《2020届黑龙江省实验校高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届黑龙江省实验校高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版).pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 21 页2020 届黑龙江省实验校高三第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1已知集合1,1,2,3,4,5A，|(1)(5)0BxxxN，则AB（）A3B2,3C2,3,5D 1,1,5【答案】D【解析】根据补集的定义直接求解即可.【详解】|(1)(5)02,3,4BxxxN，所以1,1,5AB.故选：D.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2已知平面，直线,m n满足,mn，则“/m n”是“/m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据线面平行的判定定理和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由,
2、mn，/m n，则由线面平行的判定定理得/m由/m不能得出m与内任意直线平行，则/m不能得出/m n即“/m n”是“/m”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，涉及了线面平行的判定定理和性质的应用，属于基础题.3假设i为虚数单位，复数21izi，则在复平面中，z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】先化简复数，得出点的坐标，即得.第 2 页 共 21 页【详解】由题，2(2)(1)1(1)(1)iiiziii223231122iiii，则 z对应的点位于第三象限.故选：C【点睛】本题考查复数的运算法则和几何意义，属于基础题.4
3、已知tan2，5cos43sin4（）A3 B 1 C1D3【答案】A【解析】先根据两角和差的正余弦公式展开计算，然后利用“弦化切”进行计算即可.【详解】55522coscoscossinsincossincossin44422333sincos22sincoscossinsinsincos444221tan3tan1.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的变换及求值，考查计算能力，属于常考题.5等比数列na的前n项和为nS，且14a，22a，3a成等差数列，若11a，则4s（）A7B 8C15D16【答案】C【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等
4、比数列前n 项和公式【考点】1等比数列通项公式及前n 项和公式；2等差中项第 3 页 共 21 页6函数22xfxxx e的图象大致为()ABCD【答案】B【解析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可.【详解】易知fx定义域为R，2222xxfxxxexx efx，fx为偶函数，关于y轴对称，排除 C，又21112fee，排除 A 和 D.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.7已知532()231f xxxxx，应用秦九韶算法计算3x时的值时，3v的值为()A27 B 11 C109 D36【答案】D【解析】【详解】由秦九韶算法可得532
5、231?02311,fxxxxxxxxxx第 4 页 共 21 页0111303233211311 3336故答案选D 8已知数列1111,124nnnaaana，则 a2020=（）A45B14C 3 D15【答案】B【解析】根据题干所给的递推关系得到数列的周期为3，进而得到a2020=1a=14.【详解】数列na，满足1112nnana，因为114a故得到2111aa=-3，再代入得到3211aa=43，431114aa，54113aa，进而可以发现数列是有周期的，周期为3，2020=673 3+1，故 a2020=1a=14.故答案为B.【点睛】这个题目考查了数列通项公式的求法，即通过数
6、列的递推关系找到数列的通项，或者通过配凑新数列进而求出通项，或者通过找规律找到数列的周期性，进而求出特定项的值.9某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A254B643C25D32【答案】B【解析】根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图，AB平面,PAC第 5 页 共 21 页且2,4PAPCACAB得到球心在过PAC外心且与AB平行的线段上，且到底面的距离是AB的一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解.【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥BPAC，其中AB平面,2,4PAC PAPCACAB.设外接球的半径为,RPAC外接圆的半径2
7、33r，则2221623Rr，所以外接球的表面积26443SR.故选：B.【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可10已知71()xx展开式中，5x的系数为a，则62axdx（）A10 B 11 C12 D13【答案】D【解析】利用二项式的通项公式求得7a，从而求得762xdx的值.【详解】在71()xx展开式中，得二项式的通项公式77 21771rrrrrrTCxCxx，令725r，解得1r，所以5x的系数为177C，即7a.
