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1、如何学好初中几何1/14 如何学好初中几何初中几何是初中数学一个分支，而初中数学是初中阶段的一门重要课程，它对于培养学生的识图、画图能力及逻辑思维能力和推理论证能力都是十分重要的。这里我就如何学好初中几何谈一点浅显的看法。一、要有足够的基础知识储备这里所说的基础知识，是指定义、公理、定理（推论），特别是基本图形的几何语言描述、基本几何作图的规范语言以及一些概念性的东西要熟练掌握。图1 图1是一些基本的几何图形，你能用规范的几何语言表述吗？图2 图2是一些几何基本作图，你能用规范的几何语言进行表述吗？初中几何除定义外，还有10 条公理、140多条定理，你是否已经全部理解并掌握了。这些都是学好初中
2、几何的基础，只有有了足够的知识储备，才能在解决几何问题的时候得心应手。如何学好初中几何2/14 二、能够对定义、公理、定理（推论）进行分类这里所说的分类，是指哪些定义、公理、定理（推论）得够得到线段平行、垂直、相等、不等哪些又可以得到角相等、不等以及哪些又可以得到比例式和（一）线平行1.两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。2.两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。3.“三线八角”。4.两条直线截一组直线，所截得的线段对应成比例，那么这两条直线平行。5.平行四边形对边。6.三角形（梯形）中位线。（二）线垂直1.一条直线垂直两条平行线中的一条，那么一定垂直另一条。2.
3、勾股定理逆定理。3.身影定理逆定理。4.邻补角相等。5.三角形中两锐角和为90。6.菱形对角线。7.矩形内角。8.圆中直径所对圆周角。9.圆的切线与过切点半（直）径。（三）线段相等1.全等三角形对应边。2.三角形中等角对等边。3.等腰三角形腰、腰上的高（中线）、底角平分线。4.等边三角形。5.中点、三角形（梯形）中位线。6.勾股定理。7.平行四边形对边。8.等腰梯形对角线。9.同圆或等圆中相等圆周（心）角所对的弦。10.同圆或等圆的半（直）径。11.切线长定理。12.直角三角形斜边上的中线。13.角平分线上的点到角两边距离。14.线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。（四）线段不等1.三角
4、形中大角对大边。（直角三角形中斜边最大）2.三角形中两边之和大于第三边。3.三角形中两边之差小于第三边。4.连结两点的所有线中，线段最短。5.垂线段最短。6.同圆或等圆中，大弦（弧）对较大的圆心（周）角。（五）比例线段1.平行线分线段在比例。如何学好初中几何3/14 2.相似三角形对应边成比例。3.相交弦定理。4.切割线定理。5.三角形重心分中线1：2。6.射影定理。7.三角形角平分线分线段成比例定理。（六）角相等1.全等（相似）三角形对应角。2.三角形中等边对等角。3.角平分线。4.切线长定理。5.圆内接四边形外角等于内对角。6.三角形（N边形）内角和等于180（(2)*180）。7.三角形
5、外角等于不相邻两个内角和。8.平行四边形对角。9.平行线“三线八角”。10.同弧或等弧所对的圆周（心）角。11.弦切角定理。12.三角形（N边形）外角和等于360。（七）角不等1.三角形中大边对大角。2.三角形外角大于不相邻的两个内角。三、隐图形“隐图形”是指特殊的图形，如等腰三角形、等边三角形、平行四边形。但这些特殊图形在整个图形中只表现出其中的一部分，如果能够发现“隐图形”，对我们分析问题、解决问题会有很大的帮助。（一）中点带来的“隐图形”如图：1、过中点作垂直平分线，与另一边交于一点，这一点与线段的两个端点构成等腰三角形。如何学好初中几何4/14 2、连结此中点与其他边中点，可得中位线，
6、可得平行及线段半倍关系及相似形。3、作中线，可得面积相等的两个三角形。4、过中位线一个端点作一边的平行线，可得平行四边形、全等三角形。5、延长中位线，并使延长部分等于中位线长，则隐藏平行四边形、全等三角形。6、延长中线，并使延长部分等于中线长，则隐藏平行四边形、全等三角形。（二）角平分线带来的“隐图形”1、过角平分线上的点作角平分线的垂线，可得等腰三角形，满足三线合一。2、从角的顶点开始截取的等线段，结合角平分线上的点，隐藏全等三角形。3、角平分线上的点向角两边作垂线，可得全等三角形。4、过角平分线上的点作角一边的平行线，可得等腰三角形。（三）相等的量带来的“隐图形”1、相等线段有公共端点，隐
