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1、第 1 页 共 20 页2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试数学（文）试题一、单选题1集合2|60Ax xx，集合2|log1Bxx，则ABI（）A2,3B,3C2,2D0,2【答案】D【解析】先解不等式求出集合A，B，再根据交集的定义求解即可【详解】解：由260 xx即320 xx解得23x，则2,3A，由2log1x解得02x，则0,2B，0,2ABI，故选：D【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题2已知复数1 izi（i为虚数单位），则复数z 的虚部是（）A1 B-1 CiDi【答案】B【解析】先根据复数代数形式的运算性质化
2、简求出复数z，再根据虚部的定义即可求出答案【详解】解：1izi11i1 i，复数 z 的虚部是1，故选：B【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题3已知4cos5，且为第三象限角，则sin2的值等于（）A725B725C2425D2425【答案】C 第 2 页 共 20 页【解析】先根据诱导公式得4cos5，再同角的平方关系得3sin5，再根据二倍角的正弦公式求解即可【详解】解：4cos5，4cos5，又为第三象限角，3sin5，24sin22sincos25，故选：C【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题4已知向量2,3av，
3、,5bxv，若aabvvv，则x（）A38B1C12D2【答案】B【解析】先求出abrr的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可【详解】解：2,3ar，,5bxr，2,2abxrr，又aabrrr，2 2320 x，解得1x，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题5设等差数列na的前n项和为nS，若111a，286aa，则nS的最小值等于（）A-34 B-36 C-6 D6【答案】B【解析】由题意先求出数列na的公差，再根据前n项和公式求出nS，再计算最小值第 3 页 共 20 页即可【详解】解：设数列na的公差为d，286aa，1286ad，又111a，2d，nS
4、112n ndna111nn n212nn2636n，当6n时，nS有最小值636S，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的最值的求法，属于基础题6已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确是（）A若/m，nI，则/m nB若m，/m，则C若n，则/nD若m，n，lI，且ml，nl，则【答案】B【解析】以长方体为载体，结合平行与垂直的判定与性质求解【详解】解：作一个任意长方体，第 4 页 共 20 页A中，如图，取mAB，面11CC D D，面11BB C C，1CCnI，而1ABCC，即mn，故 A 错；B 中，若/m，则根据线面平行的性质，平面内必存在直线
5、/lm，而m，则l，由面面垂直的判定定理可得，B 对；C 中，如图，取nAB，面11ABB A，面11BB C C，则n，而n，故 C 错；D 中，取面11ABC D，面11BB C C，11B ClI，1mAB，1nBB则ml，nl，但,不垂直，故D错；故选：B【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题7 孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚
6、数n是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入32n，则输出的结果为（）第 5 页 共 20 页A80 B 47 C79 D48【答案】C【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当0n时，满足条件退出循环，即可得到输出的S值【详解】解：模拟程序的运行，可得32n，32S，执行循环体，24n，56S不满足条件0n，执行循环体，16n，72S，不满足条件0n，执行循环体，8n，80S，满足条件0n，可得79S，退出循环，输出S的值为79；故选：C【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，但程序的
7、循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题8设变量x，y满足约束条件20240240 xyxyxy，则2zxy的最大值为（）A2 B-4 C12 D13【答案】C【解析】作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案【详解】解：变量x，y满足约束条件20240240 xyxyxy的可行域如图，第 6 页 共 20 页由240240 xyxy得4,4A，目标函数2zxy变形为2yxz，平移直线经过点A时，目标函数取得最大值，24412z，故选：C【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题92002 年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起
8、来象个转动的风车，很有美感(图 1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图 2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（）A15B225C25D125【答案】A【解析】先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的概率计算公式求出概率【详解】解：由题意可求出大正方形的边长为22125，则其面积为5，小正方形的边长为1，其面积为1，则质点落在小正方形内的概率15P，故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题10已知函数sin6fxx（0）在(0,2上恰有
