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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 3.1 导数的概念及其运算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c 为常数)，y x，y1x，yx2，yx3，yx的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数；5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；6.了解微积分基本定理的含义。知识点 1导数的概念(1)函数 y f(x)在 x x0处的导数：函数yf(x)在 xx0处的瞬时变化率lim x0 y xlim
2、x0f x0 x f x0 x为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作f(x0)或 yxx0，即 f(x0)lim x0 y xlim x 0f x0 x f x0 x。【特别提醒】函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)。【特别提醒】曲线yf x 在点P
3、x0，y0处的切线是指P为切点，斜率为kf x0的切线，是唯一的一条切线。(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)lim x0f x x f x x为f(x)的导函数。(4)f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值(常数)，f(x0)0。知识点 2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(n Q*)f(x)n xn1f(x)sin x f(x)cos xf(x)cos x f(x)sin xf(x)ax(a0，且 a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln af(x)ln x f(x)1x知识点 3.导数的
4、运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0).知识点 4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx yu ux，即 y 对 x的导数等于y 对 u 的导数与u对 x 的导数的乘积。知识点 5.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间 a，b上连续，用分点将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i1，2，n)，作和式ni1f(i)x n
5、i 1banf(i)，当 n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间 a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx在abf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)abf(x)dx 的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0 表示由直线xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x
6、轴下方的曲边梯形的面积知识点 6.定积分的性质(1)abkf(x)dxkabf(x)dx(k 为常数).(2)abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx.(3)abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中 acb).知识点 7.微积分基本定理一般地，如果 f(x)是在区间 a，b上的连续函数，且 F(x)f(x)，那么abf(x)dxF(b)F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把 F(b)F(a)记为 F(x)ba，即abf(x)dxF(x)ba)F(b)F(a).【特别提醒】函数 f(x)在闭区间 a，a上连续，则有(1)若 f(
7、x)为偶函数，则aaf(x)dx20af(x)dx.(2)若 f(x)为奇函数，则aaf(x)dx0.考点一导数的运算【典例 1】(2018 天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为 f(x)的导函数，则f(1)的值为 _.【解析】由题意得f(x)exln xex1x，则 f(1)e.【答案】e【方法技巧】1求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导2常见形式及具体求导6 种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合
8、函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元【变式 1】（湖北省华中师范大学第一附属中学2018-2019 学年期中）设0()sinfxx，10()()fxfx，21()()fxfx，1()()nnfxfx，nN，则2019()fx()Asin xBsin xCcos xD1coscos4BC【答案】C【解析】1cosfxx，2sinfxx，3cosfxx，4sinfxx，因此433costfxfxx，故20194 504 33cosfxfxfxx，故 C。考点二导数的几何意义及其应用【典例 2】【2019 年高考全国卷】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b
9、，则（）Ae1ab，Ba=e，b=1 C1e1ab，D1ea，1b【答案】D【解析】eln1,xyax切线的斜率1|e12xkya，1ea，将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.故选 D。【举一反三】【2019 年高考全国卷】曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为_【解析】223(21)e3()e3(31)e,xxxyxxxxx所以切线的斜率0|3xky，则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30 xy【答案】30 xy【方法技巧】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(
10、x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上。【变式 2】(2018 全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay 2xBy xCy2xDyx【答案】D【解析】法一：f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即 x3(a1)x2ax x3(a1)x2ax 恒成立，a1，
11、f(x)3x21，f(0)1，曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.法二：f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，f(x)3x22(a1)xa 为偶函数，a1，即 f(x)3x21，f(0)1，曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.【举一反三】(2018 全国卷)曲线 y2ln(x 1)在点(0，0)处的切线方程为_.【解析】由题意得y2x1.在点(0，0)处切线斜率ky|x02.曲线 y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即 y2x.【答案】y2x考点三定积分的计算【典例 3】（福建省上杭第一中学2018-2019 学年期中）计算20(cos)x
12、xe dx为()A2eB22eC21eD21e【答案】A【解析】222200(cos)(sin)|sin12xxxedxxeee，故选 A。【方法技巧】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.【变式 3】（福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019 学年期中）已知函数20()cos0 xf xx x,则12()f x dx的值等于（）A1 B2 C3 D 4【答案】C【解析】由题意，函数20()cos0
13、xf xx x，根据定积分的运算性质，可得1010100222()cos2sin|2|123f x dxxdxdxxx，故选 C。考点四定积分的几何意义【典例 4】（甘肃兰州一中2018-2019 学年期中）由抛物线 y2 2x 与直线 yx4 围成的平面图形的面积为 _.【解析】如图所示，解方程组y22x，yx 4，得两交点为(2，2)，(8，4).法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即 S 2022xdx28(2xx4)dx18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S24y 412y2dy 18.【答案】18【方法技巧】1.运用定积分
14、的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【变式 4】（安徽省马鞍山二中2018-2019 学年期中）2204x dx（）AB2C3D 4【答案】A【解析】令24yx，画出图像，由定积分的几何意义可得：所求即为右上14圆的面积，故所求定积分的值为2124。考点五定积分在物理中的应用【典例 5】（河北省衡水第一中学2018-2019 学年调研）物体A 以 v3t2 1(m/s)的速度在一直线 l 上运动，物体 B
15、在直线 l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以 v10t(m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t(s)为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】(1)因为物体 A在 t 秒内行驶的路程为0t(3t21)dt，物体 B在 t秒内行驶的路程为0t10tdt.所以0t(3t2110t)dt(t3t 5t2)t0t3t5t25.整理得(t5)(t21)0，解得 t5.【方法技巧】(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v v(t)，那么从时刻ta 到 t b 所经过的位移sabv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa 移动到 xb 时，力F(x)所做的功是WabF(x)dx.【变式 5】（福建武平第一中学2018-2019 学年期中）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t251 t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.125ln 5 B.825ln 113C.4 25ln 5 D.450ln 2【答案】C【解析】令v(t)0，得 t4 或 t83(舍去)，汽车行驶距离s0473t251tdt 7t32t225ln（1t）402824 25ln 5 425ln 5(m).