8、所以7267662213axdxxdxx.故选：D 第 6 页 共 21 页【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题11已知直线3yx双曲线2222:10,0 xyCabab相交于不同的两点A和B，F为双曲线C的左焦点，且满足AFBF，则双曲线C的离心率为（）A3B 2 C31D312【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为2F,连接22,AFBF,则根据题意可知四边形2AFBF为矩形,因此在2Rt BFF中,由260BOF,22FFc,可计算出2BFBF32cca,从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为2F,如下图所示,连接
9、22,AFBF,因为AFBF,结合双曲线的对称性可知四边形2AFBF为矩形,又直线AB的斜率为3,则260BOF,故在2Rt BFF中,260BF O,22FFc因此23,BFc BFc,即有2323131cccaea,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法,需要学生综合运用所学知识,属于中档题.12已知函数()1xf xeax在区间(1,1)内存在极值点，且()0f x恰好有唯一整数解，则的取值范围是（）第 7 页 共 21 页A221,e2eeB22211,11,22eeeeC1,eeD2211,1,2eeeeee【答案】D【解析】求导，由0fx得ln1,1xa可求出a的范围，再考
10、查ln a与零的大小比较，在ln1,0a时，结合题意得出1020ff，以及当ln0,1a时，1020ff，解出实数a的范围可得出答案【详解】1xfxeax，则xfxea，由于函数yfx在区间1,1 上存在极值点，令0 xfxea，得lnxa，所以，1ln1a，解得1aee，由于00f，且不等式0fx恰有一整数解当ln0a时，即当1a时，1xfxe，当0 x时，0fx；当0 x时，0fx此时，函数yfx在0 x处取得最小值，则00fxf，不合乎题意；当1ln0a时，即当11ae时，当lnxa时，0fx；当lnxa时，0fx所以，函数yfx的单调递减区间为,ln a，单调递增区间为ln,a由题意可
11、得212210110feafea，解得22112eeaee，此时，22112eeaee；当0ln1a时，即当1ae时，当lnxa时，0fx；当lnxa时，0fx所以，函数yfx的单调递减区间为,ln a，单调递增区间为ln,a第 8 页 共 21 页由题意可得22210110feafea，解得2112eea，此时，1eae因此，实数a的取值范围是2211,1,2eeeeee，故选 D【点睛】本题考查函数的极值以及函数的零点问题，难点在于不等式整数解的问题，充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数解相邻整数点函数值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力，属于难题二、填空题1
12、3如图，在ABC中，13BBCD，点E在线段AD上移动（不含端点），若AEABAC，则12的取值范围是_【答案】(10,3)【解析】根据题意，设01AEmADm，根据向量的线性运算，利用ABAC、表示出AE，求出和，然后利用双钩函数的单调性求出12的取值范围.【详解】解：由题可知，13BBCD，设01AEmADm，则13AEmABBC13m ABBAAC，所以2133AEm ABm AC，而AEABAC，可得：21,33mm，第 9 页 共 21 页所以1323mm01m，设33mfxm01m，由双钩函数性质可知，fx在0,1上单调递减，则1101333fxf，所以12的取值范围是(10,3)
13、.故答案为：(10,3).【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.14 已知函数31,0,1,0,2xxfxxxx在区间1,2上任取一个实数m，则0f m的概率为 _【答案】49【解析】先求出不等式0fm的解，然后利用几何概型的概率计算公式计算即可.【详解】当10m时，由310m，得103m；当02m时，由101mm，得 12m；当1(,0(1,23m时，0fm，由几何概型的概率计算公式，得所求概率为1143219故答案为：49【点睛】本题考查“长度型”几何概型的概率计算问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.第 10
14、页 共 21 页15如图，在四边形ABCD 中，ADBC，AD AB，BCD 45，BAD 90，将 ABD 沿 BD 折起，使平面ABD 平面 BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD 中，下列判断正确的是_（写出所有正确的序号）平面 ABD 平面 ABC直线 BC 与平面 ABD 所成角是45平面 ACD平面 ABC二面角CABD 余弦值为33【答案】【解析】反证法，假设平面ABD平面ABC，容易推出BC垂直于平面ABD，从而90DBC，出矛盾；利用几何法找到其平面角为CBD，求解即可判断；证明AB平面ADC，从而得到平面ACD平面ABC；证明DAC为二面角CABD的平面角，求解三角
