编辑CSO1 30,O1C1,SC3.

7、同理SD53,则CD 43.又BF1BF2BCBDCD,2aBF1BF243,即a23.再延长O1F1交O2D于点G,过O2作O2FF1G交F1G于点F,则O1Fr1r26.又CD43,DSO2 30,O1O28,在 Rt O1O2F中,FO2826227.即 2cF1F2FO2 27,故c7.所以,离心率eca723216.1.解答本题时,先在图形中找出长轴与焦点,然后再求值.2.解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形,然后利用圆锥曲线的定义及性质来解决.再练一题 3.已知圆锥面S,其母线与轴线所成的角为30,在轴线上取一点C,使SC5,通过点C作一截面使它与轴线所成的角为45,截出的圆锥

8、曲线是什么样的图形?求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和.【解】截得的曲线是椭圆.ecos 45cos 30223263.精品教案可编辑设圆锥曲线上任意一点为M,其两焦点分别为F1,F2,如图所示,MF1MF2AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1,内切球O2的半径为R2.SO12R1,CO12R1,SC(22)R1 5,即R15222.SO22R2,CO22R2,SC(22)R2 5,即R25222.O1O2CO1CO22(R1R2)102,ABO1O2cos 30O1O23256,即MF1MF256.探究共研型 圆锥曲线的几何性质探究 1 你能列举几条椭圆的几何性质吗?【提示】

9、(1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线),“六点”(两个焦点、四个顶点).注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为ac,到相应准线的距离为a2cc等).(2)设椭圆方程x2a2y2b21(ab0)上任意一点为P(x,y),则|OP|x2y2x2b2a2a2x2c2x2a2b2a2.axa,x0 时,|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处;当xa时,|OP|有最大值a,这时P在长轴端点处.(3)椭圆上任意一点P(x,y)(y 0)与两焦点F1(c,0),F2(c,0)构成PF1F2称之为焦点三角精品教案可编辑形,周长为2

10、(ac).(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有a2b2c2.探究 2 由双曲线的特征三角形我们可得到什么?【提示】双曲线的特征三角形和椭圆类似,如图中OAB称为双曲线的特征三角形,它几乎包含了双曲线的所有基本特征量:|OA|a,|AB|b,|OB|OF2|c,cos AOBac1e,OB所在的直线即为双曲线的渐近线ybax,又F2在OB上的射影记作G,则|OG|a,|F2G|b(注意:OABOGF2).G的横坐标记作xG,则xGa2c(由射影定理可得),那么过G作y轴的平行线l,显然l为双曲线右焦点F2对应的准线.已知双曲线x29y2161 的右焦点为F1,点A(9

11、,2)不在双曲线上,试在这个曲线上求一点M,使|MA|35|MF1|的值最小,并求出最小值.【精彩点拨】根据双曲线的定义,结合化曲为直的思想,把|MA|与35|MF1|的折线之和转化为共直线的两线段之和.【自主解答】如图所示,l为双曲线的右准线,M为双曲线上任意一点,作MNl于N,根据双曲线的定义,e|MF1|MN|53.则|MN|35|MF1|,因此|MA|35|MF1|MA|MN|,当A,M,N三点共线时,即点M坐标为352,2时,|MA|35|MF1|取最小值为|AN|995365.精品教案可编辑构建体系 1.如果方程x2ky22 表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(

12、0,)B.(0,2)C.(1,)D.(0,1)【解析】将所给方程x2ky22 转化为标准形式,即x22y22k1,因为焦点在y轴上,所以有2k2,于是 0k 1.【答案】D2.平面内与圆C:(x2)2y2 1 外切,且与直线x1 相切的动圆圆心M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由题意知动点M到定点(2,0)和到定直线x2 的距离相等,故选D.【答案】D3.设P是椭圆上任意一点,F1为其左焦点,已知椭圆的长轴长10,焦距为6,则PF1的最小值为 _.精品教案可编辑【导学号:96990051】【解析】由题意知a5,c3,所以PF1的最小值为ac2.【答案】24.已知双曲线的左

13、、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF14PF2,则离心率的最大值为_.【解析】PF14PF2,又|PF1PF2 2a,3PF22a,PF22a3,又PF2ca,2a3ca,c53a,e53.【答案】535.如图 2-5-3所示,已知椭圆的左右两个焦点分别为F1,F2,且椭圆的长轴长为10,焦距为 6,P为椭圆上一点,且满足cos F1PF213,求F1PF2的面积.图 2-5-3【解】由椭圆的定义,PF1PF210,在F1PF2中,由余弦定理得F1F22PF21PF222PF1PF2 cos F1PF2,即PF21PF2223PF1PF236,2整理得PF1PF224,精品教案可编辑因此SF1PF212PF1PF2 sinF1PF212 24 113282.我还有这些不足:(1)(2)我的课下提升方案:(1)(2)

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