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1、2019-2020 学年北京市门头沟区八年级第二学期期末数学试卷一、选择题1在平面直角坐标系中，以下各点坐标属于第二象限的点的坐标为（）A（2，0）B（1，2）C（0，2）D（2，1）2已知一个多边形的内角和是360，则这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形3关于 x 的方程 x+x30 是一元二次方程，则（）Am 3Bm2Cm3Dm 34下列图象中，y 是 x 的函数的是（）ABCD5下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（）A平行四边形B长方形C菱形D正方形6方差是表示一组数据的（）A平均水平B数据个数C最大值或最小值D波动大小7关于 x 的一元二次方程（a2）x2+x+a24
2、0 的一个根是0，则 a 的值是（）A0B2C 2D2 或 28甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点 O 代表的是学校，x 表示的是行走时间（单位：分），y 表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：甲、乙二人第一次相遇后，停留了10 分钟；甲先到达的目的地；甲在停留10 分钟之后提高了行走速度；甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快所有正确推断的序号是（）ABCD二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9函数 y自变量 x 的取值范围是10已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长
3、是11写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以为12有一组样本容量为20 的数据，分别是：7、10、8、14、9、7、12、11、10、8、13、10、8、11、10、9、12、9、13、11，那么该样本数据落在范围8.510.5 内的频率是13点 A（2，4）到 x 轴的距离为14如图，在平行四边形ABCD 中，ED 2，BC5，ABC 的平分线交AD 于点 E，则CD 的长为15已知一次函数表达式为yx+2，该图象与坐标轴围成的三角形的面积为16如图所示，菱形ABCD，在边AB 上有一动点E，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F，线段 EF 的垂直平分线分别交B
4、C、AD 边于点 G、H，得到四边形EGFH，点 E 在运动过程中，有如下结论：可以得到无数个平行四边形EGFH；可以得到无数个矩形EGFH；可以得到无数个菱形EGFH；至少得到一个正方形EGFH 所有正确结论的序号是三、解答题（本题共68 分，第 17-19 题各 5 分；第 20 题 6 分；第 21-24 题各 5 分；第 25、26 题各 6 分；第 27 题 7 分，第 28 题 8 分）解答应写出文字说明、步骤或证明过程.17阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形求作：菱形AECF，使点 E，F 分别在 BC，AD 上小军的作法如下：（
5、1）连接 AC；（2）作 AC 的垂直平分线EF 分别交 BC，AD 于 E，F；（3）连接 AE，CF所以四边形AECF 是菱形老师说：“小军的作法正确”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空，由作图和已知可以得到：AOF COE（依据：）；AF CE；四边形AECF 是平行四边形（依据：）；EF 垂直平分AC；（依据：）；四边形AECF 是菱形18已知：一次函数y（2m）x+m3（1）如果此函数图象经过原点，那么m 应满足的条件为；（2）如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么m 应满足的条件为；（3）如果此函数图象与y 轴交点在x 轴下方，那么m 应满足的条件为；（4）如果此函数图象
6、与y 轴交点到x 轴的距离为2，那么 m 应满足的条件为19用配方法解方程x22x1020判断方程4x213x 是否有解，如果有，请求出该方程的解；如果没有，请说明理由21如图，已知在?ABCD 中，E、F 是对角线AC 上的两点，且DF BE求证：四边形BEDF 是平行四边形22如图，直线yx+2 与 x 轴、y 轴分别交于点A 和点 B，点 C 在线段 AB 上，点 C 到x 轴的距离为1（1）点 B 的坐标为；点 C 的坐标为；（2）点 P 为线段 OA 上的一动点，当PC+PB 最小时，画出示意图并直接写出最小值23如图，在矩形ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，DF DC，DF