7、藏等腰三角形。如何学好初中几何5/14 2、相等的线段、角分别在两个三角形中，可能存在全等三角形或相似三角形。3、平移相等线段中的一条，使其一个端点与另一条线段的一个端点重合，可得等腰三角形，平移含平行四边形。4、相等角有公共边，隐藏等腰三角形。5、线段相等且平行，隐藏平行四边形。6、两对线分别平行，隐藏平行四边形。（四）平行四边形带来的“隐图形”1、如果连结对角线，可得全等三角形。2、过对角顶作垂线，可得矩形和全等直角三角形。3、菱形作对角线，可得垂直平分。（五）梯形带来的“隐图形”1、作梯形中位线，可得平行及半倍关系。（中位线平行两底且等于两底和的一半）2、延长梯形两腰，可构成三角形3、连
8、结一腰端点和另一腰的中点并延长与另一底相交，可得全等三角形。4、等腰梯形平移腰或平移对角线可得等腰三角形、平行四边形。(六)其它1、在三角形中，如果给出两条中线（高、角平分线、边垂直平分线），则交点为重心（垂心、内心、外心），那么要考虑第三条线，并考虑第三条线所带来的相关结论。2、“三线合一”，如果一个三角形中，中线、高、角平分线三线合一，必为等腰三角形。四、常用分析问题方法如何学好初中几何6/14 分析问题、解决问题的方法有很多种，诸如“综合法”、“分析法”、“反证法”、“枚举法（穷举法）、完全归纳法、不完全归纳法等等。这里，我们只对研究几何问题常用的三种方法：综合法、分析法和反证法进行简单
9、的介绍。（一）综合法综合法是一种直接证法，从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。适用题型：适用于已知条件相对较少的题目。步骤：综合已知条件，看能够得到什么样的结论，选择与待证结论相关的再结合其他已知条件进一步论证，如此反复，最终达到待证的结论。用综合法解决问题时，每一个中间论证都会得到若干个结论，选择恰当的中间结论进一步论证是综合法的关键。通常我们书写的解题过程，就是按综合法书写。图3 图3给出了综合法分析问题的过程及示例。（二）分析法分析法是一种间接证法，从要证的结论出发，逐
10、步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。也称为因果分析、逆推证法或执果索因法。适用题型：已知条件相对较多的题目，或者使用直接证法比较困难的题目。步骤：从待证的结论出发，“要证，只需证明（知道）”，排除已知条件和显然成立的条件，重复“要证，只需证明（知道），直到所需条件全部成立，于是问题得证。分析法是分析问题、解决问题最常用的一种方法。我们通常用分析法对问题进行分析，然后使用综合法写出解决问题的过程。证明过程的书写没有一定的要求，用综合法也好，用分析法也好，还是用反证法也好，都可以用来书写
11、如何学好初中几何7/14 证明过程。上述例子，以及下面的两例就是分别用综合法和分析法及反证法书写证明过程。图4 图4给出了分析法分析问题的过程及示例。（三）反证法又称归谬法、背理法，是一种间接证法，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。适用题型：1、唯一性命题2、否定性命题3、“至多”，“至少”型命题4、不等量问题步骤：1、假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。2、从这个假设的命题出发，经过推理证明得出矛盾。3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。如何学好初中几何8/14 图5 图5给出了反证法分析
12、问题的过程及示例。五、几何问题分类考试时我们会接触到填空题、选择题、判断题、作图题、计算题、证明题、探究题但我们这里所说的问题分类是指所涉及的几何问题按探究的内容进行划分，可分为3 类：作图题、证明题、探究题。作图题：这里所说的作图，是指“尺规作图”，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。“尺规作图”有八种基本作图，五种基本作法。（具体内容可参见百度百科）证明题：证明题是让我们证明一个命题是正确的，也就是说有确定的结论。如证明两条线平行，证明两条线段相等探究题：是相对证明题而言，这一类题没有明确的结果，如求一条线段的长度、求一个角的度数、探讨两条直线（线段）的关系、探讨两个图形是否相似六、如
