2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷(一)数学(理)试题(解析版).pdf-淘文阁

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1、第 1 页共 20 页2020 届百校联考高考考前冲刺必刷卷（一）数学（理）试题一、单选题1已知集合1,2,4A，2log(1)1Bxx，则ABI（）A1,4B2,4C1,2D4【答案】B【解析】首先利用对数函数的单调性求解集合B，再利用集合的交运算即可求解.【详解】2|log(1)1|1Bxxx x，所以2,4AB.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了对数的单调性解不等式，属于基础题.2下列函数中，既是偶函数，又在(0,+)上单调递增的是（）AxxyeeB21yxC2xyDlnyx【答案】D【解析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断各个函数的奇偶性，最后判断函数fx

2、在0,上是否单调递增.【详解】A定义域为R关于原点对称，eexxfxfx，是奇函数，不符合；B定义域为R关于原点对称，21fxxfx，是偶函数，当0,x时是减函数，不符合；C定义域为R关于原点对称，2xfxfx，是偶函数，当0,x时2xy是减函数，不符合；D 定义域为,00,关于原点对称，lnfxxfx，当0,x时lnyx是增函数，符合.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，难度较易.判断一个函数是奇函数还是偶函数，首先第 2 页共 20 页应判断函数的定义域是否关于原点对称，其次才是判断,fxfx的关系.3函数21162yxlgx的定义域为()A（2，3）B（3，4 C（2，4

3、D（2，3）（3，4【答案】D【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意22021160 xxx，解得2,33,4xU.所以函数的定义域为2,33,4U.故选：D【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.4已知命题p：?x0，exx+1；命题 q：?x0（0，+），lnx0=x01；下列命题为真命题的是()ApqBpqCpqDpq【答案】A【解析】分别判断命题p和q的真假性，由此确定正确选项.【详解】令1,0,10 xxfxexxfxe，所以fx在0,上递增，所以00fxf，所以命题p为真命题.当01x

4、时，ln11 10，所以命题q为真命题.所以pq为真命题，A 选项正确，其它选项不正确.故选：A【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5 已知集合2220Ax xaxa，若A中只有一个元素，则实数a的值为（）A0 B 0 或2C0 或 2 D2【答案】C 第 3 页共 20 页【解析】根据题意转化为抛物线222yxaxa与x轴只有一个交点，只需2480aa即可求解.【详解】若A中只有一个元素，则只有一个实数满足2220 xaxa，即抛物线222yxaxa与x轴只有一个交点，2480aa，0a或 2.故选：C【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转

5、化与化归的思想，属于基础题.6函数 f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是()ABCD【答案】A【解析】利用导数判断出fx的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项.【详解】由于22231xfxxxe，而231yxx的判别式9450，所以231yxx开口向上且有两个根12,x x，不妨设12xx，所以fx在12,xx上递增，在12,x x上递减.所以 C,D 选项不正确.当2x时，0fx，所以 B 选项不正确.由此得出A 选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题.7函数2()log(41)xf xx的最小值为（）A3 B 2 C1 D0第 4 页共 20

6、页【答案】C【解析】首先将函数化为241()log2xxf x，令412xxt，利用基本不等式求出2t，然后再利用对数函数的单调性即可求解.【详解】222241()log41log41log 2log2xxxxxf xx，令412xxt则1222xxt，当且仅当0 x时，取等号，所以241log2xx2log 21，即函数()f x 的最小值为1.故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数型函数单调性求函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.8三个数22323lnablnce，的大小顺序为()AbcaB bacCcabDabc【答案】D【解析】通过证明13abc，由此得出三者的大小关系.