7、AE 于 F（1）求证：AEBC；（2）如果 AB3，AF4，求 EC 的长24阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数ykx+b（k 0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b0（k0）的解；在x 轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集，在x 轴上方的图象所对应的x 的所有值是kx+b0（k0）的解集例，如图1，一次函数kx+b0（k0）的图象与x 轴交于点 A（1，0），则可以得到关于 x 的一元一次方程kx+b0（k0）的解是x 1；kx+b0（k0）的解集为x 1结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图 1 可以得到kx+b0
8、（k0）的解集为；（2）通过图 2 可以得到 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c 0（a0）的解为；关于 x 的不等式ax2+bx+c0（a 0）的解集为25垃圾分类全民开始行动，为了了解学生现阶段对于“垃圾分类”知识的掌握情况，某校组织全校1000 名学生进行垃圾分类答题测试，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：分组/分频数频率50 x60120.1260 x70a0.1070 x80320.3280 x90200.2090 x 100cb合计1001.00（1）表中的 a，b，c；（2）把上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到
9、80 及 80 分以上者为测试通过，那么请你估计该校测试通过的学生大约有多少人；对于此结果你有什么建议26如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”，正比例函数y kx（k 0）的图象与直线x3 及 x 轴围成三角形（1）正比例函数ykx（k0）图象过点（1，1）；k 的值为；该三角形内的“整点坐标”有个；（2）如果在 x 轴上方由已知形成的三角形内有3 个“整点坐标”，求k 的取值范围27如图，在正方形ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点A，B 重合），连接DE，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转90得到线段EF，连接 BF（1）按已知补全图形；（
10、2）用等式表示线段BF 与 AE 的数量关系并证明（提示：可以通过旋转的特征构造全等三角形，从而可以得到线段间的数量关系，再去发现生成的特殊的三角形，问题得以解决）28我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意一点P（x，y）如果满足x2|y|，我们就把点P（x，y）称作“特征点”（1）在直线 x4 上的“特征点”为；（2）一次函数yx2 的图象上的“特征点”为；（3）有线段 MN，点 M、N 的坐标分别为M（1，a）、N（4，a），如果线段MN 上始终存在“特征点”，求a 的取值范围参考答案一、选择题（本题共16 分，每小题2 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
11、1在平面直角坐标系中，以下各点坐标属于第二象限的点的坐标为（）A（2，0）B（1，2）C（0，2）D（2，1）【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，直接得出答案即可解：点在第二象限，点的横坐标是负数，纵坐标是正数，只有 B 符合要求故选：B2已知一个多边形的内角和是360，则这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D七边形【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360，列出方程，解出即可解：设这个多边形的边数为n，则有（n2）180 360，解得：n4，故这个多边形是四边形故选：A3关于 x 的方程 x+x30 是一元二次方程，则（）Am 3Bm2Cm3Dm 3【
12、分析】根据一元二次方程的定义列出关于m 的方程，解之可得答案解：关于x 的方程 x7+x30 是一元二次方程，m272，解得 m 3，故选：D4下列图象中，y 是 x 的函数的是（）ABCD【分析】设在一个变化过程中有两个变量x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是 x 的函数，x 是自变量根据函数的意义即可求出答案解：A、C、D 选项中对于x 的每一个确定的值，y 可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，只有 B 选项对于x 的每一个确定的值，y 有唯一的值与之对应，符合函数的定义故选：B5下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（）A平行四边形B长