13、何解难题当我们面对一道几何题（作图题除外）时，如果问题相对简单，我们通过直接观察就很容易找到解决的方法。但对于一些相对复杂、难度较大的题目时，大多数同学感到无从下手，甚至放弃。当面对一道不知从何处着手的几何问题时，真的就放弃了吗？以下题为例，你可以按我下面说的步骤试一试：1、重新画图重新画图不是照样画样地把原图再画一遍，应该是把题目仔细阅读，在充分理解题意的前提下，按照题意重新画图，单纯地仿照画图，可能会出现偏差，在很大程度上会影响结合图形分析问题。重新画图，能够让我们更加充分地理解题目，并在画图的过程中开发我们的思路。根据题意，四边形是一个梯形，并且底边等于其中的一条腰，明确这一点后，我们会
14、发现，当我们确定后，无法直接确定的位置，只有先画出、后才能通过过D点作的平行线，在适当位置确定A点，最后画出符合题意的梯形。如何确定E点呢？根据题意，点E是过D点平行的直线与角的平分线的交点，于是画出过D点平行的直线，再作角的平分线，交于一点，这一点就是E，擦除多余的线（哈哈，要是用钢笔画不太好擦吧）。连结并延长，交于点F。2、标识等量画完图后，我们要做的是在图中把已知条件中给出的相等关系的量（相等的线段、相等的角）或能够知道相等的关系量用相同的符号进行标记，已知线段长度、角的度数如何学好初中几何9/14 或能够知道的线段长度、角的度数也做好标记。为避免混淆，标记的线段或角最好是单一线段（角）
15、。相等的线段用相同的符号标记，不同组用不同的符号；相等的角用阿拉伯数字及弧标记，不同组分别用一条弧、两条弧标记。如图中：，是一条单一的线段，但之上有一点F，不是单一线段，这样、就不用标记了，记在脑中就可以。和通过是角平分线可以知道相等，将标记上1 及一条弧，同样将标记上2 及一条弧。虽然数字不同，因为都是用一条弧，表示这两个角相等。假若还有两个角相等且与1、2 不相等，则可用3、4标记，并用 2条弧标记。作标记有两个好处，一是有利于我们分析图形，二是能够使书写的证明过程简洁、明了，可读性增强。在证明过程中遇到的角也可以用数字标记出来便于书写和阅读。3、观察“隐图形”“隐图形”是指在原图中通过延
16、长线段、连结点、作垂线、作平行线等辅助线后得到的特殊图形，如平行、垂直、半倍线段、特殊（等边、等腰、）、特殊四边形（正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形等），这些特殊形能够为我们提供诸如“相等”、“平行”、“垂直”等关系。“隐图形 1”：这一条件，使我们能够找到第一个隐图形，连结B、D，可得到等腰，进而得到，根据三线合一还能知道，如果延长能够垂直且平分，“隐图形 2”：结论要证明，如果结论正确，那么连结A、F，三角形就应该是等腰，这样可以考虑通过证明来证明。“隐图形 3”：已知中有条件平行、平行，显然延长交于G，四边形是平行四边形，进而可得，以及平行四边形中相等的角。能够发现“隐图形”会为
17、我们解决问题提供极大的帮助，但也要认识到，并不是所有的隐图形都会对我们的解题产生帮助。“隐图形 2”与要证明的结论有关是显然的，通过观察，想要通过来证明是十分困难的；“隐图形 1”是通过连结得到的一个等腰三角形，但由这个等腰得出的等量，与我们要证明的结论没有太大的关系。而“隐图形3”得到的显然与要证明的结论有关系。因为“隐图形 1”、“隐图形 2”对我们证明帮助不大，将、擦除，只保留，最后把和作上标记。4、发现全等（相似）形结合题意，我们进行观察，因为是角平分线，首先观察有没有以为公共边的全等三角形，很显然，三角形与三角形是一对以为公共边的全等三角形（），进而得到，。将、，、作上标记。（这里，
18、、我们用双线标记以区分第一对相等的线段，、分别标记为3、4，并用两条弧标记以区分另一对相等的角。）再次观察图形，结合刚刚找到的全等三角形，我们又能找到一对全等三角形，（），可得对应边相等、对应角相等。于是有，再根据可知，问题得证。综合前 4 步工作，我们可以给出分析过程：延长交于 G。易知四边形是平行四边形。（发现隐图形）如何学好初中几何10/14 要证，只需证。（通过作辅助线可知，）要证，只需证（发现全等形）要证，只需证 3 4，5 6（对顶角）。要证3 4，只需证要证，只需证，1 2，（已知），1 2（角平分线定义），（公共边），问题得证。将上述分析过程（分析法）逆推既可写出证明过程（综合
