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1、均值定理的拓广在高中数学教材中，均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节，且在每年的高考题中常考常新，其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现，在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。高中教材中对均值定理的叙述是：（1）定理：如果 a、b是正数，那么（当且仅当 a=b 时取“”号）（2）定理：如果 a、b、c 是正数，那么（当且仅当 a=b=c 时取“”号）我们称（）为 a、b（a、b、c）的算术平均数，称（）为 a、b(a、b、c)的几何平均数，因而这一定理又可叙述为“两个（或三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。”事
2、实上，由数学归纳法可把这一定理拓广为“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。用均值不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一个重点，在运用均值定理求函数的最大（小）值时，往往需要掌握“凑”（凑项、凑因子）的技巧，其目的（一）是创造一个应用不等式的情境；（二）是使等号成立的条件。例 1边长为的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若，则 S与的大小关系是（）A.B.C.D.不确定（1986 年全国高中数学联赛题）解：在三角形中，由正弦定理和面积公式可得，又，不可能成立故上式取不到等号，即，故选 C 例 2若正数满足，则的取值范围是（1999 年全国高考题第 15 题）解：，（舍去）或然而有
3、些题由于解析式自然，从形态上看根本凑不出定值，或虽凑出定值而其等号又不能成立，对于这样的题目，学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。这时就常需对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足均值定理要求的“正、定、等”条件后方可用之，故对变形能力的要求较高。但若把均值定理拓广为下述“含参均值定理”，那么便可避免复杂变形的情况。含参均值定理的叙述是：如果 a,b,c,参数，那么（1）（当且仅当时取“”号）；（2）（当且仅当时取“”号）；（3）（当且仅当时取“”号）。正参数由“值定，可等”确定。这样可使原来不能同时成立的条件得到满足，从而求出最值。例 1求函数的最大值。解：设则当且仅当即
4、时取等号，此时。若所含因子仅幂次不同，则不需增加参数的个数。例 2求的最大值。解：设则当且仅当即时取等号，此时。类似地可求得函数的最大值为。用上面的方法还可解决某些如不同号，一类函数的最值问题。例 3求函数的最小值。解：设，则当且仅当即时取等号，此时可求得。依照上例还可拓广为求某些形如与且的函数的最值问题。当函数的解析式变量多、项数多、系数无一定规律时，如果直接用均值定理求其最大（小）值一般较为困难，此时便可通过“设参、定参”，并把表达式进行适当的化分或重组，创设使用含参均值定量的情景，然后利用含参均值定理加以解决。例 4已知，求的最小值。解：设(1)(2)由(1)(2)得，为使该式左端作为目
5、标函数的分子，须令，解得，于是有，故，即的最小值为。例 5（1997年全国高考题第22题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 a 元。(1)把全程运输成本y（元）表示为速度 v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车以多大速度行驶？解：（1）依题意可知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为：，故所求函数及其定义域为：。(2)若，（当且仅当时取等号）时，。若，设，当且仅当即
6、时两处等号同时成立，时，取得最小值，此时。综上，为使全程运输成本最小，当时，行驶速度为千米/小时；当时，行驶速度为千米/时。由以上各处例子可以看出，在均值定理中适当地增加参数，使其拓广为含参均值定理，可使条件与结论间的联系得以加强，使均值定理的应用更加如虎添翼，更简捷明快地解决某些难度较大的函数最值问题。解简单的不等式1 解不等式：(x2 x+1)(x+1)(x 4)(6 x)0 解：对于任何实数x，x2x+10恒成立，所以原不等式等价于：(x+1)(x 4)(6 x)0(x+1)(x 4)(x 6)0 所以原不等式的解为：x1 或 4x6 2 解不等式：0解：原不等式即0 它相当于(2x+1
7、)(x-3)(4x+3)(x-4)0 x或 3x4 3 解不等式：|x 5|2x+3|1 解法一：当 x时，5x+2x+31 x 7 当x5时，5 x2x31 此时不等式的解为：当 x5 时，x52x3 9,x5由可知原不等式的解集为：即 x。解法二：原不等式化为:|x 5|2x+3|+1两边平方得：x210 x+25 3x222x+15 4x+63x222x+15 3x+26x90 x 或 4x+60 x1 原不等式的解集为：即：x 4 已知不等式与不等式同解，解不等式。解：，的解为 中 解由题意 代入所求：5 (1998 年全国高考)设 ab，解关于 x 的不等式 a2x+b2(1-x)a
8、x+b(1-x)2.解析将原不等式化为 (a2-b2)x-b2(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2，移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)0，ab 即(a-b)20，x2-x0，即 x(x-1)0.解此不等式，得解集x|0 x1.6 (1995 年全国高考)的解集是 _.解析这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式即，也就是 x2-2x-80，解得-2x4.故原不等式的解集为 x|-2x0（1）当 a1时，解为 xa（2）当 a=1时，解为 xR 且 x1（3）当 a1时，解为 x1 例 2.解：例 3 若 a0,解不等式 x+
9、2a(+1).解析怎样对参数 a 进行分类讨论？必须先对原不等式等价变形：x+2a(+1)0 x(x+2)(x a)0.于是得到必须将 a 与-2,0 进行比较分类：当 a0 时，解集为x|x 2 或 0 xa 当 2a0 时，解集为x|x 2 或 ax0 当 a=2 时，解集为x|x 0 且 x 2 当 a2 时，解集为x|x a 或2x0 例 4 解关于 x 的不等式：(m+1)x24x+10(mR)分析：此题是含参数m的不等式，首先应根据m+1是否取 0确定原不等式是一元一次不等式还是一元二次不等式；若m+1不等于零，还要按 m+1的值为正或负及关于 x 的二次三项式的判别式的符号为分类
10、标准对m取一切实数的情形进行分类，求出原不等式的解.解：当 m=1 时，4x+10 x当 m 1 时，=164(m+1)=4(3m),当 m 3 时，方程(m+1)x24x+1=0才有解下面以 m与1 和 3 的大小关系作为分类标准来讨论：当 m 1 时，m+10，且 此时原不等式的解集为：(,+)当 1m0 且此时原不等式的解集为：,当 m=3时，解集为：当 m3时，解集为空集.例 5.解：原不等式等价于例 6 (2000 年全国高考题)设函数，其中.（）解不等式1；(2)略.解析不等式即，由此得，即，其中常数.所以，原不等式等价于即所以，当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的解集为.