13、方形C菱形D正方形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解解：A、平行四边形是中心对称但不是轴对称图形，故本选项正确；B、长方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；C、菱形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；D、正方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误故选：A6方差是表示一组数据的（）A平均水平B数据个数C最大值或最小值D波动大小【分析】根据方差的意义即可得出答案解：方差表示一组数据的波动大小，故选：D7关于 x 的一元二次方程（a2）x2+x+a240 的一个根是0，则 a 的值是（）A0B2C 2D2 或 2【分析】根据方程根的定义把x0 代入即可得出
14、a 的值解：关于x 的一元二次方程（a 2）x2+x+a240 的一个根是0，a240，解得 a 2，a20，a2，a 2故选：C8甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点 O 代表的是学校，x 表示的是行走时间（单位：分），y 表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：甲、乙二人第一次相遇后，停留了10 分钟；甲先到达的目的地；甲在停留10 分钟之后提高了行走速度；甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快所有正确推断的序号是（）ABCD【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可解：甲、乙
15、二人第一次相遇后，停留了2010 10 分钟，说法正确；甲在 35 分时到达，乙在40 分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；甲在停留10 分钟之后减慢了行走速度，说法错误；甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；故选：D二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9函数 y自变量 x 的取值范围是x 5【分析】根据被开方数大于等于0 列式计算即可得解解：根据题意得，x50，解得 x5故答案为：x510已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是3【分析】可先设出两边的长度，再利用周长建立方程，进而求解即可解：平行四边形的周长是18，一组邻边之比是1：2，设两邻边
16、分别为x，2x，则 2（x+2x）18，解得：x3，较短的边的边长是3，故答案为：311 写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以为x24（答案不唯一）【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立本题答案不唯一解：答案不唯一，如x24 等故答案为：x2 4（答案不唯一）12有一组样本容量为20 的数据，分别是：7、10、8、14、9、7、12、11、10、8、13、10、8、11、10、9、12、9、13、11，那么该样本数据落在范围8.510.5 内的频率是0.35【分析】先找到数据落在范围8.5 10
17、.5 内的个数，再除以数据的总个数可得答案解：该样本数据落在范围8.510.5 内的有 10、9、10、10、10、9、9 这 7 个，该样本数据落在范围8.510.5 内的频率是0.35，故答案为：0.3513点 A（2，4）到 x 轴的距离为4【分析】根据平面内一点到x 轴的距离是它的纵坐标的绝对值解答即可解：点 A（2，4）到 x 轴的距离是4故答案为414如图，在平行四边形ABCD 中，ED 2，BC5，ABC 的平分线交AD 于点 E，则CD 的长为3【分析】根据角平分线定义求出ABE EBC，根据平行线的性质得出AED EBC，推出 ABE AED，根据等腰三角形的判定得出AB A
18、E，即可得出答案解：ABC 的平分线交AD 于点 E，ABE EBC，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC，ABCD，AED EBC，ABE AED，AB AE，BC 5，DE 2，AB AE523，CDAB3，故答案为：315已知一次函数表达式为yx+2，该图象与坐标轴围成的三角形的面积为2【分析】结合一次函数yx+2 的图象可以求出图象与x 轴的交点（2，0）以及 y 轴的交点（0，2）可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积解：令y0，则 x 2；令 x0，则 y2，一次函数y x+2 的图象可以求出图象与x 轴的交点（2，0），与 y 轴的交点为（0，2）S222，故答案为：216如图