7、【详解】132221ln63aee，由于6123ee，63228，所以132e，所以131lnln23e，即13ab.而66113232228,339，所以113223，所以11321ln 2ln 3ln 33，即bc，所以abc.故选：D【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.第 5 页共 20 页9设命题p：函数21()2ln2f xxaxx存在极值，q：函数()log(0,1)ag xx aa在(0,)上是增函数，则p是q的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于p，首先求出函数的导数，使2

8、21()0 xaxfxx在(0,)上有解，即2210 xax在(0,)上有解，求出a的范围；对于q，根据对数函数的单调性可得1a，再根据充要条件的定义即可求解.【详解】p：函数21()2ln2f xxaxx存在极值，对函数()f x 求导得221()xaxfxx.因为()f x 存在极值，所以221()0 xaxfxx在(0,)上有解，即方程2210 xax在(0,)上有解，即2440a，显然当0时，()f x 无极值，不合题意，所以方程2210 xax必有两个不等正根，所以20440aa，解得1a.q：函数()logag xx在(0,)上是增函数，则1a.故p是q的充要条件.故选：A【点睛】

9、本题考查了充分条件、必要条件的定义、根据函数的极值求参数、对数函数的单调性，综合性比较强，属于中档题.10已知函数2()xf xaxxxe，当0 x时，恒有()0f x，则实数a的取值范围为（）第 6 页共 20 页A1,)B(,0C(,1D0,)【答案】C【解析】将函数整理为()1xf xx axe，令()1xg xaxe，讨论1a或1a时g x的单调性，当1a时，()0f x恒成立，当1a时，根据单调性可得当(0,ln)xa时0g x即()0f x，不满足题意，从而可得答案.【详解】()1xf xx axe.令()1xg xaxe，则()xg xae.若1a，则当(0,)x时，()0g

10、x，()g x为减函数，而(0)0g，从而当0 x时，()0g x，即()0f x，若1a，则当(0,ln)xa时，()0gx.()g x为增函数，而(0)0g，从而当(0,ln)xa时，0g x即()0f x，不合题意.综上可得，a的取值范围为(,1.故选：C【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.11已知定义在R上的函数()f x 满足(2)(2)fxfx，且当2x时，()()2()x fxf xfx，若(1)1f.则不等式1()2f xx的解集是（）A(2,3)B(,1)C(1,2)2,3D(,1)3,【答案】C【解析】令()|2|()F xxf

11、x，当2x时，则()(2)()F xxf x，利用导数可得当2x时，()F x单调递增，根据题意可得()F x的图象关于2x对称，不等式第 7 页共 20 页1()|2|f xx等价于|2|()1(2)xf xx，从而()(1)F xF，利用对称性可得|2|12|x，解不等式即可.【详解】当2x时，()()2()x fxf xfx，(2)()()0 xfxf x，令()|2|()F xxf x.当2x时，则()(2)()F xxf x，()(2)()()0F xxfxf x，即当2x时，()F x单调递增.函数()f x 满足(2)(2)fxfx，所以(2)(2)FxFx，即()F x的图象

12、关于2x对称，不等式1()|2|fxx等价于|2|()1(2)xf xx，(1)|12|(1)(1)1Fff，即()(1)F xF，所以|2|12|x，解得13x且2x，解集为(1,2)(2,3)U.故选：C【点睛】本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.12已知函数1110 xxefxxe与1lnxxg xexae的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A1,1eB1,eC1,1eD11,e【答案】D【解析】先求得fx关于y轴对称的函数h x,则h xg x,整理可得11ln1eexxa在0,上有解,设11ln1eexxx,可转化

13、问题为yx与ya的图象在0,上有交点,再利用导函数求得x的范围,进而求解.第 8 页共 20 页【详解】由fx关于y轴对称的函数为1111ee10exxxh xfxx,令h xg x,得1e1e ln1exxxxa0 x,则方程1e1e ln1exxxxa在0,上有解,即方程11ln1eexxa在0,上有解,设11ln1eexxx,即可转化为yx与ya的图象在0,上有交点,11e1e1e1xxxxxxxQ,令()=e1xm xx，则()=e10 xm x在0,上恒成立，所以()=e1xm xx在0,上为增函数，00m xm，即0 xQ在0,上恒成立，x在0,上为增函数,当0 x时,则101x