9、一个最大值1 和一个最小值-1，则的取值范围是（）第 7 页 共 20 页A77,126B77,126C27,36D27,36【答案】C【解析】根据函数fx的解析式，利用x的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出的取值范围【详解】解：02x，2666x，又函数fx在(0,2上恰有一个最大值1和一个最小值1，352262，解得2736，故选：C【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题11已知12,FF是双曲线2222:10,0 xyEabab的左、右焦点，若点1F关于双曲线渐近线的对称点P满足22OPFPOF（O为坐标原点），则E的离心率为（）A5B2C3D2【答案
10、】B【解析】先利用对称求出点P 的坐标，结合 OPF2POF2可知2PFc，利用两点间距离公式可求得离心率.【详解】设00(,)P xy是1F关于渐近线byxa的对称点，则有000022yaxcbyxcba；解得222(,)baabPcc；因为 OPF2 POF2，所以2PFc，222222()()baabcccc；第 8 页 共 20 页化简可得2e，故选 B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,a b c之间的关系式.12已知函数12afxxx与函数2ln3xg xx的图象在区间1,4上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a取值范围是（）A5,42ln 2)2B544ln
11、 2,2C44ln 2,42ln 2)D(44ln 2,42ln 2)【答案】A【解析】由题意可得fxg x在1,4上恰有两个解，分离变量得2132ln2axxx，令2132ln2h xxxx，利用导数求出函数h x在1,4上的函数值变化，由此可得答案【详解】解：由题意可得fxg x在1,4上恰有两个解，即12ln32axxxx在1,4上恰有两个解，即2132ln2axxx在1,4上恰有两个解，令2132ln2h xxxx，则23h xxx12xxx，函数h x在1,2上单调递增，在2,4上单调递减，又512h，242ln 2h，5444ln 22h，542ln 22a，故选：A【点睛】本题主
12、要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题二、填空题13已知22,02,0 xxxfxfxx，则5f_【答案】3 第 9 页 共 20 页【解析】利用分段函数的解析式，转化求解即可【详解】解：22,02,0 xxxfxfxx，53ff11ff213，故答案为：3【点睛】本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题14 正三棱柱111ABCA B C的所有棱长都相等，M是棱11A B的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为_【答案】510【解析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则MAD为异面直线AM与BC所成角，解三角形即可【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱111
13、1ABCDA B C D，其中/AB CD，/AD BC，连接MD，1MD，因为/AD BC，所以MAD为异面直线AM与BC所成角（或其补角），设12ABBCAAx，则1A Mx，5AMx，111A B C为正三角形，111=120B A D，由余弦定理得2221111D MA DA M1112cos120A DA M22142 22xxx x，第 10 页 共 20 页17D Mx，则11DMx，222cos2AMADDMMADAMAD2225411510252xxxxx，异面直线AM与BC所成角的余弦值为510，故答案为：510【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题
14、15已知各项都为正数的数列na的前n项和为nS，并且12nnaS，则na_【答案】21n【解析】由题意得214nnaS，当1n时，解得11a；当2n时，21114nnaS，从而推出1120nnnnaaaa，则12nnaa，再根据等差数列的通项公式求解即可【详解】解：12nnaS，0na，214nnaS，当1n时，2111144aSa，解得11a；当2n时，21114nnaS，则221111444nnnnnaaSSa，1120nnnnaaaa，12nnaa，或10nnaa（舍去），数列na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，12121nann，故答案为：21n【点睛】第 11 页 共 20
15、页本题主要考查数列的递推公式，考查定义法判断等差数列，考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题16已知抛物线216yx的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线和圆2244xy于A，B，C，D四个点，设11,A x y，22,D xy，则12x x_；4|9|ABCD的最小值为 _【答案】16 74【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线l的方程为4xmy，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案【详解】解：由题意得4,0F，准线方程为4x，圆2244xy的圆心为4,0F，半径2r=，由题意设直线l的方程为4xmy，联立2164yxxmy