15、形得二面角的余弦值判断【详解】在四边形ABCD 中，由已知可得DBC45，假设平面ABD平面 ABC，又平面 ABD平面 BCD，且平面ABD平面 BDCBC，可得 BC平面 ABD，有 DBC90，与 DBC 45 矛盾，则假设错误，故错误；在四边形ABCD 中，由已知可得BDDC，又平面 ABD平面 BCD，且平面ABD平面 BCDBD，则 DC平面 ABD，DBC 为直线 BC 与平面 ABD 所成角是45，故正确；由判断时可知，DC平面 ABD，则 DCAB，又 BAAD，AD DC D，则 AB平面 ADC，而 AB?平面 ABC，则平面ACD平面 ABC，故正确；由判断时可知，AB
16、平面 ADC，则 DAC 为二面角CABD 的平面角，第 11 页 共 21 页设 ADAB1，则 BDDC2，由 DC AD，得 AC3，得 cosDAC33ADAC，故正确判断正确的是故答案为：【点睛】本题考查空间中平面与平面垂直、线面角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题16点,A B是抛物线2:20Cypx p的两点，F是抛物线C的焦点，若60AFB，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则dAB的最大值为_.【答案】1【解析】设AFa，BFb，由题意得d与,a b的关系，在三角形中由余弦定理得AB与,a b的关系，求出比值，由均值不等式求出最大值.【详解
17、】设AFa，BFb，则2abd，222222cosABababAFBabab，2222213131112224abdababABabababababab，当且仅当ab时取等号.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，考查学生计算能力，属于中档题.17在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos3sin3xy（为参数）.圆2C的第 12 页 共 21 页方程为2211xy，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为0(0).（1）求曲线1C和2C的极坐标方程；（2）当002时，若射线l与曲线1C和圆2C分别交于异于点O的M、N两点，且2
18、ONOM，求2MC N的面积.【答案】（1）221cos3sin，2cos；（2）14.【解析】（1）先将曲线1C的参数方程化为普通方程，再表示成极坐标方程即得，由cosx，siny代入圆2C的普通方程，整理即得极坐标方程；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得。【详解】（1）曲线1C的普通方程为：22113yx，又cosx，siny代入：2222cos3sin1，曲线1C的极坐标方程：221cos3sin，曲线2C的极坐标方程：2cos.（2）已知2ONOM，224NM，22214cos4cos3sin，422cos3cos10，且002，解得：21cos2，2cos2，2sin2.
19、点2C到l的距离2222sin122ChOC.2MC N的面积为：2221122NC MCNMCSNMhh2221112cos24cos3sinCh.【点睛】第 13 页 共 21 页本题考查参数方程，普通方程和极坐标方程间的互化，通过极径的几何意义最终求三角形面积，属于中档题.三、解答题18如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4c，2b，2 coscCb，D，E分别为线段BC上的点，且BDCD，BAECAE（1）求线段AD的长；（2）求ADE的面积【答案】（1）6AD（2）156【解析】试题分析：（I）在ABC中，利用余弦定理计算BC，再在ACD中利用余弦定理计算AD
20、；（II）根据角平分线的性质得到2ABEACESABSAC，又ABEACESBESEC，所以2BEEC，所以1433CEBC，42233DE，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.试题解析：（1）因为4c，2b，所以1cos24bCc由余弦定理得22224161cos244abcaCaba，所以4a，即4BC，在ACD中，2CD，2AC，所以2222cos6ADACCDAC CDACD，所以6AD（2）因为AE是BAC的平分线，所以1sin221sin2ABEACEAB AEBAESABSACAC AECAE，第 14 页 共 21 页又ABEACESBESEC，所以2BEEC，所以1433C
