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1、江苏省无锡市2020 届高三上学期期末考试试题数学一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1.集合 Ax|x 2k1，kZ，B1，2，3，4，则 AB _2.已知复数zabi(a，bR)，且满足iz 9i(其中 i 为虚数单位)，则 ab_3.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7 人用时为6 分钟，有 14 人用时为7分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还有4 人用时为 10 分钟，则高二(4)班全体同学中午用餐平均用时为_分钟4.函数 f(x)(a 1)x 3(a1，a2)过定点 _5.已知等差数列 an(公差不为0)，其中 a1，a2，a6成等比数列，则这
2、个等比数列的公比为_6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4 道题中随机抽取2 道做答，小李会做其中的3 道题，则抽到的2 道题小李都会的概率为_7.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB 1，AD 2，AA11，点 E为 BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是_(第 7 题)(第 8 题)8.如图所示的流程图中，输出n 的值为 _9.圆 C：(x 1)2(y 2)2 4 关于直线y2x1 对称的圆的方程为_10.已知正方形ABCD的边长为2，圆 O内切于正方形ABCD，MN为圆 O的一条动直径，点P为正方形ABCD 边界上任一点，则PMPN的取值范围是_11.双曲线C：x24y23
3、1 的左右顶点为A，B，以 AB为直径作圆O，P 为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连结PA交圆 O于点 Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2.若 k1k2，则 _12.若对于任意的正数a，b，不等式(2ab a2)k 4b24ab3a2恒成立，则k 的最大值为 _13.在直角三角形ABC中，C为直角，BAC 45，点 D在线段 BC上，且 CD 13 CB.若 tan DAB12，则 BAC的正切值为 _14.已知函数f(x)|x21|x2kx9 在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_二、解答题：本大题共6 小题，共90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程
4、或演算步骤15.(本小题满分14 分)在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(2a 3b，3c)，向量n(cos B，cos C)，且m n.(1)求角 C的大小；(2)求 ysin A 3sin(B 3)的最大值16.(本小题满分14 分)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，PAD为锐角三角形，且平面PAD 底面ABCD，点 E为 PD的中点，CD DP.求证：(1)OE 平面PAB；(2)CD PA.17.(本小题满分14 分)已知椭圆C：x2a2y2b2 1(a b0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点(2，53)，过点 F2且
5、不平行于坐标轴的直线l 交椭圆于P，Q两点，点Q关于 x 轴的对称点为R，直线 PR交 x 轴于点 M.(1)求PF1Q的周长；(2)求PF1M面积的最大值18.(本小题满分16 分)一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示)，其中 AD AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为 450 m3，深 2 m 若池底和池壁每平方米的造价分别为200 元和 150 元，发酵池造价总费用不超过65 400元(1)求发酵池AD边长的范围；(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 m 和 b
6、m 的走道(b 为常数)问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小19.(本小题满分16 分)已知 an，bn均为正项数列，其前n 项和分别为Sn，Tn，且 a112，b11，b22，当 n2，nN*时，Sn1 12an，bn2（T2n T2n1）bn1bn12Tn1.(1)求数列 an，bn 的通项公式；(2)设 cn（bn2）anb2nbn，求数列 cn 的前 n项和 Pn.20.(本小题满分16 分)设函数 f(x)ln x ax，a R，a0.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)0 有两个零点x1，x2(x1x2)()求 a 的取值范围；()求证：x1x2随