19、所示，菱形ABCD，在边AB 上有一动点E，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F，线段 EF 的垂直平分线分别交BC、AD 边于点 G、H，得到四边形EGFH，点 E 在运动过程中，有如下结论：可以得到无数个平行四边形EGFH；可以得到无数个矩形EGFH；可以得到无数个菱形EGFH；至少得到一个正方形EGFH 所有正确结论的序号是【分析】由“AAS”可证 AOE COF，AHO CGO，可得 OEOF，HOGO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由 EF GH，可得四边形EGFH 是菱形，可判断 正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证 BOG COF，可得 OGOF，
20、可证四边形EGFH 是正方形，可判断 正确，即可求解解：如图，四边形ABCD 是菱形，AOCO，AD BC，AB CD，BAO DCO，AEO CFO，AOE COF（AAS），OEOF，线段 EF 的垂直平分线分别交BC、AD 边于点 G、H，GH 过点 O，GHEF，AD BC，DAO BCO，AHO CGO，AHO CGO（AAS），HOGO，四边形EGFH 是平行四边形，EF GH，四边形EGFH 是菱形，点 E 是 AB 上的一个动点，随着点E 的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点 E 的移动可以得到无数个菱形EGFH，故 正确；若四边形ABCD 是正方形，BOC 90，G
21、BO FCO45，OB OC；EF GH，GOF 90；BOG+BOF COF+BOF 90 BOG COF；在 BOG 和 COF 中，BOG COF（ASA）；OGOF，同理可得：EOOH，GHEF；四边形EGFH 是正方形，点 E 是 AB 上的一个动点，至少得到一个正方形EGFH，故 正确，故答案为：三、解答题（本题共68 分，第 17-19 题各 5 分；第 20 题 6 分；第 21-24 题各 5 分；第 25、26 题各 6 分；第 27 题 7 分，第 28 题 8 分）解答应写出文字说明、步骤或证明过程.17阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形AB
22、CD 是平行四边形求作：菱形AECF，使点 E，F 分别在 BC，AD 上小军的作法如下：（1）连接 AC；（2）作 AC 的垂直平分线EF 分别交 BC，AD 于 E，F；（3）连接 AE，CF所以四边形AECF 是菱形老师说：“小军的作法正确”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空，由作图和已知可以得到：AOF COE（依据：ASA）；AF CE；AF CE；四边形AECF 是平行四边形（依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；EF 垂直平分AC；AF FC（依据：垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等）；四边形AECF 是菱形【分析】根据菱形的判定，结合作图过程即可补全填
23、空解：根据作图过程可知：AOF COE（ASA）；AF CE；AF CE；四边形AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；EF 垂直平分AC；AF FC（垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等）；四边形AECF 是菱形故答案为：ASA；AF CE；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF FC；垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等18已知：一次函数y（2m）x+m3（1）如果此函数图象经过原点，那么m 应满足的条件为m 3；（2）如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么m 应满足的条件为2m3；（3）如果此函数图象与y 轴交点在x 轴下方，那么 m 应满足
24、的条件为m3 且 m2；（4）如果此函数图象与y 轴交点到x 轴的距离为2，那么 m 应满足的条件为m 5 或m1【分析】（1）将点（0，0）代入一次函数解析式，即可求出m 的值；（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第二、三、四象限时，2m0，且m3 0，即可求出m 的范围；（3）先求出一次函数y（2 m）x+m3 与 y 轴的交点坐标，再根据图象与y 轴交点在 x 轴下方得到2m0 且 m30，即可求出m 的范围；（4）先求出一次函数y（2 m）x+m3 与 y 轴的交点坐标，再根据图象与y 轴交点到 x 轴的距离为2，得出交点的纵坐标的绝对值等于2，即可求出m 的值解：（1）一次
25、函数y（2 m）x+m3 的图象过原点，m30，解得 m3故答案为：m 3；（2）该函数的图象经过第二、三、四象限，2m0，且 m3 0，解得 2m3故答案为：2m3；（3）y（2m）x+m3，当 x0 时，ym3，由题意，得2 m 0 且 m3 0，m3 且 m2故答案为：m 3 且 m2；（4）y（2m）x+m3，当 x0 时，ym3，由题意，得2 m 0 且|m3|2，m5 或 m1故答案为：m 5 或 m119用配方法解方程x22x10【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解：x22x 1 0，x22x1，则 x22x+11+1，即