21、EBC，42233DE，又因为1cos4C，所以215sin1cos4CC，所以115sin26ADESDEACC19棱柱1111ABCDA B C D的所有棱长都等于4，60ABC，平面11AAC C平面ABCD，160A AC.（1）证明：1DBAA；（2）求二面角1DAAB的平面角的余弦值；（3）在直线1CC上是否存在点P，使/BP平面11DA C？若存在，求出点P的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P在1C C的延长线上且使1C CCP.【解析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AABD，即可证得1DBAA；（2）分别求得平面1AA D和平面1AA B的一个法向量，解
22、向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CPCC，求得BP的坐标和平面11DA C的法向量，结合30nBP，求得1，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD交AC于O，则BDAC，连接1AO，在1AAO中，14AA，2AO，160A AO，2221112cos602 3AOAAAOAAAO，22211AOAOAA，1A OAO，由于平面11AAC C平面ABCD，所以1AO底面ABCD，第 15 页 共 21 页所以以OB、OC、1OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则0,2,0A，2 3,0,0B，0,2,0C，2 3,0,0D，10,0,23A，（1）由于4 3,0,0BD
23、，10,2,2 3AA，2 3,2,0AB，则10AA BD，1BDAA.（2）设平面1AA D的法向量2,nx y z，则21200nAAnAD，即3030yzxy，取1x，可得21,3,1n，同理，可得平面1AA B的法向量11,3,1n，所以1212123cos5nnnnnn，又由图可知成钝角，所以二面角1DA AB的平面角的余弦值是35.（3）假设在直线1CC上存在点P，使/BP平面11DA C，设1CPCC，,P x y z，则,2,0,2,23x yz，得(0,22,2 3)P，(2 3,22,2 3)BP，设3n平面11DA C，则31131nACnDA，设3333,nxyz，得
24、到33320330yxz，不妨取31,0,1n，又因为/BP平面11DA C，则30nBP即330得1.即点P在1C C的延长线上且使1C CCP.第 16 页 共 21 页【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20学号为 1，2，3的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现点数除以3，若学号与之同余(同除以 3 余数相同)，则该小学生可以上2 阶楼梯，另外两位只能上1 阶楼梯，假定他们都是从平
25、地(0 阶楼梯)开始向上爬，且楼梯数足够多.（1）经过2次投掷骰子后，学号为1的同学站在第X阶楼梯上，试求X的分布列；（2）经过多次投掷后，学号为3的小学生能站在第n阶楼梯的概率记为nP，试求1P，2P，3P的值，并探究数列nP可能满足的一个递推关系和通项公式.【答案】（1）答案见解析.（2）123P，279P，32027P，1*31143nnPnN【解析】（1）由题意学号为1 的同学可以上2 阶楼梯的概率为13，可以上 1 阶楼梯的概率为23，分别求出2P X、3P X、4PX，即可得解；（2）由题意可得1P、2P、3P；由题意1221(333nnnPPPn且*)nN，构造新数列即可得数列1
26、nnPP是以2119PP为首项，以13为公比的等比数列，再利用累加法即可得解.【详解】（1）由题意，当投掷骰子出现1、4 时，学号为1的同学可以上2阶楼梯，概率为13，当投掷骰子出现其他点数时，学号为1 的同学可以上1 阶楼梯，概率为23，由题意2,3,4X，所以2242339P X，122143339P XC，1114339P X，所以 X 的分布列为：X 2 3 4 P 494919第 17 页 共 21 页（2）1P表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率，根据投掷骰子的规则，若出现点数为3或6，则他直接站在第2阶楼梯，否则站在第1阶楼梯.故123P，同理可得：22217339P，31
27、322212033327PC，由于学号为3 的小朋友能够站在第n 阶楼梯，有两种可能：从第2n阶楼梯投掷点数为3 或 6 直接登 2 个台阶上来，或从第1n阶楼梯只登1个台阶上来.根据骰子投掷规则，登两阶的概率是13，登一阶的概率是23，故1221(333nnnPPPn且*)nN()将()式可变形为112133nnnnPPPPn，从而知：数列1nnPP是以2119PP为首项，以13为公比的等比数列，则有21111933nnnnPP.进而可得：当2n时，112211nnnnnPPPPPPPP1211123333nn11111932311134313nn；当1n时，213121433P；所以1*3
