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1、第 1 页 共 6 页2021 年人教 A 版高中数学必修第一册4.5.3 函数模型的应用本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。课程目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.数学学科素养1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；3.数学运算：解答数学问题,求得结果；4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；5.数学建模：借
2、助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题.重点：利用函数模型解决实际问题；难点：数模型的构造与对数据的处理教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课第 2 页 共 6 页阅读课本148-150 页，思考并完成以下问题1.常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？2.解决
3、实际问题的基本过程是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.常见的数学模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b 为常数,k0);(2)反比例函数模型:f(x)=?+b(k,b 为常数,k 0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,且b1);(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,且a1);(6)幂函数模型
4、:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n1);(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?(1)审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模 将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模 求解数学模型，得出数学模型；(4)还原 将数学结论还原为实际问题四、典例分析、举一反三题型一一次函数与二次函数模型的应用例 1 某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果,假设每箱售价不得低于50 元且不得高于55 元.市场调查发现,若每箱以
5、50 元的价格销售,平均每天销售90 箱.价格每提高1 元,平均每天少销售3 箱.求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】y=-3x+240(50 x 55,x N).w=-3x2+360 x-9 600(50 x 55,xN).当每箱苹果的售价为55 元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125 元.【解析】根据题意,得 y=90-3(x-50),化简,得 y=-3x+240(50 x 55,xN).因为该批发商平均每天
6、的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以 w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360 x-9 600(50 x 55,xN).因为 w=-3x2+360 x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当 x60 时,w 随 x 的增大而增大.又 50 x 55,xN,所以当 x=55 时,w 有最大值,最大值为 1 125.第 3 页 共 6 页所以当每箱苹果的售价为55 元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125 元.解题技巧：（一次、二次函数模型的应用）1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或 0).解答时,注意系数 a 的正负,
7、也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20 元,茶杯每个5 元,该商店推出两种优惠办法:买一个茶壶赠一个茶杯;按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于 4 个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?【答案】当4x3
8、4 时,y134 时,y1y2,优惠办法更省钱.【解析】由优惠办法可得函数解析式为y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且 x N).优惠办法可得y2=(5x+20 4)92%=4.6x+73.6(x 4,且 xN).y1-y2=0.4x-13.6(x 4,且 xN),令 y1-y2=0,得 x=34.所以,当购买 34 个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当 4x34 时,y134 时,y1y2,优惠办法更省钱.题型二分段函数模型的应用例 2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5 万元,此外每生产100 件这种产品还需要增加投资0.25 万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为
9、500 件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?第 4 页 共 6 页【答案】(1)f(x)=-12?2+4.75?-0.5(0 5).(2)当年产量为 475件时,当年所得利润最大.【解析】(1)当05时,产品只能售出 500件.所以,f(x)=(5?-12?2)-(0.5+0.25?)(0 5),即 f(x)=-12?2+4.75?-0.5(0 5).(2)当 05 时,f(x)5.(2
10、)当工厂生产4 百台时,可使盈利最大为3.6 万元.【解析】解:(1)由题意得G(x)=2.8+x.f(x)=R(x)-G(x)=-0.4?2+3.2?-2.8,0?5,8.2-?,?5.(2)当 x 5 时,函数 f(x)单调递减,f(x)5.第 5 页 共 6 页为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 22.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?【答案】(1)1-(12)110.(2)到今年为止,已砍伐了5 年.(3)今后最多还能砍伐15 年.【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x
11、(0 x 1),则 a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得 x=1-(12)110.(2)设经过 m年剩余面积为原来的 22,则 a(1-x)m=22a,即(12)?10=(12)12,?10=12,解得 m=5,故到今年为止,已砍伐了5 年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n 年,则 n 年后剩余面积为 22a(1-x)n.令 22a(1-x)n14a,即(1-x)n 24,(12)?10(12)32,?1032,解得 n15.故今后最多还能砍伐15 年.解题技巧：（指数或对数函数模型注意事项）1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N (
12、1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型.跟踪训练三1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v 与 log3100Q成正比,且当 Q=900 时,v=1.(1)求出 v 关于 Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?【答案】(1)v 关于 Q的函数解析式为v=12log3?100.(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m
13、/s时的耗氧量为2 700 个单位.(3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9 倍.【解析】(1)设 v=k log3?100,当 Q=900 时,v=1,1=k log3900100,k=12.故 v 关于 Q的函数解析式为v=12log3?100.(2)令 v=1.5,则 1.5=12log3?100,解得 Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700 个单位.第 6 页 共 6 页(3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v2,由题意知 v2-v1=1,即12log3?2100-12log3?1100=1.12log3?2?1=1,?2?1=9,即 Q2=9Q1.故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9 倍.四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本 155 页习题 4.5.本节通过一些函数模型的实例，让学生初步掌握运用函数与方程的思想解决实际问题的步骤：审题、建模、求模、还原4.5.3 函数模型的应用1.常见模型例 1 例 2 例 3 2.实际问题解题步骤