14、e,所以11ea,故选:D【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.二、填空题13设集合1,2,Aaa，若3A，则实数a_【答案】5【解析】推导出 a23 或 a3，再由集合中元素的互异性，能求出结果【详解】解：集合1,2,Aaa，3A，第 9 页共 20 页23a或3a，当23a时，5a，成立；当3a时，21a，不满足集合中元素的互异性，不成立实数5a故答案为：5【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14已知命题p：0 1,1x，220020a xax，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为

15、 _.【答案】(,11,)U【解析】根据题意可转化为方程2220a xax在1,1上有解，解方程可得2xa或1xa，只需21a或11a，解不等式即可.【详解】当命题p为真命题，即方程2220a xax在 1,1上有解，由2220a xax，得(2)(1)0axax，显然0a2xa或1xa，1,1x，故21a或11a，|1a，即实数a的取值范围为(,11,)U.故答案为：(,11,)U【点睛】本题考查了由命题的真假性求参数的取值范围，同时考查了一元二次方程根的分布，属于基础题.15已知函数1102,()02,xxxexf xxex，则满足不等式()30f x的实数x的取值范围为 _.【答案】(1

16、,1)第 10 页共 20 页【解析】根据奇偶性定义判断函数()f x 为偶函数，再判断出()f x 在(0,)上为减函数，0(1)23fe，从而将不等式转化为()(1)f xf，根据函数为偶函数可得|1x，解不等式即可.【详解】函数()f x 的定义域关于原点对称，0 x时，0 x，1()2()xfxexf x，0 x同理：()()fxfx，()f x 为偶函数.易知()f x 在(0,)上为减函数，且0(1)23fe，()30f x即()3f x，即()(1)f xf，根据偶函数的性质知当|1x时，得11x.故答案为：(1,1)【点睛】本题考查了利用分段函数的性质解不等式，需掌握奇偶性定

17、义以及指数型函数的单调性，属于中档题.16 已知a为任意的实数，则函数2222(3ln)2yxxaxaxa的最小值为 _.【答案】2【解析】将问题转化为点2,3lnA xxx与直线yx上点(,)B a a之间的距离|AB的平方，对曲线23lnyxx求导，求出与直线yx平行的切线斜率，进而求出切点，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】2223ln()xxaxa就是曲线23ln(0)yxxx上点2,3lnA xxx与直线yx上点(,)B a a之间的距离|AB的平方，对曲线23lnyxx求导：32yxx，与直线yx平行的切线斜率312kxx，解得1x或32x（舍去），第 11 页共 20

18、页把1x代入23lnyxx，解得1y，即切点(1,1)，则切点(1,1)到直线yx的距离为|1 1|22d，所以22d，即|AB的平方最小值为2.即2223ln()xxaxa的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，两点间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了转化与化归的思想，属于中档题三、解答题17已知集合2(2)(1)(21)0Ax xmxmm.集合1(3)(381)9xxBx y.（）当1m时，求ABU；（）若BA，求实数m的取值范围.【答案】（）|24ABxx（）(,33,)U【解析】（）把1m代入，求出集合A，再利用指数的

20、值范围，属于基础题.18已知命题p：函数12()log(1)af xx在 2,1上单调递增；命题q：函数321()3g xxxax在3,)上单调递减.（）若q是真命题，求实数a的取值范围；（）若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围.【答案】（）(,3（）(,01,3【解析】（）根据题意转化为2()20g xxxa在3,)上恒成立，由二次函数的图像与性质即可求解.（）根据复合命题的真假性可得p与q一真一假，当p真且q假时，则013aa，当p假且q真时，则013aaa或，解不等式组即可求解.【详解】（）当命题q为真命题时，函数321()3g xxxax在3,)上单调递减，所以2()2