28、1143nnPnN.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的求解，考查了数列与概率的综合问题，属于中档题.21已知函数21ln2fxxax；(1)当0a时，0 x，使0fx成立，求a的取值范围；第 18 页 共 21 页(2)令11 eg xfxax a，证明：对121xxa，恒有121g xg x【答案】（1）(,e；（2）见解析.【解析】(1)先将存在性问题转化为求fx最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得a的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证11gg a.构造差函数13ln22h aaaa，利用导数可
29、得h a单调性，根据单调性可得0h ah e，即证得结论.【详解】（1）当0a，由afxxx，令0fx，xa，列表得：x0,aa,afx-0fx减函数极小值增函数这时minln2afxfaaa.0 x，使0fx成立，ln02aaa，ae，a的范围为,e.（2）因为对1,xa，110 xxagxx，所以g x在1,a内单调递减，所以212111ln22g xg xgg aaa a.要证明121g xg x，只需证明211ln122aaa，即证明13ln022aaa.第 19 页 共 21 页令13ln22h aaaa，221133111022233haaaa，所以13ln22h aaaa在1,a
30、e是单调递增函数，所以31310222eeeh ah eee，故命题成立.【点睛】不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即fxa恒成立?maxafx，fxa恒成立?minafx.22已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为63，且经过点33,22A（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足OMONOA，求MON面积最大时直线l的方程【答案】（1）2213xy；（2）1633yx【解析】(1)由题意列关于a,b,c的方程组,求解a,b的值,则椭圆方程可求;(2)由题意可知,直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为(0)ykxm
31、 m,1(M x,1)y,2(N x,2)y,联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系及向量等式可得k值,写出三角形面积公式,得到关于m的函数式,整理后利用基本不等式求最值,然后求得MN的方程.【详解】(1)由题意得222226333144caababc,解得2231ab,所以椭圆C的方程为2213xy;(2)由题意可知,直线MN的斜率显然存在,设直线MN的方程为0ykxm m,11,Mx y,22,N xy,第 20 页 共 21 页由2213xyykxm得222316330kxkmxm,222222364 313312 310k mkmkm所以122212263
32、13331kmxxkmx xk,所以121222231myyk xxmk,因为OMONOA,所以1221226331223312kmxxkmyyk,所以13k,代入得2 32 333m且0m,所以212121211422MONSm xxmxxx x222212 3134312314kmmmmk22223 3433 34334422mmmm,当且仅当22343mm,即63m时上式取等号,此时符合题意,所以直线MN的方程为1633yx.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,结合了基本不等式求最值,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.23已知函数2131fxxax
33、.（1）当1a时，解不等式3fx；（2）若34fxa x，求a的最小值.【答案】（1）|15xx；（2）13.【解析】（1）当1a时，分三种情况去绝对值化简，得到分段函数第 21 页 共 21 页12,311()5,2312,2xxf xxxxx，然后根据()f x 的单调性及(1)(5)3ff，即可得到本题答案；（2）由题，得213134xaxx，又根据绝对值三角不等式，可得21131343xxx，由此即可得到本题答案.【详解】解：（1）当1a时，12,311()5,2312,2xxf xxxxx，由()f x 的单调性及(1)(5)3ff，得3fx的解集为|15xx；（2）由34fxa x，得213134xaxx，因为31343 21xxx，所以21131343xxx，得13a（当且仅当13x或43x时等号成立），故a的最小值为13.【点睛】本题主要考查+xaxbc型不等式的解法，以及利用绝对值三角不等式确定参数的取值范围，考查学生的转化求解能力和运算能力.