26、（x1）22，x1，x1，即 x11+，x2120判断方程4x213x 是否有解，如果有，请求出该方程的解；如果没有，请说明理由【分析】先把方程化为一般式得到4x23x10，再计算出7，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况解：4x213x，移项得 4x23x 10，（3）24 4（1）250，原方程有解，x1，x21故方程的解为x1，x2 121如图，已知在?ABCD 中，E、F 是对角线AC 上的两点，且DF BE求证：四边形BEDF 是平行四边形【分析】证 ADF CBE（AAS），得出 DF BE，由 DF BE，即可得出四边形BEDF是平行四边形【解答】证明：四边形ABCD 是平行
27、四边形，AD BC，AD BC，DAF BCE，DF BE，DFE BEF，AFD CEB，在 ADF 和 CBE 中，ADF CBE（AAS），DF BE，又 DF BE，四边形BEDF 是平行四边形22如图，直线yx+2 与 x 轴、y 轴分别交于点A 和点 B，点 C 在线段 AB 上，点 C 到x 轴的距离为1（1）点 B 的坐标为（0，2）；点 C 的坐标为（2，1）；（2）点 P 为线段 OA 上的一动点，当PC+PB 最小时，画出示意图并直接写出最小值【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得B、C 的坐标；（2）作 B 点关于 x 轴的对称点B，连接B C，交 x 轴
28、于 P 点，此时PC+PB 的值最小，根据勾股定理即可求得最小值解：（1）直线yx+2 与 x 轴、y 轴分别交于点A 和点 B，B（0，2），点 C 到 x 轴的距离为1点 C 的纵坐标为1，y 1时，1x+2，解得 x 2，C（2，1），故答案为（0，2），（2，1）；（2）作 B 点关于 x 轴的对称点B，连接 BC，交 x 轴于 P 点，此时 PC+PBPC+PBBC，则 PC+PB 的值最小，B（0，2），B（0，2），BC，PC+PB 的最小值为23如图，在矩形ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，DF DC，DF AE 于 F（1）求证：AEBC；（2）如果 AB3，AF4，求
29、 EC 的长【分析】（1）证出 AFD B，ABDF，由 AAS 证明 ABE DFA，得出对应边相等即可（2）由全等三角形的性质得出BE AF4，AEBC，由勾股定理求出AE5，得出BC5，即可得出答案【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，B90，ABDC，AD BC，AD BC，AEB DAF，DF AE，AFD 90 B，DF DC，AB DF，在 ABE 和 DFA 中，ABE DFA（AAS），AE AD，AE BC；（2）解：由（1）得：ABE DFA，BE AF4，AEBC，B90，AE5，BC 5，EC BCBE54124阅读理解：由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系
30、内，一次函数ykx+b（k 0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b0（k0）的解；在x 轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b0（k0）的解集，在x 轴上方的图象所对应的x 的所有值是kx+b0（k0）的解集例，如图1，一次函数kx+b0（k0）的图象与x 轴交于点 A（1，0），则可以得到关于 x 的一元一次方程kx+b0（k0）的解是x 1；kx+b0（k0）的解集为x 1结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：（1）通过图 1 可以得到kx+b0（k0）的解集为x1；（2）通过图 2 可以得到 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c 0（a0）的解为x1 1，x22；关于
31、 x 的不等式ax2+bx+c0（a 0）的解集为x1 1，x22【分析】（1）利用直线与x 轴交点即为y0 时，对应x 的值，进而得出答案；（2）利用抛物线与x 轴交点即为y0 时，对应x 的值，进而得出答案；（3）利用不等式ax2+bx+c0（a0）的解集即为x 轴上方对应x 的值，即可得出答案解：（1）通过图1 可以得到kx+b0（k0）的解集为x1；（2）通过图 2 可以得到 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c 0（a0）的解为x1 1，x2 2；关于 x 的不等式ax2+bx+c0（a 0）的解集为x1 1，x22故答案为：x1；x1 1，x22；x1 1，x2225垃圾分类全