21、0g xxxa在3,)上恒成立.22()2(1)1g xxxaxa所以()g x在3,)上单调递减，故(3)0g，第 13 页共 20 页解得3a，所以q是真命题，实数a的取值范围为(,3.（）命题p为真命题时，函数21log1ayx在 2,1上单调递增，01a.因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以p与q的真值相反.（）当p真且q假时，有013aa，此不等式无解.（）当p假且q真时，有013aaa或解得0a或13a.综上可得，实数a的取值范围为(,01,3.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用、根据命题的真假求参数的取值范围、简单逻辑连接词连接命题的真假判断，以及对数型函数的单

22、调性判断，属于基础题.19已知函数214()log(238)f xmxxm.（）当1m时，求函数()f x 在1,22上的值域；（）若函数()f x 在(4,)上单调递减，求实数m的取值范围.【答案】（）114455log 10,log8（）3,10【解析】（）把1m代入，可得122()log238f xxx，令2238yxx，求出其在1,22上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（）根据对数函数的单调性可得2()238g xmxxm在(4,)上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,mmg解不等式组即可求解.【详解】（）当1m时，122()log238f xxx，此时

23、函数()f x 的定义域为1,22.第 14 页共 20 页因为函数2238yxx的最小值为242835588.最大值为22232810，故函数()f x 在1,22上的值域为114455log 10,log8；（）因为函数14logyx在(0,)上单调递减，故2()238g xmxxm在(4,)上单调递增，则0,34,4(4)0,mmg解得310m，综上所述，实数m的取值范围3,10.【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.20 已知函数32()()12(0)f xaxab xbx a为奇函数，且()f

24、 x 的极小值为16.（）求a和b的值；（）若过点(1,)Mm 可作三条不同的直线与曲线()yf x相切，求实数m的取值范围.【答案】（）1a，1b.（）(12,11)【解析】（）根据题意可得()()0f xfx，代入表达式可得ba，从而可得3()12f xaxax，求导函数令()0fx，求出极值点，再利用导数判断函数的单调性，进而确定()f x 的极小值为(2)f，由(2)16f即可求解.（）由（）可知3()12f xxx，设点00,P xfx是曲线3()12f xxx的切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点(1,)Mm 代入切线方程得32002312mxx，设32()2312g xxx

25、m，只要使函数()g x有 3 个零点即可，利用导数与函数单调性的关系可得(0)0(1)0gg，解不等式组即可.【详解】第 15 页共 20 页（）因为()f x 是奇函数，所以()()0f xfx恒成立，则22()0ab x.所以 ba，所以3()12f xaxax，则2()3123(2)(2)fxaxaa xx令()0fx，解得2x或2x.当(2,2)x时，()0fx，当(2,)x时，()0fx.()f x 在(2,2)单调递减，在(2,)单调递增，所以()f x 的极小值为(2)f，由(2)8241616faaa，解得1a，所以1a，1b.（）由（）可知3()12f xxx，设点00,

26、P xfx是曲线3()12f xxx的切点，则在P点处的切线的方程为000yfxfxxx即2300342yxxx因为其过点(1,)Mm，所以，233200003422312mxxxx，由于有三条切线，所以方程应有3 个实根，设32()2312g xxxm，只要使曲线()g x有 3 个零点即可.设2()660g xxx，0 x或1x分别为()g x的极值点，当(,0)x和(1,)时()0gx，()g x在(,0)和(1,)上单调递增，当(0,1)x时()0g x，()g x在(0,1)上单调递减，所以，0 x为极大值点，1x为极小值点.所以要使曲线()g x与x轴有 3 个交点，当且仅当(0)

27、0(1)0gg，即120110mm，解得1211m.即实数m的取值范围为(12,11).【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用、研究函数单调性中的应用，属于难题.21已知函数211()(1)22xf xaxaxx e.第 16 页共 20 页（）若直线()f x 在点(0,()f x处切线方程为1yx，求实数a的值；（）若函数()f x 有3个零点，求实数a的取值范围.【答案】（）2a（）(2,)e【解析】（）求出导函数1(0)2fa，根据题意利用导数的几何意义可得1(0)12fa，求解即可.（）将函数转化为1()(1)2xf xxaxe，从而可得方程102xaxe有 2 个不为 1