19、法）。证明：延长交于点 G (已知)(已知)四边形为平行四边形(平行四边形判定)(平行四边形对边相等)和中(已知)1 2(角平分线定义)(公共边)()，3 4(对应边相等，对应角相等)和中3 4(已证)(已证)5 6(对顶角)()（对应边相等）又（已证）（等量代换）证明完毕！（注意：请仔细观察本题书写时每一行左侧的缩进位置，养成良好的书写习惯。）上面的例题，通过“重新画图”、“标识等量”、“观察隐图形”、“发现全等（相似）形”我们可以找到解决问题的方法。但需要注意，利用上述四步时，一定要结合“要证明，我们可以利用”进行分析。比如：“要证明两条线段相等，我们可以利用的定义、公理、定理有14条，结
20、合其他条件进行选择”。许多同学对一个问题，能够口述出它的解决方法，但要求书写出解题（证明）过程时，可能会出现丢分现象，如果方法正确，因为书写过程丢分，那么肯定是你书写的过程出现了“丢步”。书写的解题（证明）过程，必须环环紧扣、一丝不苟。如果缺少某一环节（也就是所说的“丢步”），你的解题（证明）的整体思路没有问题，但是步骤不完整，会造成不必要的损失（丢分）。要保证书写的过程严谨，其实很容易，你只需要看上一个“因为”（）到下一个“所以”（）所使用的依据是不是以下几种且必须是以下几种：1、已知；2、定义；3、公理；4、定理；5、已证；6、辅助线作法如果你使用的依据不是上述六种之一，那么你的过程是不完
21、整的，甚至可能是错误的。当一个“”后面是几个条件时，如果将这几个条件在一行书写，之间用逗号隔开；如果几个条件是分行书写，那么最好用左大括号“”括起来，以便于阅读。如果一道题有辅助线，那么在证明一开始要写明辅助线作法，注意：是在写“证明：”之后书写辅助线作法，不要放在过程的中间。“依据”并不是必须标注的，在我们初学几何时进行标注，是为了更好地掌握定义、公理、定理的内容，如何学好初中几何11/14 深入学习之后可以不进行标注。至此，该如何分析、解决一道几何题我们就谈完了，看懂了吗？如果你看懂了，那么你还需要结合上述步骤多多进行练习，不要图省事而忽略步骤。七、综合练习下面的任务就是结合大量的实例进行
22、分析。例1：如图所示，边长为1 的正方形中，与交于点P。（1）若，求证：；（2）若 45，求证：；（3）若的周长为1，求矩形的面积。分析：第（1）问：1、重画图形：通过仔细阅读题目，题中对、的位置除平行边及外没有其它限制。求证的结论有、，原图中没有，在重新画图时要画出。2、标识等量：（已知），进而知、都与、相等。注意：是已知，其它相等需证明。3、观察“隐图形”：本图中有诸多的矩形（正方形）隐藏着诸多的等腰直角三角形。4、发现全等形：通过观察，很容易发现，有四个直角三角形、相互之间全等。进而可知。证明：正方形中，四边形为矩形同理可得和中，D，证明完毕！本题引发的另一种思考：如果我们连结、，如果垂
23、直且平分，根据三线合一，可证明为等腰，亦可证明。我们知道，因为四边形是正方形（可证），与是互相垂直平分的，于是当我们连结时，如何证明P点在上是关键。你能证明吗？是的平分线（正方形对角线平分对角），点P 到两边的距离相等，所以点 P在的平分线上，即P在上。问题得证。第（2）问：如何学好初中几何12/14 注意：通过审题我们应该看到，三个问题之间是相互独立的，也就是说，第（2）个问题是没有这一条件的。所以我们应该重新画一个图，使，并且使45，根据结论，还要连结。1、重新画图：第（2）问在画图时，需要注意的是45。先在适当位置确定，连结，然后画（使45），交于点 H，再做，最后连结。2、标识等量：此
24、问需要注意，与是一对等量，与是另一对等量，用不同的标记。再将已知的45标出。3、观察隐图形：由45可以得到45。4、发现全等形：本图中、。到目前为止，完成上述四个步骤后，我们似乎陷入了僵局，是不是有手足无措的感觉了？上述四个步骤只是准备工作，许多题目完成了上述四步只是为接下来的分析做准备的。观察结论，要证明的是线段的和差相等，这一类的题目，我们通常考虑使用截长法或补短法。截长法：是指型如时，我们将c 截成两段，使其中一段等于a，然后只要能证明另一段等于b，则问题可证。也就是截长线段（c）成两段。补短法：是指型如时，我们将a（或与 a 相等的线段）或b（或与b 相等的线段）延长，使延长部分等于b