11、解抽象函数型不等式所谓抽象函数型不等式，即不等式与一个抽象函数有关，同时已知抽象函数的定义域、奇偶性或单调性等.这一类不等式的解法是先根据单调性去掉函数符号，转化为一般不等式来解，但一定要注意定义域.例 15 设 f(x)是定义域为(-，0)(0，+)的奇函数，且在(0，+)上为增函数.若 f(1)=0，解关于 x 的不等式 floga(1-x2)+10，其中 a1.解析由于 f(x)是奇函数，且在(0，+)上为增函数，所以它在(-，0)上也为增函数.又由于 f(1)=f(-1)=0.于是原不等式等价于或由得 x20，所以解集为；由解得.故原不等式的解集为 x|或.例 16 已知偶函数 f(x
12、)在上是增函数，求解不等式f(2x+5)f(x2+2).解析由题意知 f(x)在上单调递增，在上单调递减.由偶函数定义知不等式f(2x+5)f(x2+2)即 f(|2x+5|)f(|x2+2|)，也就是|2x+5|3；解(2)得.故原不等式的解集为.例 17 已知函数 f(x)是定义在上的函数，且 f(1)=1，f(-x)=-f(x)，若 a、b，a+b0，有.试解不等式.解析先要由已知条件判断函数f(x)的单调性，因为当x时，f(1)=1，f(-x)=-f(x)，所以 f(x)在上是奇函数，且令中 b 为-b，得，从而知函数 f(x)在上为增函数，于是，故原不等式的解集为.求参数的值或范围已
13、知含参不等式的解集，求参数的值或范围也是高考中不等式问题中的一种常见题型.基本解法是先将参数看成常数，按常规方法来解不等式，然后再根据所给定的解集求出参数的值或范围.例 19)若不等式的解集为（1，2），则实数 a 等于（）.A8 B2 C4 D8 解析原不等式两边平方后可化为a2x2+4ax-320 且，解得 a=.例 6 不等式的解为，求、解：，恒为正 得依题意的根为，1 不等式恒成立问题容易证明如下结论：若函数在D上存在离大值 f(x)(或最小值 f(x)，则对一切 x D不等式 f(x)A（或 f(x)B）恒成立当且仅当f(x)A（或 f(x)B）。应用这一结论处理不等式恒成立问题很方
14、便，现举例说明。例 1 求使不等式 sin xacosx a 1cosx 对一切 x R恒成立的负数 a 的取值范围。解：原不等即 cos x（1a）cosxa 0(*)令 cosx=t，由 x R知 t-1，1，于是(*)对一切 x R恒成立当且仅当f(t)=t（1a）a 0(*)对一切 t-1，1 恒成立，其充要条件f(t)在-1，1 上的最大值 f(t)0,而 f(t)=f(1)或 f(-1)，因此(*)对一切 t-1，1 恒成立当且a-2 故所求的 a 的范围为(-,-2.例 2 定义在 R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数 m的取值范围.分析:利用函数的单调性和
15、奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0 在给定区间 a，b 上恒成立问题可以转化成为在a，b 上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。【解析】由得到：t=m 因为为奇函数，故有恒成立，又因为为 R减函数，从而有对恒成立t=m 设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.当时，即，又t=m(如图 1)当，即时,即,又,(如图 2)当时，恒成立.(如图 3)故由可知：.例 3.若不等式 2x-1m(x2-1)对满足-2m 2 的所有 m都成立，求 x 的取值范围。分析：从表面上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，实质上可看作是关于 m的一元一次不等式，并且已知它的解集为2，2，求参数 x 的取值范围，这是一种“转换主元”的思想方法。解：原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)0 4 函数。解：例 5(1990 年上海高考题)设 A=x|x-|,B=x|x-3(a+1)x+2(3a+1)0,求使 A B的 a 的取值范围。解：易得 A=2a,a 1.记 f(x)=x-3(a+1)x+2(3a+1),则 A B当且仅当对 x A，f(x)0 恒成立，其充要条件是 f(x)在 A上的最大值不大于零。而 f(x)在 A上的最大值为 f(2a)或 f(a 1)。因而a=-1 或 1 a 3.故工的范围为 1,3 -1.