28、的不等实数根，然后分离参数后则有函数ya与2()(0)xeyh xxx图象有两个交点，利用导数画出h x的简图，利用数形结合即可求解.【详解】（）因为211()(1)22xf xaxaxx e，得211()(1)22xxfxaxaex eaxaxe，所以1(0)2fa.因为曲线在点(0,(0)f处的切线方程为1yx，所以1(0)12fa，即2a.（）21111()(1)(1)(1)(1)2222xxxf xaxaxx eax xx exaxe，所以()f x 有一个零点1x.要使得fx有 3个零点，即方程102xaxe有 2 个不为 1 的不等实数根，又方程120(0)2xxeaxeaxx，令

29、2()(0)xeh xxx，即函数ya与()yh x图象有两个交点，第 17 页共 20 页令22222(1)()0 xxxxeeexh xxx，得1x()h x的单调性如表：x(,0)(0,1)1(1,)()h x-0+()h x极小值Z当0 x时，()0h x，又(1)2he，可作出()h x的大致图象，由图象得2ae所以，要使得()f x 有 3 个零点，则实数a的取值范围为(2,)e.【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数零点中的应用，考查了数形结合的思想以及转化与化归的思想，属于难题.22已知函数()ln()kf xxxx kRx，若函数()f x 在(0,)上存在两个极

30、值点12,x x.（）求实数k的取值范围；（）证明：1222xxk.第 18 页共 20 页【答案】（）10,2e（）见解析【解析】（）求出fx，分析fx的符号，0fx的根的个数满足的条件.（）不妨设12xx，令21xtx，1t，将目标不等式的参数减少，用分析的方法最后证明：2112lnktktt，构造函数证明即可.【详解】（）函数()f x 的定义域为(0,)，因为()lnkf xxxxx，22()ln11lnkkfxxxxx令2()lnkg xxx所以233122(),0kxkg xxxxx.当0k时，()0gx，所以函数()g x在(0,)上单调递增.即2()lnkfxxx在(0,)上

31、单调递增，()fx在(0,)上至多一个零点，所以()f x 在(0,)上至多一个极值点，不满足条件.当0k时，由()0gx，得2xk（负根舍去），当(0,2)xk时，()0g x，当(2,)xk时，()0g x，所以函数()g x在(0,2)k）上单调递减；在(2,)k上单调递增.第 19 页共 20 页所以min1()(2)ln22g xgkk，要使函数()f x 在(0,)上存在两个极值点则函数()fx有两个零点，即()g x有两个零点首先min1()ln202g xk，解得102ke.因为221kk，且(1)0gk，下面证明：1(2)ln(2)04gkkk.设1()ln(2)4h kk

32、k，则221141()44kh kkkk.因为12ke，所以222141()044keh kkk.所以()h k在10,2e上单调递减，所以11(2)()ln022gkheekhe.所以实数k的取值范围为10,2e.（）因为1x，2x是函数()f x 的两个极值点，所以1x，2x是函数()fx的两个零点即1x，2x是函数()g x的两个零点，不妨设12xx，令21xtx，则1t.所以121222ln0,ln0,kxxkxx即212212lnlnkkxxxx.第 20 页共 20 页所以22211lnkktxt x，即21211lnkxtt，102ke，1t.要证1222xxk，需证122x xk.即证212txk，即证2112lnktktt.因为102ke，所以即证12ln(1)tt tt设1()2lnH tttt，则22221(1)()10,1tHttttt.所以()H t 在(1,)上单调递减，所以1()2ln(1)0H tttHt.所以1222xxk.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数极值中的应用、导数证明不等式，考查了分析法证明不等式，考查了分析求解能力，属于难题.

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