7、着x2x1的增大而增大数学附加题(满分 40 分，考试时间30 分钟)21.(本小题满分10 分)已知 a，bR，矩阵Aa bc d.若矩阵A属于特征值5 的一个特征向量为11，点 P(2，1)在A对应的变换作用下得到点P(1，2)，求矩阵A.22.(本小题满分10 分)已知曲线C1：x4cos，y4sin(其中 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 cos(3)23.设曲线 C1与曲线 C2交于 A，B两点，求AB的长23.(本小题满分10 分)如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，点 O为 AB的中点，AEB 90，EAB 30，
8、AB23，AD 3.(1)求异面直线OC与 DE所成角的余弦值；(2)求二面角ADEC 的正弦值24.(本小题满分10 分)对于任意的x1，nN*，用数学归纳法证明：ex 1xnn！.数学参考答案及评分标准1.1，3 2.8 3.1524.(0，2)5.4 6.127.638.4 9.(x 3)2y24 10.0，1 11.3412.22 13.3 14.(263，8)15.解：(1)m n，(2a 3b)cos C 3ccos B 0.(2分)由正弦定理可得2sin Acos C3sin Bcos C3sin Ccos B0，(4 分)即 2sin Acos C3sin(B C)3sin A
9、(6 分)又 A为 ABC的内角，sin A0，cos C 32.又 C为ABC的内角，故C6.(8 分)(2)ysin A 3sin(B 3)sin(B 6)3sin(B 3)(10 分)12cos B 32sin B 32sin B 32cos B 3sin B cos B 2sin(B 6)，(12 分)当 B23时，y 的最大值为2.(14 分)16.证明：(1)连结 BD，因为底面是平行四边形，故BD经过 O点，且点O为 BD的中点又点 E为 PD的中点，所以OE PB.(4 分)因为 OE?平面 PAB，PB?平面 PAB，所以 OE 平面 PAB.(6 分)(2)在平面 PAD内
10、作 PH AD，由于 PAD 为锐角三角形，设 PH AD H.因为平面PAD 底面 ABCD，平面 PAD 底面ABCD AD，PHAD，PH?平面 PAD，所以 PH 平面 ABCD.(8 分)又 CD?平面 ABCD，所以 PH CD.(10 分)而 CD DP，PH PD P，PH，PD?平面 PAD，所以 CD 平面 PAD.(12 分)而 PA?平面 PAD，则 CD PA.(14 分)17.解：(1)由椭圆的焦距为4，则 c2，从而 a2b24.又椭圆过点(2，53)，所以4a2259b21，即 36b2 25a2 9a2b2，消去 b，得 9a497a21440，解得 a2 9
11、 或 a2169(舍去)，所以 a3.(4分)则 PF1Q的周长为 4a12.(6 分)(2)由(1)得椭圆方程为x29y251，F2(2，0)设直线 l 的方程为 yk(x 2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m，0)，则 R(x2，y2)，直线 PR的方程为y y1y1y2x1 x2(x x1)，令 y0，则 y1y1y2x1x2(x x1)，xy1（x2x1）y1y2x1，所以 m y1（x2x1）y1y2x1y1x2y2x1y1y22x1x22（x1 x2）x1 x2 4.(8分)将直线 l 的方程与椭圆方程联立，并消去y，得(5 9k2)x236k2x36k2450，则 x
12、1x236k259k2，x1x236k24559k2，(10 分)从而 m 236k24559k2236k259k236k25 9k24 90 2092，(12 分)SPF1M 12F1M|y1|12922|y1|134|y1|1354，所以 PF1M面积的最大值为1354.(14分)18.解：设发酵池AD边长为 x m，则另一边长为225x m，且 x225x，即 x15.(2分)(1)225 200 4(x 225x)15065 400，(4 分)化简得 x234x2250，解得9x25，(6 分)所以发酵池AD边长的范围是15，25(8 分)(2)发酵馆占地面积S(x 8)(225x2b
13、)22516b2bx1 800 x，15x25，(10 分)令 S 2b1 800 x22bx21 800 x20，解得 x30b，(0，30b)30b(30b，)S0 S 递减递增当30b15，即 b4 时，AD边为 15 m，S最小；(12 分)当 1530b25，即3625b4 时，AD边长为30b m，S最小；(14 分)当30b25 时，即 0 b3625时，AD边长为 25 m，S最小(16 分)答：(1)发酵池 AD边长的范围是 15，25(2)当 b4 时，AD边长为 15 m，S最小；当3625b4 时，AD边长为30b m，S最小；当 0b3625时，AD边长为 25 m，