32、民开始行动，为了了解学生现阶段对于“垃圾分类”知识的掌握情况，某校组织全校1000 名学生进行垃圾分类答题测试，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：分组/分频数频率50 x60120.1260 x70a0.1070 x80320.3280 x90200.2090 x 100cb合计1001.00（1）表中的 a10，b0.26，c26；（2）把上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到80 及 80 分以上者为测试通过，那么请你估计该校测试通过的学生大约有多少人；对于此结果你有什么建议【分析】（1）第一组的频数为12，频率为0.12，可求出
33、调查人数，进而求出a 的值，根据频率之和为1，求出 b 的值，再根据频数之和为100，求出 c 的值；（2）根据（1）中的频数，可补全频数分布直方图；（3）求出 80 分以上所占的百分比为26%+20%46%，进而求出测试通过的人数，根据结果提出建议解：（1）120.12100（人），a1000.10 10（人），b 10.120.10 0.320.200.26，c100 0.26 26（人），故答案为：10，0.26，26；（2）由（1）得，a10，c26，可补全频数分布直方图，（3）1000（26%+20%）460（人），由于测试通过的学生人数所占的百分比为46%，不到一半，因此测试通过率
34、较低，还需进一步加强学习，宣传，增强“垃圾分类”的意识，自觉进行“垃圾分类”26如图，在平面直角坐标系xOy 中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”，正比例函数y kx（k 0）的图象与直线x3 及 x 轴围成三角形（1）正比例函数ykx（k0）图象过点（1，1）；k 的值为1；该三角形内的“整点坐标”有1个；（2）如果在 x 轴上方由已知形成的三角形内有3 个“整点坐标”，求k 的取值范围【分析】（1）把（1，1）代入 ykx，可求出k 的值，画出函数的图象，可知三角形内有 1个“整点坐标”；（2）当直线 yx 绕着点 O 逆时针旋转时，就有3 个“整点坐标”，即k1，当直线 ykx
35、 过点 D（2，3）时，k 取最大值，可得取值范围解：（1）正比例函数ykx（k0）图象过点（1，1），代入得：1k，即 k1，故答案为：1；如图，直线yx、直线 x3 和 x 轴围成的三角形是ABC，则三角形ABC 内的“整点坐标”有点，（2，1），共 1 个，故答案为：1；（2）当直线 ykx 过点 D（2，3）时，其关系式为yx，当直线 ykx 过点 A（3，3）时，其关系式为y x，当三角形内有3 个“整点坐标”，k 的取值范围为1k27如图，在正方形ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点A，B 重合），连接DE，将线段 ED 绕点 E 顺时针旋转90得到线段EF，连接 BF
36、（1）按已知补全图形；（2）用等式表示线段BF 与 AE 的数量关系并证明（提示：可以通过旋转的特征构造全等三角形，从而可以得到线段间的数量关系，再去发现生成的特殊的三角形，问题得以解决）【分析】（1）根据要求画出图形即可（2）结论：BF AE过点F 作 FH AB，交 AB 的延长线于H 证明 DAE EHF（AAS），推出AEFH，AD EH，ABEH，推出 AEBH FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可解：（1）图形如图所示（2）结论：BF AE理由：过点F 作 FH AB，交 AB 的延长线于H四边形ABCD 是正方形，AD AB，A90，DEF H90，A H90，AED+F
37、EH 90，FEH+EFH 90，AED AFH，DE EF，DAE EHF（AAS），AE FH，AD EH，AB EH，AE BHFH，BFFH AE28我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意一点P（x，y）如果满足x2|y|，我们就把点P（x，y）称作“特征点”（1）在直线 x4 上的“特征点”为（4，2）或（4，2）；（2）一次函数yx2 的图象上的“特征点”为（4，2）或（，）；（3）有线段 MN，点 M、N 的坐标分别为M（1，a）、N（4，a），如果线段MN 上始终存在“特征点”，求a 的取值范围【分析】（1）由“特征点”定义可求解；（2）由题意可得“特征点”在直
38、线y或直线y上，联立方程组，可求一次函数 yx 2 的图象上的“特征点”；（3）画出“特征点”函数图象，利用特殊点可求解解：（1）x2|y|，且 x4，y 2，在直线x4 上的“特征点”为（4，2）或（4，2），故答案为：（4，2）或（4，2）；（2）x 2|y|，y或 y，“特征点”在直线y或直线 y上，由题意可得：或，解得或，一次函数y x2 的图象上的“特征点”为（4，2）或（，），故答案为：（4，2）或（，）；（3）如图，当 M（1，a）在直线y上时，a，当 N（4，a）在直线 y上时，a2，当a2 时，线段MN 上由“特征点”；当 M（1，a）在直线y上时，a，当 N（4，a）在直线 y上时，a 2，当 2a时，线段MN 上由“特征点”；综上所述：当 a 2 或 2 a时，线段MN 上始终存在“特征点”