25、，这时只要证明延长后得到的新线段等于c 即可。也就是补短线段(a或b)。截长、补短后，通常我们利用全等三角形、平行四边形，等腰三角形来证明线段相等。本题我们使用补短法。如果要补的线段是或与相等的线段，那么，有三条线段、，到底选择哪一条呢？选择后向哪个方向延长呢？这就需要我们观察了。原则上，所选线段最好与结论有关系。先看，在的延长线上取一点O，使，于是我们做出了（），下面只要证明。下一步需要构造一个以为边的三角形，证明即可，显然要连结。我们能够证明，得。还可证明 45 1，根据进而能够证明，于是，即。延长到 O使，连结，也可以通过证明得到，通过矩形对角线得，还可证明45 1，根据可以证明，得，即
26、。再看，通过对的延长或对的延长我们也可以进行证明，方法与类似，不再说明。三看，似乎毫无办法。其实我们把思维再发散一些就会发现，如果我们把上图中的正方形及向下平移个长度，会怎么样？这时我们发现，可以利用上图的方法进行证明。不再说明。对延长或与相等的线段（、），方法与延长或与相等的线段（、）类似，这里不再说明，大家可以自己尝试一下。这里没有给出证明过程，大家自己写出来。截长法在本题的证明中也可以使用，但会使证明变得更加的复杂，这里不做介绍。第（3）问：如何学好初中几何13/14 1、重新画图：注意，此问中有的周长为1，上面若干个图形都不适合，需重新画图，并连结。如果画图准确，我们大致可估算出矩形的
27、面积约是正方形面积的一半左右，有利于验证求得的结果。2、本问因使用代数方法计算，暂不考虑隐图形和全等形。本问中涉及的周长，与计算有关的定义、公理、定理主要有勾股定理、射影定理、斜边中线长定理、30度角所对边定理已知的周长为 1，显示与勾股定理有关，为书写及观看方便设，则有 x222，22yx根据周长 1，于是有22yx1 或122yx将式两边平方（1）2=（22yx）2 展开得：122-22222整理得21要求矩形的面积，显然1，1 矩形的面积（1）(1)展开得：面积11-（)将代入，面积12121这与我们在重新画图时的估算大致相同。例2：已知的高所在直线与高所在直线相交于点F。（1）如图 1
28、，若为锐角三角形，且45，过点 F作，交直线于点G，求证：。（2）如图 2，若 135，过点过点 F作，交直线于点G，则、之间有怎样的数量关系？分析（1）：通过阅读题目，我们很容易知道、（垂直+45），结合要证的结论，可知，只要证明出，那么。现在的关键变成了如何证明，第三部分“隐图形”之（六）告诉我们，、是的两条高，交点F为垂心，那么我们考虑第三条高。连结并延长交于点H，则，于是，只需证明是等腰三角形即可。这个不难吧！为等腰直角三角形，则 45，进而知为等腰直角三角形，得。问题得证。分析（2）：与（1）同理，连结交于点H，F为垂心，则（），由 135知45，进而可知、，因为，所以。问题得证。H
29、 H 如何学好初中几何14/14 例3：如图：将矩形纸片沿其对角线折叠，使点B落到点B的位置，与交于点E。（1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明；（2）若8，3，P为线段上任意一点，于G，于H，试求的值，并说明理由。分析（1）：由对折可知：BC，B=D，根据，易知。分析（2）：由对折知，为B的平分线，根据角平分线“隐图形”如果过P点作的垂线段，此垂线段与相等。延长交于点 O，则，由对折知，为B的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，而可证，所以有3。例4：如图，与都是等腰直角，D在上，求证：（1）；（2）222分析（1）：这一问很简单，由很容易证明。由两个等腰直角可知，由两个
30、直角减去公共角可知上述两边的夹角相等。分析（2）：由结论222我们很容易想到勾股定理，但、不在一个三角形中，由（1）的全等知，如果代换一下，结论变成222，这时、为同一三角形的三边，只需要证明这个三角形是，即证明为直角。由等腰知，45，由（1）全等知B45，则90。问题得证。例5：如图，在平行四边形中，32，分别以、为边向外作和，使，。延长交边于点H，点H在E、C两点之间，连结、。（1）求证：。（2）当时，求的度数。分析（1）：重新画图，将相等的量在图中标出。这时我们很容易看到和中，已经有两对边对应相等了，这时我们只需要证明其夹角也相等（这个并不难，用等量代换即可），问题得证。分析（2）：知，1+2+390，1+258，由全等知，1 4，有 4+258，而 5 2+4，所以 558，即 58例6：1 2 3 4 5