14、S最小(注：答不写扣2 分)19.解：(1)因为当 n2，nN*时 Sn 11 2an，所以 Sn1 2an1，两式相减得an2an 2an1，即 an 2an1，所以an1an12.(2分)当 n2 时，a112a2，所以 a214，所以a2a112，所以数列 an 为等比数列，其通项公式为an12n.(4 分)当 n2，n N*，bn2（T2nT2n1）bn1 bn12Tn1，所以(bn2Tn1)(bn1bn1)2(T2nT2n1)，所以(TnTn1)(bn1bn1)2(T2nT2n1)因为 TnTn 10，所以 bn1bn1 2(TnTn1)2bn，(6 分)所以数列 bn 为等差数列，
15、且b11，b22，所以数列 bn 的通项公式为bnn.(8分)(2)因为 cnbn2b2nbnann2（n2n）2n1n2n11（n1）2n，(12 分)所以 Pn(111122)(1221322)1n2n 11（n1）2n 11（n1）2n，即 Pn11（n1）2n.(16 分)20.(1)解：因为 f(x)1xa1axx，x0，当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增；(2 分)当 a0 时，x(0，1a)，f(x)0，x(1a，)，f (x)0，所以 f(x)在(0，1a)上单调递增，在(1a，)上单调递减综上，当a 0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无减区间；
16、当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，1a)，单调递减区间为(1a，)(4 分)(2)()解：由(1)可知：当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)至多有一个零点，不符合；(5 分)当 a0 时，f(1a)ln a 1，若 f(1a)ln a 10，即 a1e时，f(x)0 恒成立，所以函数f(x)无零点，不符合；若 f(1a)ln a 10，即 a1e时，f(x)只有一个零点，不符合；若 f(1a)ln a 10，即 0a1e时，此时1ae.f(1)a0，所以 f(x)在(0，1a)上只有一个零点，(8 分)f(1a2)2ln 1a1a，设1at e，则 g(t)2ln
17、 t t，因为 g(t)2t12tt0，g(t)在(e，)上单调递减，g(t)g(e)2e 0，即 f(1a2)0，所以 f(x)在(1a，1a2)上只有一个零点，(9 分)即 0a1e时，f(x)有两个零点，函数有两个零点综上，0a1e时，函数有两个零点(10 分)()证明：因为函数f(x)有两个零点x1，x2，所以ln x1ax1，ln x2ax2?ln（x1x2）a（x1x2），ln x2x1 a（x2x1），两式相比可得ln(x1x2)（x2x1）ln x2x1（x2x1）.(12分)令x2x1t(t 1)，则设 ln(x1x2)（t 1）ln t（t 1）m(t)，m(t)t 1t
18、2ln t（t 1）2.设(t)t 1t2ln t，(t)11t22tt22t 1t2 0，所以(t)在(1，)上单调递增，(t)(1)0，(14 分)即 m(t)0，m(t)随着 t 的增大而增大，所以 ln(x1x2)随着x2x1的增大而增大又 e1，即 x1x2随着x2x1的增大而增大(16 分)数学附加题参考答案及评分标准21.解：由题意得abcd11511，可得ab5，cd5.(2 分)又a bc d2112，可得2ab 1，2cd2，(4 分)解得 a2，b3，c1，d 4，(8 分)A2314.(10 分)22.解：由 cos(3)23可得(cos cos 3sin sin 3)
19、23，即曲线 C2的直角坐标方程为x3y430；(4 分)曲线 C1的直角坐标方程为x2y216，(6 分)所以圆心到直线的距离为d43223，(8 分)所以 AB 216 124.(10 分)23.解：AB 23，EAB 30，AEB 90，EB3，AE 3.以点 E为坐标原点，EB所在直线为x 轴，EA所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则 E(0，0，0)，A(0，3，0)，B(3，0，0)，C(3，0，3)，D(0，3，3)，O(32，32，0)，(1)OC(32，32，3)，DE(0，3，3)，|OC|23，|DE|32，OCDE92992，cos OC，DEOCDE|OC|DE|
20、92233268，(2 分)异面直线OC与 DE所成角的余弦值68.(4分)(2)设平面 DCE的一个法向量为m(x，y，z)，CE(3，0，3)，则mDC3x3y0，mCE3x3z0，取 x3，得m(3，1，1)(6 分)平面 EAD的一个法向量n(1，0，0)，(8 分)cos m，nm n|m|n|351155，sin m，n105，二面角 ADEC 的正弦值为105.(10 分)24.证明：当 n 1 时，只需证ex 1x，设 f(x)ex1x(x 1)，则 f(1)0.而 x1 时，f(x)ex11 0，故 f(x)在(1，)上单调递增(2 分)因此 x1 时，f(x)0，即 ex 1x.(4分)假设 nk 时不等式成立，即ex1xkk！，则当 nk1 时，设 h(x)ex1xk1（k1）！，(6 分)所以 h(x)ex1（k1）xk（k1）！ex1xkk！0，故 h(x)ex1xk1（k 1）！在(1，)上单调递增又 h(1)11（k1）！0，则 h(x)ex1xk1（k 1）！0，即 ex1xk1（k 1）！，nk1 时也成立综上，对任意的x1，nN*，都有 ex 1xnn！.(10分)