16、消元得216640ymy，1216yym，1264y y，121244x xmymy21212416m y ym yy16，121244xxmymy128m yy2168m，由抛物线定义可得4|9|ABCD4292AFDF4926AFDF12449426xx124926xx122 4926xx12122674x x，第 12 页 共 20 页当且仅当1249xx且1216x x即16x，283x时等号成立，故答案为：16，74【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题三、解答题17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量cosco
17、s,mAB abv，sinsin,nAB abv，若1(,)2mnavv.（1）求角C的弧度数；（2）若4 7c，求ABC的面积.【答案】（1）23；（2）8 3【解析】（1）由题意可得1coscossinsin2ABAB，2ab，根据两角和的余弦公式及三角形内角和即可求出答案；（2）由余弦定理及2ab可得8a，4b，再根据面积公式即可求解【详解】解：（1）由题意，1coscossinsin,2(,)2mnABABbau rr，2ab，1cos cossinsin2ABAB，1cos()cos2ABC，0C，23C；（2）由余弦定理2222coscababC，且2ab，222111244()2
18、bbb，8a，4b，113sin848 3222ABCSabC【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查向量相等，考查两角和的余弦公式，属于基础题182019 年 10 月 1 日我国隆重纪念了建国70 周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，第 13 页 共 20 页极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40 人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频
19、率分布直方图.（活动时间均在0,6内）活动时间0,1)1,2)2 3)，3,4)4 5)，5 6，频数8107942（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；（2）在被抽取的80 名高三学生中，从周日活动时间在5,6内的学生中抽取2 人，求恰巧抽到1 男 1 女的概率.【答案】（1）女生，理由见解析；（2）815【解析】（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论；（2）运用古典概型的概率计算公式求解即可【详解】解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生，理由如下：列出女生周日活动时间频数表活动时间1,2)2 3)，3
20、,4)4 5)，5 6，频数6 7 12 10 4 第 14 页 共 20 页对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：活动时间在2 小时及其以上的男生有22 人，女生有34 人；活动时间在3 小时及其以上的男生有15，女生有26 人；都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；（2）被抽到的80 学生中周日活动时间在5 6，内的男生有2 人，分别记为A，B，女生有 4，分别记为a，b，c，d，从这 6 人中抽取2.共有以下 15 个基本事件，分别为：AB，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd；其中恰为1 男 1 女的共有 8 种情
21、形，所以所求概率815P【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题19在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，M在棱PD上，且35PMPD，在底面ABCD中，10BABC，5DADC，2AC，O为对角线AC，BD的交点.（1）证明：OM P平面PBC；（2）若2PA，求三棱锥MPBC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】（1）由题意BAC，DAC都为等腰三角形，故对角线ACBD，从而可证出23DMDOMPOB，借助线面平行的判定定理即可得出结论；（2）由（1）可知：点M到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离，所以三棱锥MPBC的体积等于三棱锥OPBC的体积，由此即
22、可求出答案【详解】第 15 页 共 20 页（1）证：在底面ABCD中，BAC，DAC都为等腰三角形，故对角线ACBD，所以223BOABAO，222ODADAO，由M在棱PD上，且35PMPD知：23DMMP，所以在PBD中有23DMDOMPOB，所以/OMPB，又OM平面PBC，PB平面PBC，所以OM P平面PBC；（2）解：由（1）可知：点M到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离，所以三棱锥MPBC的体积等于三棱锥OPBC的体积，而PA平面ABCD，所以三棱锥OPBC的高2hPA，所以1132 1132MPBCPBOCVV，故三棱锥MPBC的体积为1【点睛】本题主要考查线面平行的
23、判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题20已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左焦点为F，P是C上一点，且PF与x轴垂直，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且ABOPP，且POB的面积是12，其中O是坐标原点.（1）求椭圆C的方程.（2）若过点F的直线1l，2l互相垂直，且分别与椭圆C交于点M，N，S，T四点，求四边形MSNT的面积S的最小值.【答案】（1）2212xy；（2）169【解析】（1）依题意可设2(,)bPca，则有22221122OPABPOBbbkkacaSbcbca，解出即可；（2）分类讨论，当1lx，2/lx时，22122222MSNTbSabagg g；当
24、1l，2l斜率存在时，设1l：1xky，2l：11xyk，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出MN，ST，再根据面积公式12SMN STg以及基本不等式即可求出答案第 16 页 共 20 页【详解】解：（1）依题意画出下图可设2(,)bPca，(,0)A a，(0,)Bb，则有：22221122OPABPOBbbkkacaSbcbca，解得211abc，椭圆C的标准方程为2212xy；（2）当1lx，2/lx时，22122222MSNTbSabagg g；当1l，2l斜率存在时，设1l：1xky，2l：11xyk，分别联立椭圆方程2212xy，联立22112xkyxy得222210kyky，12
25、222kyyk，12212y yk，22121214MNkyyy y222224122kkkk222 212kk，同理222212 2122 11122kkSTkk，第 17 页 共 20 页12SMN STg22228112221kkkg222241221kkk2222241221()2kkk22224(1)169914kk，当且仅当22221kk即21k即1k时等号成立，故四边形MSNT的面积S的最小值min169S【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题21已知函数222lnfxxkxx（kR）.（1）当5k时，讨论函数fx单调性；（2）若1
26、1221()()4xHfxfxHx，（1x，2x为fx的两个零点，且12xx）求k的取值范围.【答案】（1）fx在51(0,)2和51(,)2上单调递增，在5151()22，上单调递减；（2）5,)2【解析】（1）当5k时，求导后根据导数研究函数的单调性即可；（2）求导得2222222xkxfxxkxx，由题意知方程22220 xkx在(0,)上有两个不等的实根1x，2x（12xx），由此可得2k，根据韦达定理化简变形得12112122()2lnxxxxHxxxx，令12(0,1)xtx，则12lnH tttt，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出104t，再根据基本不等式即可求出答案【详
27、解】解：（1）当5k时，2222 5222 5xxfxxxx，第 18 页 共 20 页令0fx，解得5102x或512x，令0fx，解得515122x，所以fx在51(0,)2和51(,)2上单调递增，在5151()22，上单调递减；（2）2222222xkxfxxkxx，由题意知方程22220 xkx在(0,)上有两个不等的实根1x，2x（12xx），所以2121240010kxxkx x，解得2k，1122()xHfxfxx2212121222 lnlnxxk xxxx221212121222 lnlnxxxxxxxx2221122 lnlnxxxx222111222lnxxxx xx2
28、111222lnxxxxxx，令12(0,1)xtx，则12lnH tttt，2121Httt2221ttt2210tt，所以H t在(0,1)上单调递减，又1()4H tH，所以104t，而221212()xxkx x12212xxxx12524tt，当且仅当14t等号成立即52k，综上：实数k的取值范围为5,)2第 19 页 共 20 页【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt（t为参数，为直线l的倾斜角），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin
29、.（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求23时直线l的普通方程；（2）直线l和曲线C交于A、B两点，点P的直角坐标为1,2，求|PAPB的最大值.【答案】（1）C：2220 xyy，l：3320 xy；（2）2 2【解析】（1）把2sin两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解【详解】解：（1）2sin，22sin，曲线C的直角坐标方程为2220 xyy，当23时，直线l
30、的普通方程为3320 xy；（2）把直线l的参数方程为1cos2sinxtyt代入2220 xyy，得22sin2cos10tt，122sin2costt，1 21t t，则1t与2t同号且小于0，由22sin2cos40得：2sin2cos2或2sin2cos2，12|PAPBtt2sin2cos2 2 sin()4，|PAPB的最大值为2 2【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，关第 20 页 共 20 页键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于中档题23已知函数|1|fxxxa，|2|1g xx.（1）当2a时，解不等式5fx；（2）若对任意1xR，都存在2xR，使得21g xfx成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）,32,U；（2）,20,U【解析】（1）利用绝对值的几何意义解出即可；（2）由题意1fx的值域为|1|,)a，2g x的值域为1,)，根据|1|,)a1,)解出即可【详解】解：（1）当2a时，|1|2|5xx，由绝对值的几何意义得3x，或2x，5fx的解集为,32,U；（2）由题意可知：1fx的值域是2g x值域的子集，1fx的值域是：|1|,)a，2g x的值域为：1,)，|1|1a，解得：0a或2a，实数a的取值范围是,20,U【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题